7.3.2 第2课时 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的周期、单调性及最值的求法. 2.理解函数y=Asin(ωx+φ)的对称性，会利用函数y=Asin(ωx+φ)的对称性解决一些简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　函数y=Asin(ωx+φ)的单调性 题型(二)　函数y=Asin(ωx+φ) 的最值问题 题型(三)　函数y=Asin(ωx+φ)的 奇偶性、周期性及对称性 4 课时跟踪检测 题型(一)　函数y=Asin(ωx+φ) 的单调性 01 [例1]　(1)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，若函数y=g(x)在上单调递增，则ω的最小值为(　　) A.2 B. C.3 D.4 √ 解析：因为函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位， 得到函数g(x)的图象，所以g(x)=f=sin=sin =cos ωx.当x∈时，ωx∈， 因为函数y=g(x)在上单调递增， 所以有k∈Z⇒4k+2≤ω≤⇒k=0，2≤ω≤， 因此ω的最小值为2. (2)函数y=2sin+1的单调递增区间为________________________.  ，k∈Z 解析：y=2sin+1=-2sin+1， 要求y=2sin+1的单调递增区间， 即求函数y=sin的单调递减区间. 由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z. 故所求函数y=2sin+1的单调递增区间为，k∈Z. |思|维|建|模| 求单调区间的基本方法——基本函数法 用“基本函数法”求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的单调区间的步骤： 针对训练 1.已知函数f(x)=sin(0<ω<2)，若函数f(x)在区间上为减函数，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. √ 解析：因为π<x<，所以ωπ-<ωx-<-.由题意及正弦函数的单调性可得解得+2k≤ω≤+，k∈Z. 又0<ω<2，令k=0，可得≤ω≤，故选B. 2.函数y=1+sin，x∈[-4π，4π]的单调递减区间为 __________________________________.  解析：y=1+sin=-sin+1. 由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z)，解得4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z). 又∵x∈[-4π，4π]，∴函数y=1+sin的单调递减区间为 . 题型(二)　函数y=Asin(ωx+φ) 的最值问题 02 [例2]　(1)若函数f(x)=asin+b(a>0)的值域为[-3，5]，则ab=(　　) A.-4 B.4 C.-3 D.3 解析：因为sin∈[-1，1]，所以f(x)∈[-a+b，a+b]，a>0. 由题意得所以故ab=4. √ (2)已知f(x)=2sin-3(ω>0)，最小正周期是π.求f(x)的最值，以及取得最值时相应x的集合. 解析：由T==π，得ω=2.所以f(x)=2sin-3， 则函数f(x)的最大值为2-3=-1， 此时2x+=2kπ+，k∈Z，则x=kπ+，k∈Z， 即自变量x的取值集合是； 函数f(x)的最小值为-2-3=-5， 此时2x+=2kπ-，k∈Z，则x=kπ-，k∈Z， 即自变量x的取值集合是. |思|维|建|模| 　求函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[m，n]的值域一般是令u=ωx+φ，并求u的取值范围；令y=sin u(注意u的取值范围)，结合y=sin x的值域求解. 针对训练 3.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω=_____.  解析：∵x∈，且0<ω<1，∴0≤ωx≤<. ∵f(x)max=2sin=，∴sin==，即ω=. 4.求函数y=2sin的最大值和最小值. 解：∵-≤x≤，∴0≤2x+≤.∴0≤sin≤1. ∴当sin=1时，ymax=2； 当sin=0时，ymin=0. 题型(三)　函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性及对称性 03 [例3]　(1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴，则f=(　　) A.- B.- C. D. √ 解析：由题意得×=-，解得ω=2，易知x=是f(x)的最小值点， 所以×2+φ=+2kπ(k∈Z)，得φ=+2kπ(k∈Z). 不妨取k=0，于是f(x)=sin，f=sin=sin=，故选D. (2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π. ①求当f(x)为偶函数时φ的值； ②若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间. 解析：由f(x)的最小正周期为π，得T==π， 所以ω=2，所以f(x)=sin(2x+φ). ①当f(x)为偶函数时，有φ=+kπ(k∈Z). 因为0<φ<，所以φ=. ②因为f=，所以sin=， 即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z)， 故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z)， 又因为0<φ<，所以φ=，即f(x)=sin. 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)，得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)， 故f(x)的单调递增区间为(k∈Z). |思|维|建|模| 1.与周期相关的结论 由函数y=Af(ωx+φ)(Aω≠0)(f为sin，cos)的图象可知： (1)相邻两个最大值点之间的区间长度为周期T； (2)相邻的最大值点与最小值点之间的区间长度为； (3)相邻的最值点与零点之间的区间长度为； (4)函数的单调递减区间和单调递增区间的长度都为. 2.求函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴(中心)及周期，可令ωx+φ=kπ+(求对称轴)或ωx+φ=kπ(求对称中心)，T=求解. 针对训练 5.(2024·新课标Ⅱ卷)(多选)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 √ √ 解析：令f(x)=sin 2x=0，解得x=，k∈Z，即为f(x)零点， 令g(x)=sin=0，解得x=+，k∈Z，即为g(x)零点， 显然f(x)，g(x)零点不同，故A错误；显然f(x)max=g(x)max=1，故B正确； f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，故C正确； 根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+⇔x=+(k∈Z)， g(x)的对称轴满足2x-=kπ+⇔x=+(k∈Z)， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，故D错误.故选BC. 6.已知f(x)=sin，其函数图象关于直线x=对称，若函数在区间上有且只有三个零点，则θ的取值范围为_______________.  解析：因为函数f(x)=sin关于直线x=对称， 所以×+φ=+φ=+kπ，k∈Z.所以φ=+kπ，k∈Z.因为0<φ<， 所以φ=.所以f(x)=sin.当x∈时，x+∈，要使函数在区间上有且只有三个零点， 则3π<θ+≤4π.所以θ的取值范围为. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.下列区间中，函数f(x)=7sin单调递增的区间是(　　) A. B. C. D. √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析：当函数f(x)=7sin单调递增时，-+2kπ<x-<+2kπ，k∈Z，解得-+2kπ<x<+2kπ，k∈Z.令k=0，得-<x<. 因为⊆， 所以是函数f(x)=7sin单调递增的区间.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数f(x)=sin在区间上的最小值是(　　) A.-1 B.- C. D.0 √ 解析：∵x∈，∴2x-∈. ∴sin∈.∴f(x)min=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=f，则f等于(　　) A.3或0 B.-3或0 C.0 D.-3或3 √ 解析：由f=f得，直线x=是函数图象的对称轴，所以f=±3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(2024·北京高考)设函数f(x)=sin ωx(ω>0).已知f(x1)=-1，f(x2)=1，且|x1-x2|的最小值为，则ω=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析：因为f(x)=sin ωx∈[-1，1]，且f(x1)=-1，f(x2)=1，|x1-x2|min=， 所以f(x)的最小正周期T=2×=π，所以ω==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图象关于点对称，则f=(　　) A. B.- C. D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：选A　由题意得，函数f(x)的最小正周期为×2=π， 所以=π，得ω=2.所以f(x)=sin(2x+φ). 因为f(x)的图象关于点对称，所以sin=0. 所以2×+φ=kπ，k∈Z，故φ=kπ-，k∈Z. 又|φ|≤，所以φ=-.所以f(x)=sin. 所以f=sin=sin=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(2024·天津高考)已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为(　　) A.- B.- C.0 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由f(x)的最小正周期为π，可得π=，所以ω=， 所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.当x∈时，2x∈， 当2x=时，y=sin 2x取得最大值.所以f(x)min=-，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.若函数f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，则ω=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为0<ω<1，0≤x≤，所以0≤ωx<， 所以f(x)在区间上单调递增，则f(x)max=f=2sin=1， 即sin=.又因为0≤ωx<，所以=，解得ω=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若f(x)=cos是奇函数，则φ=_______.  解析：由题意，可知+φ=+kπ，k∈Z，即φ=+kπ，k∈Z. 又|φ|<，故当k=0时，φ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)函数f(x)=sin(ω≠0)，则f(x)的奇偶性是__________，若f(x)的周期为π，则ω=_____.  偶函数 ±2 解析：∵f(x)=sin=-cos ωx， ∴f(-x)=-cos(-ωx)=-cos ωx=f(x). ∴f(x)为偶函数.又T=π，∴=π，即ω=±2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)使函数y=2sin为奇函数，且在是减函数的φ的一个值可以是___________________.  (答案不唯一) 解析：∵函数y=2sin为奇函数， ∴φ+=kπ，解得φ=-+kπ. 若φ为，则y=2sin=2sin(2x+π)=-2sin 2x， 由0≤x≤，得0≤2x≤，此时y=-2sin 2x为减函数，满足题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知函数y=f(x)的表达式f(x)=Asin(2x+φ)-，y=f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x=对称，若存在x∈，使m2-3m≥f(x)成立，则实数m的取值范围为__________________.  (-∞，1]∪[2，+∞) 解析：由y=f(x)的图象在y轴上的截距为1， 得f(x)=Asin φ-=1⇒Asin φ=.由y=f(x)的图象关于直线x=对称， 得2×+φ=kπ+，k∈Z.又0<φ<，∴φ=.∴Asin=⇒A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴f(x)=sin-.当x∈时，2x+∈， 故当2x+=，即x=时， f(x)min=-2，故存在x∈， 使m2-3m≥f(x)成立等价于m2-3m≥-2，解得m≤1或m≥2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)=2sin，x∈R. (1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标；(5分) 解：由2x-=kπ+(k∈Z)，得x=+(k∈Z). 所以函数f(x)的对称轴方程为x=+，k∈Z. 由2x-=kπ(k∈Z)，得x=+(k∈Z). 所以函数f(x)的对称中心为，k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.(5分) 解：因为0≤x≤，所以-≤2x-≤. 所以当2x-=-， 即x=0时，f(x)取得最小值-1； 当2x-=，即x=时，f(x)取得最大值2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上具有单调性，求φ和ω的值. 解：由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称. ∴f(x)在x=0时取得最值，即sin φ=1或sin φ=-1.∵0≤φ<π，∴φ=. 由f(x)的图象关于点M对称，可知sin=0，即ω+=kπ，k∈Z，解得ω=-，k∈Z.又f(x)在上具有单调性，∴T≥π，即≥π. ∴ω≤2.又ω>0，∴当k=1时，ω=；当k=2时，ω=2.故φ=，ω=2或ω=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知f(x)=sin，ω>0. (1)设ω=1，求y=f(x)，x∈[0，π]的值域；(7分) 解：因为ω=1，所以f(x)=sin. 因为x∈[0，π]，所以令t=x+，则t∈， 由正弦函数性质得y=g=sin t在上单调递增， 在上单调递减，所以g=1，g=-，g=， 故函数f(x)的值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)a>π(a∈R)，f(x)的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围.(8分) 解：由题意得T==π，所以ω=2，可得f(x)=sin. 当f(x)=0时，2x+=kπ，k∈Z，即x=-+，k∈Z， 当k=2时，x=<π，不符合题意；当k=3时，x=>π，符合题意； 当k=4时，x=>π，符合题意；当k=5时，x=>π，符合题意， 所以+T≤a<+T，即≤a<，故a的取值范围为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $