7.2.4 第2课时 第诱导公式⑤～⑧-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

第2课时　诱导公式⑤～⑧ (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式. 教学重点：1.诱导公式⑤～⑧的推导过程.2.综合运用诱导公式①～⑧解决简单三角函数式的求值、化简与证明问题． 教学难点：诱导公式⑤～⑧的综合运用． 核心素养：1.在探索三角函数诱导公式的过程中培养直观想象素养和逻辑推理素养.2.在利用诱导公式化简求值的过程中体会转化的思想培养数学运算素养． 知识点　诱导公式⑤～⑧ [拓展]　(1)诱导公式①～⑧中的角可归纳为k·±α(k∈Z)的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”． ①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名称而言的； ②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的； ③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． (2)诱导公式在三角形中的几个结论 设A，B，C是△ABC的三个内角，则 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC， cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC， tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC， sin＝sin＝cos， cos＝cos＝sin. 1．(公式⑥)已知sin＝，那么cosα＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：C 2．(公式⑤)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cos的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：A 3．(公式⑦)化简：sin＝________． 答案：－cosα 4．(公式⑤)在△ABC中，已知sin＝，则cos＝________． 答案： 题型一　利用诱导公式求值 例1　(1)已知cos31°＝m，则sin239°·sin121°＝________． [解析]　sin239°sin121°＝sin(270°－31°)sin(90°＋31°)＝(－cos31°)cos31°＝－cos231°＝－m2. [答案]　－m2 (2)若0<α<π，且sin＝，则cos＝________． [解析]　sin＝cosα＝，又0<α<π，所以0<α<，所以cos＝sinα＝ ＝. [答案]　 【感悟提升】　诱导公式应用中需注意的问题 诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件． 【跟踪训练】 1．(1)已知cos140°＝m，则tan50°＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：∵cos140°＝cos(90°＋50°)＝－sin50°＝m<0，∴sin50°＝－m，∴cos50°＝＝＝，∴tan50°＝＝.故选B. (2)已知sin＝－，求cos的值． 解：∵sin＝－cosα＝－， ∴cosα＝，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角， 则cos＝－sinα＝－ ＝－ ＝－； ②若α为第四象限角， 则cos＝－sinα＝ ＝ ＝. 综上，cos＝或－. 题型二　化简三角函数式 例2　(1)化简：＋. [解]　∵sin＝cosα，cos＝sinα， cos(3π＋α)＝－cosα，sin(π－α)＝sinα， cos＝－sinα，sin(π＋α)＝－sinα， ∴原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0. (2)已知f(θ)＝ ，若f＝，求f的值． [解]　f(θ)＝ ＝＝cosθ， 由f＝，得cos＝. 故f＝cos＝cos ＝－cos＝－. 【感悟提升】　用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少． (2)对于kπ±α(k∈Z)和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名． 【跟踪训练】 2．(1)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________． 答案： 解析：因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，所以原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋＝. (2)化简： ＋. 解：因为tan(3π－α)＝－tanα， sin(π－α)＝sinα， sin＝－cosα，sin(2π－α)＝－sinα， cos＝cos＝－sinα， sin＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα， 所以原式＝＋＝－＝＝＝1. 题型三　利用诱导公式证明三角恒等式 例3　求证： ＝. [证明]　因为左边＝ ＝＝ ＝＝， 右边＝＝＝＝， 所以左边＝右边，故原等式成立． 【感悟提升】　三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 【跟踪训练】 3．求证：＋ ＝. 证明：∵左边＝＋ ＝＋＝＝＝＝右边， ∴原等式成立． 题型四　诱导公式的综合应用 例4　已知 f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tanA－sinA的值． [解]　(1)f(α)＝＝cosα. (2)因为f(A)＝cosA＝， 又角A为△ABC的内角，所以由平方关系，得 sinA＝＝， 所以tanA＝＝， 所以tanA－sinA＝－＝. 【感悟提升】　诱导公式常与函数、方程(组)、三角形等知识综合，解决此类问题的关键是利用诱导公式对式子正确变形．本题利用诱导公式将三角函数的角度统一后，可借助同角三角函数的基本关系求解，这样可避免公式交错使用而导致混乱． 【跟踪训练】 4．如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆交于点A，将射线OA绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B，且射线OB是角β的终边． (1)求的值； (2)若点A位于第一象限，且纵坐标为，求tan(π－β)的值． 解：(1)由已知，得α＝β＋＋2kπ，k∈Z， 所以＝ ＝－＝－＝1(k∈Z)． (2)由点A位于第一象限，且纵坐标为， 则sinα＝，cosα＝ ＝， 故tan(π－β)＝－tanβ＝－＝＝(k∈Z)． 1．已知sin40°＝a，则cos50°＝(　　) A．±a B．－a C．a D． 答案：C 解析：cos50°＝cos(90°－40°)＝sin40°＝a.故选C. 2．已知sin＝，α∈，则tanα的值为(　　) A．－2 B．2 C．－ D． 答案：A 解析：因为sin＝cosα＝.又α∈，所以sinα＝－＝－，则tanα＝－2.故选A. 3．(多选)已知f(x)＝sinx＋cosx，则下列结论正确的是(　　) A．f(x＋π)＝－sinx＋cosx B．f(π－x)＝sinx－cosx C．f＝－sinx－cosx D．f＝－cosx＋sinx 答案：BCD 解析：对于A，f(x＋π)＝sin(x＋π)＋cos(x＋π)＝－sinx－cosx，故A不正确；对于B，f(π－x)＝sin(π－x)＋cos(π－x)＝sinx－cosx，故B正确；对于C，f＝sin＋cos＝－cosx－sinx，故C正确；对于D，f＝sin＋cos＝－sin＋cos＝－cosx＋sinx，故D正确．故选BCD. 4．已知tan(3π＋α)＝2，则＝________． 答案：2 解析：由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，所以原式＝＝＝＝＝2. 5．已知A，B，C，D顺次为圆内接四边形的四个内角．求证： (1)cos(A＋B)＝cos(C＋D)； (2)sin＝cos. 证明：(1)∵在圆内接四边形ABCD中，A＋B＋C＋D＝2π，∴A＋B＝2π－(C＋D)， ∴cos(A＋B)＝cos[2π－(C＋D)]＝cos(C＋D)． (2)∵圆内接四边形的对角互补， ∴A＋C＝π，∴＝－， ∴＋D＝－＋D＝－， ∴sin＝sin ＝cos. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 主考点 诱导公式的理解与应用 诱导公式的理解与应用 给式求值 给式求值 诱导公式在三角形中的应用 诱导公式的理解与应用 给式求值 关联点 判断角所在的象限 变换角求函数值 变换角求函数值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 主考点 诱导公式在三角形中的应用 诱导公式的理解与应用 给值求值 诱导公式的理解与应用 诱导公式的综合应用 诱导公式的综合应用 诱导公式的综合应用 关联点 求角 证明三角恒等式 化简求值 结合角的终边求值 求隐形齐次式的值 解一元二次方程、三角函数值的正负 证明三角恒等式、判断三角形的形状 一、选择题 1．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：B 解析：∵sin<0，∴cosθ<0，即θ是第二或第三象限角．∵cos>0，∴sinθ>0，即θ是第一或第二象限角．综上，θ是第二象限角．故选B. 2．下列各式的值与sin的值相等的是(　　) A．sin B．cos C．cos D．sin 答案：D 解析：因为sin＝－sin＝－cosθ，对于A，sin＝cosθ；对于B，cos＝－sinθ；对于C，cos＝－sinθ；对于D，sin＝－cosθ.故选D. 3．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为(　　) A．－m B．－m C．m D．m 答案：B 解析：∵sin(π＋α)＋cos＝－m，即－sinα－sinα＝－2sinα＝－m，从而sinα＝，∴cos＋2sin(6π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m.故选B. 4．若sin＝，且0<x<，则sin＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：由0<x<，得－<－x<0，则－<－x<.因为sin＝，所以cos＝ ＝，所以sin＝sin＝cos＝.故选A. 5．(多选)设A，B，C是△ABC的三个内角，则无论△ABC的形状如何变化，下列表达式一定是常数的是(　　) A．sinC＋sin(A＋B) B．cos(A＋B)＋cosC C．tantan D． 答案：BC 解析：由A＋B＋C＝π，得sinC＋sin(A＋B)＝sinC＋sin(π－C)＝sinC＋sinC＝2sinC；cos(A＋B)＋cosC＝cos(π－C)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0；tantan＝tantan＝·＝·＝1；＝＝＝tan.故选BC. 二、填空题 6．化简：＝________． 答案：－1 解析：原式＝＝ ＝＝－1. 7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝，则sin(α－95°)＝________． 答案： 解析：∵α是第三象限角，cos(85°＋α)＝>0，∴85°＋α是第四象限角，∴sin(85°＋α)＝－，sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝. 8．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cosA＝－cos(π－B)，则C＝________． 答案： 解析：∵sin＝3sin(π－A)，∴cosA＝3sinA，即tanA＝，又0<A<π，∴A＝.又cosA＝－cos(π－B)，∴cosA＝cosB，即＝cosB，∴cosB＝，又0<B<π，∴B＝，∴C＝π－－＝. 三、解答题 9．已知α为第二象限角，求证：＝－1. 证明：左边＝ ＝＝ ＝. ∵α为第二象限角， ∴sinα>0，cosα<0，sinα－cosα>0， 故左边＝＝－1＝右边． ∴原等式成立． 10．若sinα＝，求 ＋的值． 解：原式＝＋ ＝＋ ＝＋＝， 因为sinα＝， 所以＝10，即原式＝10. 11．(2024·北京高一下期中)角的终边经过点(－3，4)，则sin＋cos＝________． 答案：－ 解析：由条件知cos＝－，sin＝.所以sin＋cos＝sin＋cos＝sin－sin＝－cos－sin＝－＝－. 12．已知＝3. (1)求tanα的值； (2)求4sinαcosα＋2cos2α的值． 解：(1)依题意，得＝＝＝3， 解得tanα＝－. (2)4sinαcosα＋2cos2α＝＝＝－. 13．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值． 解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2， 又α是第三象限角， ∴sinα＝－，cosα＝－， ∴tanα＝， 原式＝·tan2α ＝·tan2α＝－tan2α＝－. 14．已知A，B，C为△ABC的三个内角． (1)求证：cos2＋cos2＝1； (2)若cossintan(C－π)<0，求证：△ABC为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 所以＝－， 所以cos＝cos＝sin， 所以cos2＋cos2＝sin2＋cos2＝1. (2)因为cossintan(C－π)<0， 所以(－sinA)(－cosB)tanC<0， 即sinAcosBtanC<0， 又因为sinA>0，所以或 所以B为钝角或C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$