7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 [教学方式:基本概念课—逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系.掌握角度与弧度的互化. 2.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数. 逐点清(一)　弧度制 [多维理解] 1.度量角的两种制度 角度制 定义 用度作单位来度量角的制度称为角度制 规定 1度等于60分,1分等于60秒 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制 1弧度 的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad 2.弧度数的计算 |微|点|助|解| 　　角度制与弧度制是两种不同的度量单位,在表示角时,二者不可混用. 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十 进制 弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制 [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　) (2)用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关. (　　) (3)1°的角是周角的,1 rad的角是周角的. (　　) (4)1 rad的角比1°的角要大. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.下列说法正确的是 (　　) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 解析:选A　对于A,根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,只有在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是相等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以是负角或零角,故D错误. 3.时针经过四个小时,转过了 (　　) A. rad B.- rad C. rad D.- rad 解析:选B　因为时针顺时针旋转,转过一圈(12小时)的角度为-2π rad,所以时针经过四个小时,转过了·(-2π)rad=- rad. 4.若α=-2 rad,则α的终边在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选C　∵-π< -2<-,∴α是第三象限角.故选C. 逐点清(二)　弧度制与角度制的换算 [多维理解] 1.弧度制与角度制的换算公式 设一个角的角度数为n,弧度数为α,则=. 2.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 度数×=弧度数 弧度数×=角度数 360°=2π rad 2π rad=360° 180°=π rad π rad=180° 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=度≈57.30° |微|点|助|解| 　　角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则:牢记180°=π rad, 充分利用1°= rad,1 rad=°进行换算. (2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=°;n°=n· rad. [微点练明] 1.(多选)下列转化结果正确的是 (　　) A.72°化成弧度是 B.-π化成角度是-660° C.-150°化成弧度是-π D.化成角度是15° 解析:选AD　因为72°=72×=,所以A正确.因为-π rad=-600°,所以B不正确.因为-150°=- rad,所以C不正确.因为 rad=15°,所以D正确. 2.教室里的钟表慢了30分钟,在同学将它校正的过程中,时针需要旋转的弧度数为 (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　将钟表校正的过程中,需要顺时针旋转时针15°,其大小为-15°,故时针需要旋转-弧度. 3.将下表中的角度和弧度互化: 角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360° 弧度 π 答案: 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 4.若两个角的差为1弧度,和为1°,则这两个角的弧度数分别为　　　.  解析:设这两个角的弧度数分别为α,β,α>β.因为1°= rad,所以则 即这两个角的弧度数分别为+,-. 答案:+　- 5.已知α=,β=,γ=1,θ=55°,则α,β,γ,θ按从小到大排列为　　　　.  解析:∵θ=55°=55×=, ∴β=<θ=<α=<γ=1. 答案:β<θ<α<γ 逐点清(三)　弧长公式与扇形面积公式 [多维理解] 1.弧长及扇形的面积公式 设扇形的半径为r,弧长为l,其圆心角为α(|α|≤2π),角度数为n(0°<n<360°),则 　　　公式 度量制　 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l= S= 弧度制 l=|α|r(|α|≤2π) S=lr=|α|r2(|α|≤2π) 2.扇形弧长、面积公式的变形运用 (1)l=|α|r⇒|α|=,r=. (2)S=|α|r2⇒|α|=. |微|点|助|解| (1)在弧度制中,弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负. (2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α是弧度. [微点练明] 1.在单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为 (　　) A. B. C.9π D.10π 解析:选B　l===. 2.(多选)若扇形的弧长变为原来的2倍,半径变为原来的2倍,则 (　　) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积变为原来的4倍 D.扇形的圆心角变为原来的2倍 解析:选BC　设原扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则原扇形的面积为S1=lr.扇形的弧长变为原来的2倍,半径变为原来的2倍后,其面积为S2=·2l·2r=2lr,故S2=4S1,故A错误,C正确;由α==,可知扇形的圆心角不变,故B正确,D错误. 3.已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为 (　　) A.2 B.4 C.2 D.4 解析:选D　设扇形的弧长为l,半径为r,所以扇形的面积为·l·r=3.所以lr=6.又扇形的周长为l+2r,所以l+2r≥2=4,当且仅当即l=2r=2时,取等号. 4.如图1是一款扇形组合团圆拼盘,其示意图如图2所示,中间是一个直径为24 cm的圆盘,四周是8个相同的扇环形小拼盘,组拼后形成一个大圆盘,寓意“八方来财,阖家团圆”.若的长为 cm,则每个扇环形小拼盘的面积为 (　　) A.45 cm2 B. cm2 C. cm2 D.189 cm2 解析:选C　如图,设小圆的圆心为O,则OC=OD=12 cm, 设OA=OB=R,因为每个扇环形小拼盘对应的圆心角为α==,所以的长为αR= cm, 解得R=30 cm,所以每个扇环形小拼盘的面积为S扇形OAB-S扇形OCD=××302-××122=(cm2). 逐点清(四)　弧度制下终边相同的角的表示及其应用　　　 [典例]　将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α<2π. (1)判断它是第几象限角; (2)在[-4π,4π]范围内找出与α终边相同的角的集合. 解:(1)-1 125°=-1 125×=-=-8π+.因为<<2π,所以是第四象限角.所以-1 125°是第四象限角. (2)依题意,与α终边相同的角为+2kπ,k∈Z. 由-4π≤+2kπ≤4π,k∈Z,知k=-2,-1,0,1. 所以所求角的集合为. |思|维|建|模| 1.弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍. 2.用弧度表示角的注意点 (1)注意角度与弧度不能混用. (2)各终边相同的角需加2kπ,k∈Z. (3)求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当的赋值. 　　[针对训练] 1.下列各角中,终边相同的角是 (　　) A.π和240°　　　　　 B.-和314° C.-π和π D.3和3° 解析:选C　对于A,=120°,不合题意;对于B,-=-36°,314°-(-36°)=350°,不合题意;对于C,π-=4π,符合题意;对于D,3≈3×57.30°=171.90°,171.90°-3°=168.90°,不合题意. 2.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界),并判断2 025°是不是这个集合的元素. 解:因为150°=,270°=,所以终边在阴影区域内角的集合为S=. 因为2 025°=225°+5×360°=+10π rad, 又<<,所以2 025°=∈S. 学科网（北京）股份有限公司 $