7.2.2 单位圆与三角函数线-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第三册)

7.2.2 单位圆与三角函数线 三角函数线 如下图所示： 1、正弦线：角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线； 2、余弦线：有向线段OM即为余弦线 3、正切线：过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线 题型一 画三角函数线 【例1】如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（ ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 【变式1-1】作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1-2】作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1-3】画出的正弦线、余弦线和正切线，并求出相应的函数值. 题型二 利用三角函数线比较大小 【例2】下面四个选项中大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】设，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（多选）已知，那么下列命题正确的是（ ） A．若角、是第一象限角，则 B．若角、是第二象限角，则 C．若角、是第三象限角，则 D．若角、是第四象限角，则 题型三 利用三角函数线求角的范围 【例3】若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（ ） A． B． C． D．∪ 【变式3-1】不等式在区间上的解集为______． 【变式3-2】在内，则满足不等式的取值集合是_______________. 【变式3-3】在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合： （1）； （2）； （3）. 题型四 利用三角函数线求值的范围 【例4】已知是的一个内角，且，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则的取值范围是______． 【变式4-2】若，则的取值范围是______． 【变式4-3】已知为锐角，试用三角函数线证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.2 单位圆与三角函数线 三角函数线 如下图所示： 1、正弦线：角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线； 2、余弦线：有向线段OM即为余弦线 3、正切线：过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线 题型一 画三角函数线 【例1】如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（ ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 【答案】D 【解析】由题图知：圆O为单位圆， 则，且， 故角的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT.故选：D 【变式1-1】作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【解析】（1）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段； （2）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段； （3）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段； （4）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段. 【变式1-2】作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：