7.2.3同角三角函数的基本关系式 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学导学案聚焦同角三角函数的基本关系式，以平方关系与商数关系为核心，构建从定义到变形、从求值到化简再到证明的完整知识链条。通过“已知sinα求cosα”等典型例题搭建学习支架，前后衔接自然，帮助学生建立三角函数间相互转化的思维路径，实现由浅入深的认知跃迁。 资料亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与数学建模的核心素养。设计中强调“知一求二”的运算策略，强化符号意识和分类讨论思想，如例1明确象限判断对结果的影响，提升学生严谨思维；跟踪训练与能力提升练紧扣高考命题趋势，注重齐次式化切、整体代换等高频技巧训练，培养学生的运算能力和问题解决能力，真正实现从理解到应用的跨越。

7．2.3　同角三角函数的基本关系式 【课程标准】　理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 知识点一　同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin2α＋cos2α＝________． 商数关系：＝________(α≠kπ＋，k∈Z)． 2．语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的__________等于1，________等于角α的正切． 【学霸笔记】　 (1)“同角”一词的含义：一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等． (2)sin2α是(sinα)2的简写． 知识点二　同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1±2sinα·cos α＝(sin α±cos α)2. 2．商数关系式的变形 sin α＝cos α·tan α，cos α＝. 基 础 自 测 1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 3．已知2cos2θ＋3sinθ＝0，θ∈(－)，则cos θ＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．如果tan α＝1，那么＝________． 5．已知＝2，则tanθ＝________． 题型1应用同角三角函数关系求值 例1(1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)若cos α＝，求tan α的值； (3)若tan α＝－，求sin α的值． 总结　对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果． 总结 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负． 跟踪训练1　(1)若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α＝(　　) A．　　 B．－ C．　　 D．－ (2)已知角α的终边与单位圆的交点的横坐标为，则sin α＝________． 题型2应用同角三角函数关系化简求值 例2(1)已知sin α＋cos α＝－，0<α<π. ①求sin αcos α的值； ②求sin α－cos α的值． (2)已知tan α＝2，求下列各式的值． ①； ②； ③2sin2α－sin αcos α＋cos2α. 总结　根据商数关系把齐次式的分子分母同时除以cos α的n次方，进行弦化切运算；若题目中没有分母，一般把分母化为1，再利用1＝sin2α＋cos2α转化． 总结 1．已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，是分析解决问题的突破口． 2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的． (2)对于a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值． (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养． 跟踪训练2　(1)若sin α＋3cos α＝0，则＝________； (2)已知tan α＝，求下列各式的值： ①； ②. 题型3应用同角三角函数关系化简 例3化简求值： (1)； (2)； (3). 总结 解答此类题目常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 跟踪训练3　化简： (1)sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α； (2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β； (3)tan2α－sin2α－tan2αsin2α； (4). 题型4三角恒等式的证明 【思考探究】　1.证明三角恒等式常用方法 [提示]　(1)从右证到左． (2)从左证到右． (3)证明左右归一． (4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等． 2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？ [提示]　sin2α＋cos2α＝1，tan＝1. 例4求证：＝. 总结　解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧． 总结 1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差、作比法)． 2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)． 3．解决此类问题要有整体代换思想． 跟踪训练4　求证： (1)＝； (2)tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α. 易错点　忽略利用平方关系开方时符号的选择 例　已知tanα＝，求sin α，cos α的值． 【错解】　由tan α＝＝， 得sin α＝cos α，① 又∵sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得cos2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝， ∴cosα＝， ∴sin α＝cos α＝. 【正解】　由tan α＝＝， 得sin α＝cos α，① 又∵sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得cos2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝. 当α是第三象限的角， ∴cosα＝－， ∴sin α＝cos α＝－； 当α是第一象限的角， ∴cos α＝， ∴sin α＝cos α＝. 【易错点】 错误原因 纠错心得 忽略利用平方关系开方时符号的选择． 利用平方关系开方时符号的确定，要根据角度的范围选择，有时要进行讨论． 能 力 提 升 练 1.(多选)若 ＋ ＝－，则α的值可以是(　　) A．－　　B． C．　　D． 2．已知sin x＋cos x＝t，t∈[0，]. (1)当t＝，且x是第四象限角时，求sin3x－cos3x的值； (2)若关于x的方程－sinx cos x＋a(sin x＋cos x)＝1有实数根，求a的最小值． 教材反思 (1)同角三角函数基本关系式的变形形式 ①平方关系：1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α. ②商数关系：sinα＝tan α·cos α，cos α＝. (2)已知sin α±cos α，整体代入求值 已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式： (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α， 所以知道sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出． (3)应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号． 7．2.3　同角三角函数的基本关系式 新知初探·自主学习 [教材要点] 知识点一 1．1　tan α 2．平方和　商 [练习] 1．解析：利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－. 答案：A 2．解析：∵cos2α＝1－sin2α＝1－＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝＝－. 答案：B 3．解析：由题设，2sin2θ－3sinθ－2＝(2sin θ＋1)(sin θ－2)＝0，可得sin θ＝－或sin θ＝2(舍)，又θ∈(－)，则cos θ＝＝.故选C. 答案：C 4．解析：由tanα＝1，得＝＝＝3． 答案：3 5．解析：由题意，＝＝2，即＝2，则tan θ＝3. 答案：3 课堂探究·素养提升 例1　【解析】　(1)∵sin α＝－，α是第三象限角， ∴cos α＝－＝－， tanα＝＝－×(－)＝. (2)∵cos α＝>0， ∴α是第一、四象限角． 当α是第一象限角时， sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝； 当α是第四象限角时， sin α＝－＝－＝－， ∴tan α＝－. 综上tan α＝±. (3)∵tan α＝－<0， ∴α是第二、四象限角． 由 可得sin2α＝()2. 综上可知，当α是第二象限角时，sinα＝； 当α是第四象限角时，sin α＝－. 跟踪训练1　解析：(1)因为α为第三象限角， 所以cos α＝－＝－，所以tanα＝＝. (2)由三角函数的定义知，cos α＝>0， 所以α是第一象限角或第四象限角． 由sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝1－cos2α＝1－()2＝， 如果α是第一象限角，那么sinα>0，于是sin α＝ ＝； 如果α是第四象限角，那么sin α<0，于是sin α＝－ ＝－. 答案：(1)C　(2)－或 例2　【解析】　(1)①由sin α＋cos α＝－，得(sin α＋cos α)2＝， sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，sinαcos α＝－. ②因为0<α<π，sin αcos α<0， 所以sin α>0，cos α<0⇒sin α－cos α>0， sin α－cos α＝＝＝. (2)因为tan α＝2， 所以①＝＝－. ② ＝＝＝. ③2sin2α－sinαcos α＋cos2α ＝ ＝ ＝＝. 跟踪训练2　解析：(1)因为sin α＋3cos α＝0， 所以tan α＝－3， 因此原式＝＝＝－. (2)①＝＝＝. ②＝＝＝. 答案：(1)－　(2)见解析 例3　【解析】　 (1)原式＝＝＝＝＝1. (2)原式＝＝＝＝＝－1. (3)原式＝＝＝＝1. 跟踪训练3　解析：(1)原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1. (2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β ＝sin2α＋1－cos2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β ＝sin2α(1－sin2β)＋1－cos2β(1－cos2α) ＝sin2αcos2β＋1－cos2βsin2α＝1. (3)tan2α－sin2α－tan2αsin2α＝tan2α(1－sin2α)－sin2α ＝·cos2α－sin2α＝0. (4)方法一　“1”的齐次式代换 原式＝ ＝＝. 方法二　降幂公式 原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 方法三　降幂 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 例4　【证明】　左边＝ ＝ ＝ ＝＝＝＝右边， 所以原等式成立． 跟踪训练4　证明：(1)左边＝＝＝＝右边， 即证＝. (2)左边＝－sin2α＝＝＝tan2αsin2α＝右边， 即证tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α. 能力提升练 1．解析：因为＋ ＝－，所以 ＝＝＝－，所以sin α<0，因为－为第四象限角，所以sin α<0，故A正确；因为为第二象限角，所以sin α>0，故B错误；因为为第三象限角，所以sin α<0，故C正确；因为为第四象限角，所以sin α<0，故D正确． 答案：ACD 2．解析：(1)当t＝，即sin x＋cos x＝时， 由(sin x＋cos x)2＝1＋2sin x cos x＝，得sin x cos x＝－， 所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝. 又x是第四象限角，所以sin x－cos x<0， 所以sin x－cos x＝－， 所以sin3x－cos3x＝(sinx－cos x)(sin2x＋sinx cos x＋cos2x)＝－×(1－)＝－. (2)由(sinx＋cos x)2＝1＋2sin x cos x＝t2，可得sin x cos x＝(t2－1)，则方程－sin x cos x＋a(sin x＋cos x)＝1可化为－t2＋at－＝0，t∈[0，]， 若t＝0，则－＝0，显然不成立，故t≠0，即t∈(0，]， 所以a＝(t＋)． 又t＋≥2 ＝2，当且仅当t＝1时取“＝”，所以a≥1. 故a的最小值是1. 学科网（北京）股份有限公司 $