7.2.4 第1课时 诱导公式①～④-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

7.2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式①～④ (教师独具内容) 课程标准：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(π±α的正弦、余弦、正切)． 教学重点：运用诱导公式①～④解决三角函数的求值、化简和证明问题． 教学难点：诱导公式①～④的推导过程． 核心素养：1.在探索三角函数诱导公式的过程中培养直观想象素养和逻辑推理素养.2.在利用诱导公式化简求值的过程中体会转化的思想培养数学运算素养． 知识点一　角的旋转对称 一般地，角α的终边和角β的终边关于角的终边所在的直线对称． 知识点二　诱导公式 公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 角 α＋2kπ (k∈Z) －α π－α π＋α 图示 与角 α终 边的 关系 相同 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于 原点 对称 正弦 sin(α＋2kπ)＝sinα(k∈Z) sin(－α)＝－sinα sin(π－α)＝sinα sin(π＋α)＝－sinα 余弦 cos(α＋2kπ)＝cosα(k∈Z) cos(－α)＝cosα cos(π－α)＝ －cosα cos(π＋α)＝－cosα 正切 tan(α＋2kπ)＝tanα(k∈Z) tan(－α)＝－tanα tan(π－α)＝－tanα tan(π＋α)＝tanα 作用 将角转化为0～2π的角求值 用正角的三角函数值表示负角的三角函数值 将～π的角转化为0～的角求值 将π～的角转化为0～的角求值 [拓展]　(1)对诱导公式①～④的理解 诱导公式中，角α是任意角．它们可概括如下： ①函数名不变，符号看象限． ②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα. (2)一组重要公式 ①sin(nπ＋α)＝(－1)nsinα(n∈Z)． ②cos(nπ＋α)＝(－1)ncosα(n∈Z)． ③sin(nπ－α)＝(－1)n－1sinα(n∈Z)． ④cos(nπ－α)＝(－1)ncosα(n∈Z)． 1．(公式③)已知tanα＝4，则tan(π－α)＝(　　) A．π－4 B．4 C．－4 D．4－π 答案：C 2．(公式④)(教材P31例4改编)sin的值是(　　) A．－ B．－2 C．2 D． 答案：A 3．(公式②④)已知sin(－θ)＝，则sin(π＋θ)＝________． 答案： 4．(公式①④)cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝________． 答案：0 题型一　给角求值问题 例1　(1)求下列三角函数值： ①sin(－1200°)；②tan945°；③cos. [解]　①sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－. ②tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1. ③cos＝cos＝cos＝cos＝. (2)求下列式子的值： －tan＋tan. [解]　原式＝－tan＋tan＝－tan＋tan＝2－. 【感悟提升】　利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 【跟踪训练】 1．求下列各式的值： (1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sincos＋tan； (3)cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos179°＋cos180°. 解：(1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝×＋×－1＝0. (2)原式＝sincos＋tan＝sincos＋tan＝sin＋tan＝×＋1＝. (3)∵cos179°＝cos(180°－1°)＝－cos1°， cos178°＝cos(180°－2°)＝－cos2°， … cos91°＝cos(180°－89°)＝－cos89°， ∴原式＝(cos1°＋cos179°)＋(cos2°＋cos178°)＋…＋(cos89°＋cos91°)＋(cos90°＋cos180°)＝cos90°＋cos180°＝0＋(－1)＝－1. 题型二　给值求值问题 例2　(1)已知cos(π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是(　　) A． B．－ C．± D． [解析]　因为cos(π－α)＝－cosα，所以cosα＝.因为α是第一象限角，所以sinα>0，所以sinα＝＝＝，所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝－. [答案]　B (2)已知cos＝，则cos＝________． [解析]　cos＝cos ＝－cos＝－. [答案]　－ (3)若cos(－80°)＝k，则tan280°＝________． [解析]　∵cos(－80°)＝k>0，∴sin(－80°)＝－ ，∴tan280°＝tan(360°－80°)＝tan(－80°)＝＝－. [答案]　－ 【感悟提升】　解决给值求值问题的策略 (1)解决给值求值问题，首先要仔细观察所给值与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【跟踪训练】 2．(1)已知sinβ＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 答案：D 解析：∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sinβ＝－.故选D. (2)已知cos(α－55°)＝－，且α是第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________． 答案： 解析：∵cos(α－55°)＝－<0，且α是第四象限角，∴α－55°是第三象限角，∴sin(α－55°)＝－ ＝－.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝. (3)已知tan(π＋α)＝3， 求的值． 解：∵tan(π＋α)＝3，∴tanα＝3. 故＝＝＝＝7. 题型三　三角函数式的化简 例3　化简下列各式： (1)； (2)； (3)sincos(k∈Z)． [解]　(1)原式＝ ＝＝－＝－tanα. (2)原式＝ ＝＝＝－1. (3)当k为偶数时， 原式＝sincos＝sincos ＝－sincos＝－； 当k为奇数时， 原式＝sincos ＝sincos ＝sincos＝. 综上，原式＝×(－1)k－1(k∈Z)． 【感悟提升】　三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan. (4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α(k∈Z)的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 【跟踪训练】 3．化简：(1)； (2)； (3)(n∈Z)． 解：(1)原式＝＝＝＝1. (2)原式＝＝＝＝－1. (3)当n＝2k，k∈Z时， 原式＝＝(k∈Z)； 当n＝2k＋1，k∈Z时， 原式＝＝－(k∈Z)． 综上，原式＝(n∈Z)． 1．已知sin(45°＋α)＝，则sin(225°＋α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°]＝－sin(45°＋α)＝－.故选C. 2．已知tan＝，则tan＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：因为tan＝tan＝－tan，所以tan＝－.故选B. 3．(多选)下列化简正确的是(　　) A．tan(π＋1)＝tan1 B．＝cosα C．＝1 D．若θ∈，则 ＝sinθ－cosθ 答案：ABD 解析：对于A，由诱导公式④可得tan(π＋1)＝tan1，故A正确；对于B，因为＝＝cosα，故B正确；对于C，因为＝＝－1，故C错误；对于D，因为θ∈，所以＝＝ ＝sinθ－cosθ，故D正确．故ABD. 4．的值为________． 答案：－2 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝＝＝－2. 5．(1)计算：sin＋cos＋tan； (2)化简：. 解：(1)原式＝sin＋cos＋tan＝－sin＋cos＋tan＝－＋cos＋1＝－－cos＋1＝－－＋1＝0. (2)原式＝＝tanα. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 主考点 给角求值问题 给值求值问题 给式求值问题 给式求值问题 新定义问题 三角函数式的化简 给式求值问题 关联点 求已知角的三角函数值 变换角求函数值 关于sinα，cosα的齐次式求值 知一求二问题 变换角求函数值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 主考点 给值求值问题 给式求值问题 给式求值问题 给式求值问题 三角函数式的化简 给式求值问题 三角函数式的化简求值 关联点 知一求二问题 关于sinα，cosα的齐次式求值 变换角求函数值 函数的奇偶性 在三角形中的应用 知一求二、终边相同的角 一、选择题 1．cos(－1650°)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：cos(－1650°)＝cos1650°＝cos(4×360°＋210°)＝cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－.故选C. 2．若sinα＝，则sin(5π－α)的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 答案：A 解析：sin(5π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝.故选A. 3．若tan(5π＋α)＝a，则的值为(　　) A． B． C．－1 D．1 答案：B 解析：由tan(5π＋α)＝a，得tanα＝a，所以 ＝ ＝＝＝.故选B. 4．若α∈，tan(α－7π)＝－，则sinα＋cosα的值为(　　) A．± B．－ C． D．－ 答案：B 解析：∵tan(α－7π)＝tan(α－7π＋8π)＝tan(α＋π)＝tanα＝－<0，α∈，∴α∈，∴sinα＞0，cosα＜0.又tanα＝＝－　①，而sin2α＋cos2α＝1　②，由①②，解得 ∴sinα＋cosα＝－＝－.故选B. 5．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是(　　) A．sinβ＝ B．cos(π＋β)＝ C．tanβ＝ D．cos(2π－β)＝－ 答案：ABD 解析：∵sin(π＋α)＝－sinα＝－，∴sinα＝，若α＋β＝π，则β＝π－α.对于A，sinβ＝sin(π－α)＝sinα＝，故A符合条件；对于B，cos(π＋β)＝cos(2π－α)＝cosα＝±，故B符合条件；对于C，tanβ＝ ，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，故C不符合条件；对于D，cos(2π－β)＝cos[2π－(π－α)]＝cos(π＋α)＝－cosα＝±，故D符合条件．故选ABD. 二、填空题 6．可化简为________． 答案：1－sinθ 解析： ＝ ＝＝＝＝1－sinθ. 7．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________． 答案： 解析：cos(212°＋α)＝cos[720°－(508°－α)]＝cos(508°－α)＝. 8．(2024·北京高一下期末)已知cosα＝，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tanβ＝________． 答案：－ 解析：因为cosα＝，α是第一象限角，则sinα＝＝，则tanα＝＝，又角α，β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，则tanβ＝tan(π－α)＝－tanα＝－. 三、解答题 9．已知tan(π＋α)＝－，求下列各式的值： (1)； (2)sin(α－7π)cos(α＋5π)． 解：由tan(π＋α)＝－，得tanα＝－. (1)原式＝ ＝＝ ＝＝－. (2)原式＝sin(－6π＋α－π)cos(4π＋α＋π) ＝sin(α－π)cos(α＋π)＝－sinα(－cosα) ＝sinαcosα＝＝＝－. 10．已知tan(55°＋α)＝，且α为锐角，求 的值． 解：∵0°<α<90°，∴55°<55°＋α<145°， 又tan(55°＋α)＝， ∴sin(55°＋α)＝，cos(55°＋α)＝， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝－＝－＝－. 11．(2024·上海高一期中)设代数式asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋5，a，b∈R，α，β∈R，当x＝2024时，代数式的值为2，则当x＝2025时，代数式的值为________． 答案：8 解析：设A＝asin(2024π＋α)＋bcos(2024π＋β)＋5＝asinα＋bcosβ＋5＝2，∴asinα＋bcosβ＝－3，则asin(2025π＋α)＋bcos(2025π＋β)＋5＝－asinα－bcosβ＋5＝－(－3)＋5＝8. 12．已知函数f(x)＝，且f(m)＝2，试求f(－m)的值． 解：因为f(x)＝ ＝， 又因为f(－x)＝ ＝＝f(x)， 所以f(－m)＝f(m)＝2. 13．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角． 解：由已知条件，得sinA＝sinB，cosA＝cosB， 两式平方相加，得2cos2A＝1，cosA＝±， 又因为A∈(0，π)，所以A＝或. 当A＝时，cosB＝－<0， 所以B∈， 所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去． 所以A＝，cosB＝，所以B＝， 所以C＝. 综上所述，A＝，B＝，C＝. 14．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝＝－cosα. (2)∵sin(α－π)＝－sinα＝， ∴sinα＝－.又α是第三象限角， ∴cosα＝－ ＝－ ＝－. ∴f(α)＝－cosα＝. (3)∵－＝－5×2π－， ∴f＝－cos ＝－cos＝－cos＝－. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$