7.2.4 第1课时 诱导公式①～④-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

7.2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式①~④ [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助圆的对称性理解诱导公式①~④的推导过程.理解诱导公式①~④的意义与作用. 2.能利用诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 公式① 终边相同 sin(α+2kπ)=sin α(k∈Z) cos(α+2kπ)=cos α(k∈Z) tan(α+2kπ)=tan α(k∈Z) 公式② 终边关于 x轴对称 sin(-α)=-sin α cos(-α)=cos α tan(-α)=-tan α 公式③ 终边关于 y轴对称 sin(π-α)=sin α cos(π-α)=-cos α tan(π-α)=-tan α 公式④ 终边关于 原点O对称 sin(π+α)=-sin α cos(π+α)=-cos α tan(π+α)=tan α |微|点|助|解| (1)公式①~④中的角α可以是任意角,如sin[π+(2x-3)]=-sin(2x-3). (2)判断函数值的符号时,虽然把角α当作锐角,但实际上,对于正弦与余弦的诱导公式,角α可以为任意角;对于正切的诱导公式,α的终边不能落在y轴上,即α≠kπ+(k∈Z). (3)诱导公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)利用诱导公式④可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数. (　　) (2)利用诱导公式②可以把负角的三角函数化为正角的三角函数. (　　) (3)公式tan(α-π)=tan α中,α=不成立. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√ 2.cos(π+x)等于 (　　) A.cos x B.-cos x C.sin x D.-sin x 解析:选B　由诱导公式,得cos(π+x)=-cos x. 3.cos(3π-α)= (　　) A.cos α B.-cos α C.sin α D.-sin α 解析:选B　cos(3π-α)=cos[2π+(π-α)]=cos(π-α)=-cos α. 4.sin 210°= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选D　sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-,故选D. 题型(一)　给角求值 [例1]　求下列各式的值. (1)cosπ;(2)sin;(3)tan(-855°). 解:(1)cosπ=cos=cosπ=cos=cos=. (2)sin=-sin=-sin=-sin=-. (3)tan(-855°)=-tan 855°　=-tan(2×360°+135°)=-tan 135°　=-tan(180°-45°)=tan 45°=1. 　　|思|维|建|模| 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 “负化正” 用公式①或②来转化 “大化小” 用公式①将角化为0°到360°间的角 “小化锐” 用公式③或④将大于90°的角转化为锐角 “锐求值” 得到锐角的三角函数后求值 　[针对训练] 1.cos的值为 (　　) A.- B.- C. D. 解析:选C　cos=cos=cos=cos=. 2.求值:cos(-120°)sin(-150°)+tan 855°. 解:原式=cos 120°(-sin 150°)+tan 855° =-cos(180°-60°)sin(180°-30°)+tan(135°+2×360°) =cos 60°sin 30°+tan 135° =cos 60°sin 30°+tan(180°-45°) =cos 60°sin 30°-tan 45°=×-1=-. 题型(二)　给值求值 [例2]　已知cos=,求下列各式的值. (1)cos; (2)cos. 解:(1)cos=cos=-cos=-. (2)cos=cos=cos=cos=. 　　[变式拓展] 若本例的条件不变,求cos-sin2的值. 解:因为cos=cos=-cos=-,sin2=sin2=1-cos2=1-=,所以cos-sin2=--=-. 　　|思|维|建|模|　解决给值求值问题的两个技巧 　　[针对训练] 3.已知cos(π-α)=-,且α是第一象限角,则sin(-2π-α)的值是 (　　) A. B.- C.± D. 解析:选B　因为cos(π-α)=-cos α=-,所以cos α=.因为α是第一象限角,所以sin α>0, 所以sin α===,所以sin(-2π-α)=sin(-α)=-sin α=-. 4.已知cos(α-75°)=-,且α为第四象限角,则sin(105°+α)=　　　　.  解析:∵cos(α-75°)=-<0,且α为第四象限角,∴α-75°为第三象限角,∴sin(α-75°)=-=-=-.∴sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]=-sin(α-75°)=. 答案: 题型(三)　化简求值 [例3]　设k为整数,化简:. 解:法一:分类讨论　当k为偶数时,设k=2m(m∈Z), 则原式====-1; 当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),同理可得原式=-1. 综上,=-1. 法二:配角法　由于kπ-α+kπ+α=2kπ,(k+1)π+α+(k-1)π-α=2kπ, 故cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α), sin(kπ-α)=-sin(kπ+α).所以原式==-1. 　　|思|维|建|模|　三角函数式化简的常用方法 合理转化 ①将角化成2kπ±α,kπ±α,k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数 切化弦 一般需将表达式中的正切函数转化为弦函数 注意“1”的应用 1=sin2α+cos2α=tan 　　[针对训练] 5.已知f(α)=. (1)化简f(α); (2)若α是第三象限角,且sin(α-π)=,求f(α)的值; (3)若α=-,求f(α)的值. 解:(1)f(α)==-cos α. (2)∵sin(α-π)=-sin α=,∴sin α=-. 又α是第三象限角,∴cos α=-. ∴f(α)=-cos α=.(3)∵-=-6×2π+,∴f=-cos=-cos=-cos=-. 学科网（北京）股份有限公司 $