7.3.1 第2课时 正弦函数的图象-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

第2课时　正弦函数的图象 (教师独具内容) 课程标准：能画出正弦函数的图象，并借助图象理解正弦函数在[0，2π]上的性质． 教学重点：正弦函数的图象及五点法作图． 教学难点：利用正弦函数的性质画正弦函数的图象． 核心素养：1.借助正弦函数的图象探究正弦函数的对称性，培养数学抽象素养.2.通过用描点法作与正弦函数有关的函数的图象，并发现它与正弦曲线的关系，培养直观想象素养． 知识点　正弦函数的图象 (1)一般地，y＝sinx的函数图象称为正弦曲线． (2)我们作正弦曲线的简图时，在精确度要求不高的情况下，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后再描点作图，这种作图方法称为五点法． [注意]　作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数． (3)利用“五点法”作正弦函数y＝sinx在区间[0，2π]上的图象的五个关键点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． (4)正弦曲线是轴对称图形，对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为(kπ，0)(k∈Z)． [注意]　(1)正弦曲线的对称轴一定经过正弦曲线的最高点或最低点，此时，正弦函数取最大值或最小值． (2)正弦曲线的对称中心一定是正弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值为0. 1．(五点法)用五点法作y＝sinx，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A． B． C．(π，0) D．(2π，0) 答案：A 2．(诱导公式)(多选)下列函数图象相同的是(　　) A．y＝sinx与y＝sin(π－x) B．y＝sin与y＝sin C．y＝sinx与y＝sin(－x) D．y＝sin(2π＋x)与y＝sinx 答案：AD 3．(对称性)(教材P44练习B T6改编)函数y＝－sinx＋1图象的对称中心为________，对称轴方程为________． 答案：(kπ，1)，k∈Z　x＝＋kπ，k∈Z 题型一　用“五点法”作正弦函数的图象 例1　作函数y＝sinx，x∈[0，2π]与函数y＝－1＋sinx，x∈[0，2π]的简图，并研究它们之间的关系． [解]　按五个关键点列表： x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝－1＋sinx －1 0 －1 －2 －1 　　利用正弦函数的性质描点作图，如图． 由图象可以发现，把y＝sinx，x∈[0，2π]的图象向下平移1个单位即可得y＝－1＋sinx，x∈[0，2π]的图象． 【感悟提升】　用五点法作函数y＝sinx的图象的步骤 (1)列表，由x＝0，，π，，2π求出y的值，得到“五点”坐标； (2)在同一坐标系中描出各点； (3)用光滑曲线连接这些点，所成图象即为所求． 【跟踪训练】 1．用五点法作出函数y＝sinx＋5在[0，2π]上的图象，并写出它的最值． 解：列表如下： x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝sinx＋5 5 6 5 4 5 描点连线，如图所示，得到函数y＝sinx＋5的图象，其最大值为6，最小值为4. 题型二　正弦曲线的对称性 例2　写出函数y＝sinx－2图象的对称中心和对称轴． [解]　函数y＝sinx－2图象的对称中心为(kπ，－2)(k∈Z)，对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)． 【感悟提升】　正弦曲线y＝sinx的对称性 对称中心：点(kπ，0)(k∈Z)，对称轴：直线x＝kπ＋(k∈Z)，要明确两者的不同． 【跟踪训练】 2．若函数y＝sinx，x∈的图象与直线y＝1围成一个平面图形，则这个封闭图形的面积是________． 答案：2π 解析：如图，由正弦函数图象的对称性知，所围成平面图形的面积是长为－＝2π，宽为1的矩形的面积，所以S＝2π. 题型三　正弦函数性质、图象的应用 例3　(1)方程sinx＝lg x的实根有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 [解析]　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sinx与y＝lg x的图象，如图，由图可以看出两函数图象有3个交点，所以方程sinx＝lg x的实根有3个． [答案]　C (2)(多选)(2024·贵州遵义高一下阶段练习)已知函数f(x)＝sin|x|，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最大值为1 C．f(x)是偶函数 D．f(x)的图象关于直线x＝对称 [解析]　函数f(x)＝sin|x|＝所以f(x)的图象关于y轴对称，且不具备周期性，不关于直线x＝对称，故A，D错误，C正确；f(x)的最大值为1，故B正确．故选BC. [答案]　BC 【感悟提升】　关于正弦函数性质、图象的应用 (1)周期性的应用：正弦函数是周期函数，可以先研究其在一个周期内的性质，再推广到定义域内． (2)奇偶性的应用：先确定函数的奇偶性，只研究函数在[0，＋∞)上的性质，再利用奇偶函数的性质推广到(－∞，0]上． (3)数形结合的应用：将问题转化为正弦函数与其他初等函数图象间的关系，利用图象解决问题． (4)求与三角函数有关的函数的定义域问题，一般先根据各式有意义的条件列出不等式(组)，然后利用三角函数线或三角函数的图象求解． 【跟踪训练】 3．(1)(2024·湖南长沙高一下阶段练习)在下列区间中函数f(x)＝|sinx|单调递减的是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：根据正弦函数y＝sinx的图象，作出函数f(x)＝|sinx|的图象，如图所示，可得函数f(x)＝|sinx|在区间上单调递减．故选B. (2)若函数f(x)＝的值域为[－1，1]，则实数a的取值范围是________． 答案：[1，＋∞) 解析：y＝sinx在x≤a时的值域为[－1，1]，因此，若函数f(x)的值域为[－1，1]，需使当x>a时，∈[－1，1]，结合反比例函数的图象与性质可得a≥1.故实数a的取值范围是[1，＋∞)． 1．函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的图象是(　　) 答案：A 解析：y＝sin(－x)＝－sinx.列表： x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝－sinx 0 －1 0 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图，得到y＝－sinx，x∈[0，2π]的图象，即y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的图象．只有A项符合． 2．函数y＝sinx，x∈[0，2π]与y＝图象交点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：作出函数y＝sinx在[0，2π]上的图象，并作出直线y＝，如图．观察图形知，函数y＝sinx在[0，2π]上的图象与直线y＝有两个公共点，所以函数y＝sinx，x∈[0，2π]与y＝图象交点的个数为2.故选C. 3．(多选)在同一平面直角坐标系内，函数f(x)＝sinx，x∈[0，2π]与g(x)＝sinx，x∈[－π，π]的图象(　　) A．重合 B．形状不同，位置不同 C．均关于直线x＝对称 D．f(x)和g(x)的图象的对称中心分别为点(π，0)和(0，0) 答案：BD 解析：根据正弦曲线，可知函数y＝sinx，x∈[0，2π]与y＝sinx，x∈[－π，π]的图象位置不同，形状也不同；f(x)和g(x)的图象的对称中心分别为点(π，0)和(0，0)．由于定义域的限制，f(x)和g(x)的图象均不关于直线x＝对称． 4．若函数y＝sinx，x∈[0，a]的图象与x轴有5个交点，则实数a的取值范围是________． 答案：[4π，5π) 解析：y＝sinx的图象如图所示．因为y＝sinx，x∈[0，a]的图象与x轴有5个交点，由图象可知，4π≤a<5π. 5．利用图象找出方程sinx＝的根的个数． 解：作出图象如下图， 当x＝3π时，y＝＝<1； 当x＝4π时，y＝＝>1. ∴直线y＝在y轴右侧与曲线y＝sinx有且只有3个交点． 又由对称性可知，在y轴左侧也有3个交点，加上原点(0，0)，一共有7个交点． ∴方程sinx＝的根的个数为7. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 主考点 正弦函数图象的理解 正弦函数图象的应用 正弦函数图象的理解 正弦函数图象的应用 正弦函数图象的理解 正弦曲线的对称性 正弦函数图象的应用 关联点 图象的交点个数 由图辨式 求参数的值 由式识图 对称中心 求函数的零点个数 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 主考点 正弦函数图象的应用 用“五点法”作正弦函数的图象 正弦函数图象的应用 正弦函数图象的应用 正弦函数性质、图象的应用 正弦函数的图象及应用 正弦函数性质、图象的应用 关联点 求参数的范围及零点之和 求函数的零点个数 比较根的大小 讨论零点个数 证明不等式 一、选择题 1．下列对正弦函数y＝sinx的图象的描述，不正确的是(　　) A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 答案：C 解析：由正弦函数y＝sinx在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象可知C不正确．故选C. 2．函数y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：作出函数y＝1＋sinx在[0，2π]上的图象，可知与直线y＝2只有一个交点．故选B. 3．图中的曲线(部分)对应的函数解析式可能是(　　) A．y＝|sinx| B．y＝sin|x| C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx| 答案：C 解析：注意图象所对应的函数值的正负，可排除A，D；当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而图中显然小于零，因此排除B.故选C. 4．(多选)已知函数y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，则b－a的值可能是(　　) A． B． C． D． 答案：BCD 解析：y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，则－1≤sinx≤，观察函数y＝sinx的图象可得，b－a的最大值为－＝，最小值为－＝，所以≤b－a≤，故不可能是.故选BCD. 5．如图所示，函数y＝cosx|tanx|的图象是(　　) 答案：C 解析：因为当0≤x<时，y＝cosx|tanx|＝sinx；当<x≤π时，y＝cosx|tanx|＝－sinx；当π<x<时，y＝cosx|tanx|＝sinx，故题中函数的图象为C. 二、填空题 6．写出曲线y＝7－sinx的一个对称中心的坐标为________． 答案：(0，7)(答案不唯一) 解析：点(x，y)的坐标满足x＝kπ(k∈Z)，y＝7即可． 7．函数f(x)＝－sinx在区间[0，2π]上的零点个数为________． 答案：2 解析：令f(x)＝－sinx＝0，即＝sinx，如图所示，函数y＝与y＝sinx的图象在[0，2π]上有2个交点，故函数f(x)＝－sinx在区间[0，2π]上有2个零点． 8．(2024·山东日照高一下期末)若函数y＝sinx－，x∈[0，2π]有两个零点，则实数m的取值范围是________，两个零点之和为________． 答案：(－2，0)∪(0，2)　π或3π 解析：由sinx－＝0，得sinx＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sinx(x∈[0，2π])的图象与直线y＝，如图所示． 由图可知，当∈(－1，0)∪(0，1)时，两图象有两个交点，则原函数有两个零点，此时m∈(－2，0)∪(0，2)．设两个零点分别为x1，x2，由于两交点关于直线x＝或x＝对称，所以＝或＝，所以x1＋x2＝π或x1＋x2＝3π. 三、解答题 9．(2024·上海高一下阶段练习)用“五点法”作出函数y＝2＋sinx，x∈[－π，π]的简图． 解：列表如下： x －π － 0 π sinx 0 －1 0 1 0 2＋sinx 2 1 2 3 2 描点、连线，如图． 10．利用图象找出函数y＝sinx－＋1在区间(－6，6)内的零点个数． 解：令函数y＝sinx－＋1＝0， 即sinx＝－1， 令y＝sinx，y＝－1，在同一坐标系中作出y＝sinx，y＝－1在区间(－6，6)内的图象，如图所示， 由图象知，在区间(－6，6)内的交点个数为3， 故函数y＝sinx－＋1在区间(－6，6)内的零点个数为3. 11．设a，b，c依次是方程x＋sinx＝1，x＋sinx＝2，x＋sinx＝2的根，并且0<x<，则a，b，c的大小关系是________． 答案：a<b<c 解析：由x＋sinx＝1，得sinx＝1－x，由x＋sinx＝2，得sinx＝2－x，由x＋sinx＝2，得sinx＝4－2x.因为a，b，c依次为方程x＋sinx＝1，x＋sinx＝2，x＋sinx＝2的根，所以函数y＝sinx的图象与函数y＝1－x，y＝2－x，y＝4－2x的图象交点的横坐标依次为a，b，c.作出函数y＝sinx，y＝1－x，y＝2－x，y＝4－2x在上的图象如图所示，则由图可知a<b<c. 12．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx. (1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式； (2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图． 解：(1)若x∈，则－x∈. 因为f(x)是偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx. 若x∈，则π＋x∈， 因为f(x)是最小正周期为π的周期函数， 所以f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx， 所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx. (2)函数f(x)在[－π，π]上的简图如图所示． 13．已知函数f(x)＝sinx－|sinx|，x∈[0，2π]． (1)作出函数f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间； (2)讨论函数g(x)＝sinx－|sinx|－k，x∈[0，2π]的零点个数，并求此时k的取值范围． 解：(1)f(x)＝图象如图， 由图可知，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)由图可知， 当k>1或k<0时，直线y＝k与函数f(x)的图象有0个交点，即函数g(x)的零点个数为0； 当k＝1时，直线y＝k与函数f(x)的图象有1个交点，即函数g(x)的零点个数为1； 当0<k<1时，直线y＝k与函数f(x)的图象有2个交点，即函数g(x)的零点个数为2； 当k＝0时，直线y＝k与函数f(x)的图象有无数个交点，即函数g(x)的零点个数为无穷. 14.(2024·吉林长春高一下期末)设函数f(x)＝xsinx. (1)证明：f(x)在上单调递增； (2)若方程f(x)＝1在[0，π]上有且仅有两个根α，β，证明：α＋β>π. 证明：(1)设0≤x1<x2≤，因为y＝sinx在上单调递增， 所以0≤sinx1<sinx2≤1. 所以x1sinx1<x2sinx2，即f(x1)<f(x2)， 故f(x)在上单调递增． (2)因为f(0)＝f(π)＝0，所以0与π不是方程f(x)＝1的根． 方程f(x)＝1在[0，π]上有且仅有两个根α，β， 不妨设α<β， 由f(x)＝1，可得sinx＝. 在平面直角坐标系中分别作出函数g(x)＝sinx与h(x)＝在(0，π)上的图象，如图所示． 由图可得0<α<<β<π， 所以0<π－β<. 因为sinβ＝， 所以f(π－β)＝(π－β)sin(π－β)＝(π－β)sinβ＝＝－1<1. 又f(α)＝1，所以f(π－β)<f(α)． 因为α∈，π－β∈， 且f(x)在上单调递增， 所以π－β<α，即α＋β>π. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$