7.2.4 第2课时 诱导公式⑤～⑧-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

第2课时　诱导公式⑤~⑧ [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解公式⑤~⑧的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵及结构特征. 2.会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进行简单三角函数式的化简. 1.诱导公式⑤~⑧ 诱导公式⑤ sin=cos α,cos=sin α 诱导公式⑥ sin=cos α,cos=-sin α 诱导公式⑦ cos=sin α,sin=-cos α 诱导公式⑧ cos=-sin α,sin=-cos α |微|点|助|解| 　　诱导公式⑤~⑧的记忆口诀为“正变余,余变正,符号象限定”,即±α,±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上把α看成锐角时原函数值的符号. 2.三角形中的诱导公式 (1)sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. (2)cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C. (3)tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C. (4)sin=sin=cos. (5)cos=cos=sin. 3.诱导公式的变形 (1)sin=cos=cos. (2)cos=sin. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)cos=cos α. (　　) (2)sin=-cos α. (　　) (3)若cos 10°=a,则sin 100°=a. (　　) (4)若α为第二象限角,则sin=-cos α. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.已知sin=,那么cos α= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选C　由sin=sin=cos α,得cos α=. 3.计算:sin211°+sin279°=　　　　.  解析:sin211°+sin279°=sin211°+cos211°=1. 答案:1 题型(一)　利用诱导公式化简求值 [例1]　(1)已知cos(π+α)=,则sin的值为 (　　) A. B.- C. D.- (2)已知sin=,则cos的值为　　　　.  解析:(1)因为cos(π+α)=-cos α=,所以sin=-cos α=.故选C. (2)cos=cos=sin=. 答案:(1)C　(2) 　　[变式拓展] 1.本例(2)的条件变为“sin=”,求cos的值. 解:∵+=,∴cos=cos=-sin=-. 2.本例(2)中的条件不变,求cos的值. 解:cos=cos=-sin=-. |思|维|建|模| 解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化. [提醒]　常见的互余关系有-α与+α,+α与-α等;常见的互补关系有+θ与-θ,+θ与-θ等. 　[针对训练] 1.若sin=,则sin-cos= (　　) A.0 B. C. D. 解析:选B　依题意,令+α=t,则sin t=,-α=π-=π-t,+α=++α=+t,所以sin-cos=sin(π-t)-cos=sin t+sin t=2sin t=. 2.已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是 (　　) A. B. C.- D.- 解析:选B　sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)=-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)(-tan 31°)=-cos 31°(-tan 31°)=sin 31°==. 题型(二)　三角恒等式的证明问题 [例2]　求证:=. 证明:因为右边== == ===左边, 所以原等式成立. 　　|思|维|建|模|　三角恒等式证明的策略 遵循的 原则 在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则 常用的 方法 定义法,化弦法,拆项拆角法,公式变形法,“1”的代换法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法 　　[针对训练] 3.求证:=-tan θ. 证明:因为左边===-tan θ=右边,所以原等式成立. 题型(三)　诱导公式的综合应用 [例3]　已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到,求5sin β-5cos β+3tan β的值. 解:根据题意,得sin α==,cos α==,tan α==. (1)sin(α+π)=-sin α=-. (2)根据题意,得β=α-. ∴5sin β-5cos β+3tan β=5sin-5cos+3tan =5sin-5cos+ =5cos α+5sin α-=5×+5×-3×=-. 　　|思|维|建|模|　诱导公式综合应用要“三看” 一看角 ①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系 二看函数名称 弦切互化,一般是切化弦 三看式子 结构 通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,平方和差、立方和差公式 　　[针对训练] 4.如图,在平面直角坐标系xOy中,钝角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与半径为3的圆相交于点A,过点A作x轴的垂线,垂足为点B,OB=2. (1)求tan α的值; (2)求的值. 解:(1)依题意,在Rt△AOB中,OA=3,OB=2, 则AB==,tan ∠AOB==. 而由题图可知,∠AOB+α=π. 故tan α=tan(π-∠AOB)=-tan ∠AOB=-. (2)因为tan α=-,sin=sin=sin=cos α,sin(π+α)=-sin α, cos(α+5π)=cos(α+π)=-cos α, 所以==-2+tan α=-2-. 学科网（北京）股份有限公司 $