7.2.1 三角函数的定义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

　　　　　　7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 [教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义.　2.能利用定义求三角函数值及参数值. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.任意角的正弦、余弦与正切的定义 前提 如图,对于任意角α来说,设P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,r= 定义 正弦 称为角α的正弦,记作sin α,即sin α= 余弦 称为角α的余弦,记作cos α,即cos α= 正切 称为角α的正切,记作tan α,即tan α=(x≠0) 三角函数 对于每一个角α,都有唯一确定的正弦、余弦与之对应;当α≠+kπ(k∈Z)时,有唯一的正切与之对应.角α的正弦、余弦与正切,都称为α的三角函数 |微|点|助|解| (1)任意角的三角函数是在坐标系中定义的,角的范围是使函数有意义的实数集. (2)当α=+kπ(k∈Z)时,α的终边在y轴上,这时点P的横坐标x=0,所以tan α=无意义. (3)三角函数的记号是一个整体,离开α的sin,cos ,tan 等是无意义的,如sin α表示的是一个比值而不是sin与α的积. (4)因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系,所以三角函数可以看成是自变量为实数或其子集的函数. 2.正弦、余弦与正切在各象限的符号 (1)当且仅当α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时,sin α>0;当且仅当α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时,sin α<0. (2)当且仅当α的终边在第一、四象限或x轴正半轴上时,cos α>0;当且仅当α的终边在第二、三象限或x轴负半轴上时,cos α<0. (3)当且仅当α的终边在第一、三象限时,tan α>0;当且仅当α的终边在第二、四象限时,tan α<0. |微|点|助|解| (1)由三角函数的定义知,sin α=,cos α=,tan α=(x≠0,r>0),可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x,y)的坐标确定的,则准确确定角的终边位置是判断三角函数值符号的关键. (2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律,可简记为一全正,二正弦,三正切,四余弦. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若α的终边与x轴负半轴重合,则tan α不存在. (　　) (2)若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos α=-. (　　) (3)正切函数y=tan x的定义域为. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)× 2.已知角α的终边经过点P,则tan α= (　　) A. B.- C. D.- 答案:B 3.已知角α是第二象限的角,则cos α的值一定 (　　) A.小于零 B.大于零 C.等于零 D.不确定 答案:A 题型(一)　利用定义求三角函数值 [例1]　(1)已知角α的终边过点,则sin α= (　　) A.- B.± C.± D.± (2)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x-y=0上,则角α的余弦值为 (　　) A. B.± C. D.± 解析:(1)由题意,得+y2=1.所以y=±.所以sin α=y=±.故选C. (2)因为角α的终边在直线3x-y=0上,则角α在第一象限或第三象限,可设点(x0,3x0)为角α的终边上一点,所以cos α=±=±. 答案:(1)C　(2)D |思|维|建|模| 利用定义求三角函数值的类型及解法 (1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值. (2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则sin α=y,cos α=x,tan α=. (3)若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上一点,则先求r= ,再求sin α=,cos α=. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论. 　　[针对训练] 1.已知角α的终边经过点M(1,),则cos α= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由三角函数的定义可得cos α ==. 2.已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.若角α终边上一点P的坐标为,则sin αtan α= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选A　由P,得P.则sin α==,tan α==-.故sin αtan α=-. 3.已知角α的终边落在直线2x+y=0上,求sin α,cos α,tan α的值. 解:直线2x+y=0,即y=-2x,经过第二、第四象限. 在第二象限取直线上的点(-1,2), 则r==3. 所以sin α=,cos α=-,tan α=-2. 在第四象限取直线上的点(1,-2), 则r= =3. 所以sin α=-,cos α=,tan α=-2. 题型(二)　已知某一三角函数值求参数 [例2]　已知角α终边经过点P(-8m,-6cos 60°),且cos α=-,则m的值为 (　　) A. B.- C.- D. 解析:选A　由点P的坐标可化为(-8m,-3), 得r==. 由三角函数的定义知,cos α===-. 即100m2=64m2+9,解得m=±. 当m=-时,点P的坐标为(4,-3), 则cos α为正,不符合题意.故m=. |思|维|建|模| 　　当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 　　[针对训练] 4.已知角α的终边上有一点P,OP=25,且sin α=-,求点P的坐标. 解:设点P的坐标为(x,y),r=OP=25. ∵π<α<,∴x<0,y<0. ∵sin α=-,∴sin α===-,解得y=-20. ∵r=OP=25,∴=25, 即=25.又x<0,解得x=-15. 故点P的坐标为(-15,-20). 题型(三)　三角函数值的符号及应用 角度1　三角函数值符号的判断 [例3]　(多选)下列选项中,符号为负的是 (　　) A.sin(-100°) B.cos(-220°) C.tan 10 D.cos π 解析:选ABD　-100°在第三象限,故sin(-100°)<0;-220°在第二象限,故cos(-220°)<0;10∈,在第三象限,故tan 10>0;cos π=-1<0. 　　|思|维|建|模|　判断三角函数值符号的两个步骤 定象限 确定角α所在的象限 定符号 利用三角函数值的符号规律,即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断 角度2　三角函数值符号的应用 [例4]　(1)若sin α<0,cos α<0,则α是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)点A(cos 2 025°,tan 8)在平面直角坐标系中位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:(1)因为sin α<0,所以α在第三象限或第四象限,或α终边为y轴非正半轴. 因为cos α<0,所以α在第二象限或第三象限,或α终边为x轴非正半轴.所以α是第三象限角. (2)因为2 025°=360°×5+225°,180°<225°<270°, 所以2 025°为第三象限角,故cos 2 025°<0. 因为8与8-2π≈1.72终边相同, 又<1.72<π,所以8是第二象限角, 故tan 8<0.则点A在第三象限. 答案:(1)C　(2)C |思|维|建|模| 　　对于确定角α是第几象限角的问题,应先确定题目中所有三角函数值的符号,然后依据三角函数值的符号来确定角α是第几象限角,则它们的公共部分即所求;对于已知角α的终边所在的象限来判断角α的三角函数值的符号问题,则常依据三角函数的定义,或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决. 　　[针对训练] 5.若α是第四象限角,则点P(cos α,tan α)在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选D　因为α是第四象限角,所以cos α>0,tan α<0,即点P(cos α,tan α)在第四象限. 6.若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选B　∵sin αcos α<0,∴α是第二或第四象限角.当α是第二象限角时,cos α<0,sin α>0,满足cos α-sin α<0;当α是第四象限角时,cos α>0,sin α<0,则cos α-sin α>0,不合题意.综上所述,α是第二象限角. 7.sin 4,sin 2,cos 2,tan 2这四个数中最大的是 (　　) A.sin 4 B.sin 2 C.cos 2 D.tan 2 解析:选B　因为4∈,2∈,则2在第二象限,4在第三象限,因此sin 4<0,sin 2>0,cos 2<0,tan 2<0,故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $