7.3.1 第1课时 正弦函数的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.1　正弦函数的性质与图象 第1课时　正弦函数的性质 [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.结合正弦函数的定义和正弦线,理解正弦函数的定义域和值域、单调性等性质. 2.结合诱导公式,理解函数的奇偶性、周期性、零点等性质. 3.会判断简单函数的奇偶性,利用比较正弦函数的单调性比较函数值大小、求函数的最值、值域等. 1.正弦函数 对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin x与之对应,因此y=sin x是一个函数,一般称为正弦函数. 2.函数的周期性 (1)周期性:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期. (2)最小正周期:对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期. 3.正弦函数y=sin x的性质 　　名称 性质 y=sin x 定义域 R 值域 [-1,1] 最值 当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin x的最大值ymax=1; 当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin x的最小值ymin=-1 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期:2π 单调性 在(k∈Z)上递增;在(k∈Z)上递减 零点 kπ,k∈Z |微|点|助|解| (1)周期函数的周期不唯一,任何T的非零整数倍都是函数的周期. (2)三角函数的周期是函数的整体性质,我们在研究函数时,只需研究一个周期上的图象和性质即可. (3)若不加特殊说明,一般求三角函数周期的问题时,求的是函数的最小正周期. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若sin=sin,则是函数y=sin x的一个周期. (　　) (2)所有的周期函数都有最小正周期. (　　) (3)函数y=是奇函数. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)× 2.函数y=2cos是 (　　) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 解析:选A　y=2cos=-2sin 2x,它是周期为π的奇函数. 题型(一)　正弦函数的奇偶性与周期性 [例1]　(1)函数f(x)=xsin(π+x) (　　) A.是奇函数,但不是偶函数 B.是偶函数,但不是奇函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 (2)函数y=|sin x|,x∈R的最小正周期为　　　　.  解析:(1)易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. ∵f(x)=xsin(π+x)=-xsin x, f(-x)=(-x)sin(π-x)=-xsin x=f(x)≠-f(x), ∴f(x)是偶函数,不是奇函数. (2)设f(x)=|sin x|, 则f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x), ∴y=|sin x|的最小正周期为π. 答案:(1)B　(2)π |思|维|建|模| (1)定义法求函数的周期:紧扣周期函数的定义.寻求对定义域内的任意x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T,该方法主要适用于抽象函数. (2)定义法判断函数的奇偶性:从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再依据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)来判断. 　　[针对训练] 1.已知函数f(x)=sin πx,则它的最小正周期为 (　　) A.2π B.π C.1 D.2 答案:D 2.已知函数f(x)=ax3+bsin x+1,且f(1)=5,则f(-1)=　　　　.  解析:由题知f(1)=a+bsin 1+1=5,所以a+bsin 1=4.从而f(-1)=-a-bsin 1+1=-(a+bsin 1)+1=-4+1=-3. 答案:-3 题型(二)　正弦函数的单调性及其应用 [例2]　(1)(多选)下列关系式正确的是 (　　) A.sin 11°>cos 10° B.sin 168°>sin 11° C.sin 168°>cos 10° D.cos 10°>sin 11° (2)y=sin x+1的单调递减区间为　　　　.  解析:(1)易得sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°, cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°. 因为函数y=sin x在上是增函数, 所以sin 80°>sin 12°>sin 11°, 即cos 10°>sin 11°,sin 168°>sin 11°. (2)y=sin x+1的单调递减区间为(k∈Z). 答案:(1)BD　(2)(k∈Z) |思|维|建|模| (1)求形如y=asin x+b的三角函数的单调性,当a<0时,要求y=asin x+b的单调递增区间,即求y=sin x的单调递减区间. (2)比较三角函数值大小的方法 ①同名函数:若两角在同一单调区间内,则直接利用单调性得出;若两角不在同一单调区间内,则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间内,再进行比较. ②异名函数:先利用诱导公式转化为同名函数,再比较. 　　[针对训练] 3.y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　　　　　　　,若x∈[0,π],则y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　.  解析:当-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z)时, y=-3sin x+1单调递减, ∴y=-3sin x+1的单调递减区间为(k∈Z). 若x∈[0,π],∵(k∈Z)∩[0,π]=,∴当x∈[0,π]时,y=-3sin x+1的单调递减区间为. 答案:(k∈Z)　 4.不求值,指出下列各式大于零还是小于零. (1)sin 25°-sin 72°; (2)sin-sin. 解:(1)因为0°<25°<72°<90°,又f(x)=sin x在x∈上单调递增,所以sin 25°<sin 72°.所以sin 25°-sin 72°<0. (2)因为sin=-sin=-sin=-sin=sin, sin=-sin=-sin=sin, 因为0<<<,由f(x)=sin x在x∈上单调递增, 所以sin<sin.所以sin>sin. 即sin-sin>0. 题型(三)　正弦函数的值域 [例3]　若x∈. (1)求y=sin x的值域; (2)求y=sin2x+2sin x+2的值域. 解:(1)由题意可知y=sin x在x∈单调递增,在x∈单调递减, ∴当x=-时,y=sin x取最小值-, 当x=时,y=sin x取最大值1. ∴y=sin x,x∈的值域为. (2)令sin x=t,由(1)知t∈, ∴y=sin2x+2sin x+2=t2+2t+2=(t+1)2+1. 由二次函数的性质可知,当t∈时,函数y=(t+1)2+1单调递增, ∴当t=-时,y取最小值,当t=1时,y取最大值5.故所求函数的值域为. |思|维|建|模| 与正弦函数有关的函数值域(最值)的求法 (1)求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解. (2)求形如y=asin2x+bsin x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的有界性. 　　[针对训练] 5.函数f(x)=-2sin x+1,x∈的值域是 (　　) A.[1,3] B.[-1,3] C.[-3,1] D.[-1,1] 解析:选B　∵x∈,∴sin x∈[-1,1],∴-2sin x+1∈[-1,3]. 6.求函数y=-2cos2x+2sin x+3,x∈的最大值和最小值,并求出取得最大值、最小值时x的值. 解:y=-2(1-sin2x)+2sin x+3=2sin2x+2sin x+1=2+. ∵x∈,∴≤sin x≤1. 当sin x=1时,ymax=5; 当sin x=时,ymin=. 故当x=时,此函数取得最大值; 当x=或时,此函数取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $