7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

7.2.3 同角三角函数的基本关系式 [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.同角三角函数的基本关系 关系式 平方关系 sin2α+cos2α=1 商数关系 tan α= |微|点|助|解| 　　对同角三角函数的基本关系式的理解 (1)“同角”的含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角,关系式都成立. (2)对于sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α≠+kπ(k∈Z)成立. (3)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2. (4)同角三角函数的平方关系sin2α+cos2α=1体现了三角函数定义中的关系式x2+y2=r2;商数关系tan α=体现了点的纵、横坐标的除式运算. 2.基本关系式的变形公式 (1)sin2α=1-cos2α;　 (2)cos2α=1-sin2α; (3)sin α=± ;(4)cos α=± ; (5)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α; (6)sin α=tan αcos α; (7)cos α=. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)对任意角α,sin2+cos2=1都成立. (　　) (2)当sin α=时,cos α=. (　　) (3)由于平方关系对任意角都成立,故sin2α+cos2β=1也成立. (　　) (4)当α≠kπ+,k∈Z时,cos2α=. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2. 等于 (　　) A.sin B.cos C.-sin D.-cos 解析:选A　∵0<<,∴sin>0.∴ = =sin. 3.若sin α=,cos α=,则tan α=　　　　.  解析:tan α==. 答案: 题型(一)　利用同角三角函数的基本关系式求值 [例1]　已知cos α=-,求sin α,tan α的值. 解:∵cos α=-<0,∴α是第二或第三象限角. 当α是第二象限角时,sin α>0,tan α<0, ∴sin α== =, tan α==-. 当α是第三象限角时,sin α<0,tan α>0, ∴sin α=-=- =-,tan α==. 　　[变式拓展] 若本例变为已知tan α=,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值. 解:由tan α==,得sin α=cos α.　① 又sin2α+cos2α=1,　　② 由①②,得cos2α+cos2α=1,即cos2α=. 又α是第三象限角,∴cos α=-,sin α=cos α=-. |思|维|建|模| 已知某个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α=m,可以先应用公式cos α=±,求得cos α的值,再由公式tan α=求得tan α的值. (2)若已知cos α=m,可以先应用公式sin α=±,求得sin α的值,再由公式tan α=求得tan α的值. (3)若已知tan α=m,可以应用公式tan α==m⇒sin α=mcos α及sin2α+cos2α=1,求得cos α=±,sin α=±的值. (4)注意要根据角终边所在的象限,判断三角函数的符号. 　　[针对训练] 1.已知sin x=,x∈,则cos x= (　　) A. B.- C. D.± 解析:选C　因为x∈,所以cos x>0,则cos x===. 2.已知sin α=-,且α∈,则tan α= (　　) A.- B. C. D.- 解析:选C　由α∈,得cos α<0,又sin α=-,所以cos α=-=-,所以tan α==. 题型(二)　同角三角函数基本关系式的灵活运用 [例2]　(1)已知tan α=2,求2sin2α-sin αcos α+cos2α的值. (2)已知sin α+cos α=-,0<α<π. ①求sin αcos α的值; ②求sin α-cos α的值. 解:(1)2sin2α-sin αcos α+cos2α= ===. (2)①由sin α+cos α=-,得(sin α+cos α)2=. 所以sin2α+2sin αcos α+cos2α=,sin αcos α=-. ②由①得sin αcos α=-<0及0<α<π, 所以sin α>0,cos α<0⇒sin α-cos α>0. 所以sin α-cos α===. 　　[变式拓展] 1.若本例(2)变为“如果角θ满足sin θ+cos θ=”,那么tan θ+的值为多少? 解:由sin θ+cos θ=,得sin θcos θ=. 所以tan θ+=+===2. 2.若本例(2)变为“已知cos αsin α=”,那么cos α-sin α的值为多少? 解:因为cos αsin α=, 所以cos α-sin α=±=± =±. |思|维|建|模| 1.已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式值的方法 (1)对只含有sin α,cos α的齐次式,可根据同角三角函数的商数关系,通过除以某一齐次项,转化为只含有正切的式子,即化弦为切,整体代入. (2)形如或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正、余弦转化为正切,从而求值. (3)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的式子求值. 2.sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ; (sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ, 利用该公式,已知其中一个,能求另外两个,即“知一求二”. 　　[针对训练] 3.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,直角三角形中最小的一个角为α(0°<α<45°),且小正方形与大正方形的面积之比为1∶4,则tan α= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　设大正方形的边长为a,则小正方形的边长为a(cos α-sin α), 故=,故1-2sin αcos α=,即sin αcos α=⇒=⇒=⇒3tan 2α-8tan α+3=0,解得tan α=或tan α=.因为0°<α<45°,则0<tan α<1,所以tan α=. 4.(多选)已知θ∈(0,π),cos θ=-,则下列结论正确的是 (　　) A.θ∈ B.sin θ-cos θ= C.tan θ=- D.=- 解析:选ABD　因为θ∈(0,π),cos θ=-,所以θ∈,sin θ>0,sin θ= ==.则sin θ-cos θ=-=,tan θ===-,==-.由上述解析,可知A、B、D正确,C错误. 题型(三)　利用同角三角函数基本关系式化简、证明 [例3]　(1)化简: +(180°<α<270°). (2)求证:=. 解:(1)∵180°<α<270°,∴sin α<0. 原式=+=+==-. (2)证明:∵左边===右边,∴原等式成立. |思|维|建|模| 1.三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. 2.证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则 (1)常用技巧:切化弦、整体代换、“1”的代换等. (2)原则:由繁到简,变异为同. 　　[针对训练] 5.化简+. 解:因为<α<π, 所以cos α=-,sin α=. 所以原式=+=-=-=0. 6.求证:=. 证明:因为左边==, 右边=====, 所以左边=右边,原等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $