7.1.1 角的推广-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

　三角函数 　　　　　7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广[教学方式:基本概念课—逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解角的概念的推广及其实际意义,会区分正角、负角和零角. 2.理解象限角的概念,掌握终边相同的角的概念,会用集合表示这些角. 逐点清(一)　角的概念的推广 [多维理解] 1.角的概念的推广 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的始边和终边. 2.角的分类 类型 定义 图示 正角 按照逆时针方向旋转而成的角 负角 按照顺时针方向旋转而成的角 零角 当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,称为零角 3.角的加法与减法(β>0°) 名称 符号 定义 图形 角的 加法 α+β 把角α的终边逆时针方向旋转角β 角的 减法 α-β 把角α的终边顺时针方向旋转角β |微|点|助|解| 　　确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数: (1)表示角时,箭头的方向代表角的正负,因此箭头不能丢掉;顺时针旋转形成负角常常容易被忽视. (2)当角的始边相同时,若角相等,则终边相同;终边相同,而角不一定相等. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)小于90°的角都是锐角. (　　) (2)终边与始边重合的角为零角. (　　) (3)大于90°的角都是钝角. (　　) (4)相等的角终边相同. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是 (　　) A.60°,720° B.-60°,-720° C.-30°,-360° D.-60°,720° 解析:选B　钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°. 3.如图,圆O的圆周上一点P以A为起点按逆时针方向旋转,10 min转一圈,24 min之后OP从起始位置OA转过的角是 (　　) A.-864° B.432° C.504° D.864° 解析:选D　因为点P以A为起点按逆时针方向旋转,10 min转一圈,所以点P逆时针方向旋转1 min转的度数为=36°,则24 min之后OP从起始位置OA转过的角为36°×24=864°. 4.下列所示图形中,γ=α+β的是　　　　;γ=α-β的是　　　　.  解析:①中,α与γ的始边相同,α的终边为β的始边,β与γ的终边相同,所以γ=α+β.②中,α与γ的始边相同,α的终边为-β的始边,-β与γ的终边相同,所以γ=α+(-β)=α-β.同理可知,③中γ=α-β,④中γ=α+β. 答案:①④　②③ 逐点清(二)　象限角 [多维理解] 1.象限角与终边相同的角 象限角 在平面直角坐标系中,角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限 终边相同的角 所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同,k=0时对应元素为α |微|点|助|解| (1)角α为任意角,“k∈Z”不能省略. k有三层含义:①特殊性:对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角.②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向转动的圈数.k取正整数时,逆时针转动;k取负整数时,顺时针转动;k=0时,没有转动. (2)k·360°与α中间要用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α). (3)当角的始边相同时:相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等;终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍;终边不同则表示的角一定不同. 2.象限角与轴线角的集合表示 (1)象限角 象限角 集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z} (2)轴线角 角的终边的位置 集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+180°,k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α=k·360°+90°,k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+270°,k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α=k·180°+90°,k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α=k·180°,k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α=k·90°,k∈Z} [微点练明] 1.在平面直角坐标系中,取角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,下列说法正确的是 (　　) A.第一象限角一定不是负角 B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 C.第一象限角一定是锐角 D.钝角的终边在第二象限 解析:选D　三角形的内角可能为90°,90°角不是第一象限角或第二象限角,故B错误;令α=-300°=60°-360°,显然α是第一象限角,但不是锐角,故A、C错误;钝角是大于90°且小于180°的角,它的终边在第二象限,故D正确. 2.将-885°化为α+k·360°(0≤α<360°,k∈Z)的形式是 (　　) A.-165°+(-2)·360° B.195°+(-3)·360° C.195°+(-2)·360° D.-195°+(-3)·360° 解析:选B　-885°+1 080°=195°,∴-885°=195°+(-1 080°)=195°+(-3)·360°. 3.(多选)在-360°~360°范围内,与-410°角终边相同的角是 (　　) A.-50° B.-40° C.310° D.320° 解析:选AC　因为-50°=-410°+360°,310°=-410°+2×360°,所以与-410°角终边相同的角是-50°和310°. 4.已知角α=2 025°,则α的终边在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选C　因为α=2 025°=360°×5+225°,而180°<225°<270°,所以α的终边在第三象限. 5.与角2 026°的终边相同的最大的负角为　　　　.  解析:与2 026°终边相同的角α=k×360°+2 026°=(k+5)×360°+226°,k∈Z.令k+5=-1,即k=-6时,α=-134°,故与2 026°终边相同的最大负角是-134°. 答案:-134° 逐点清(三)　象限角与区间角的表示 [典例]　(1)若α=k·360°+24°,k∈Z,试确定2α,分别是第几象限角. (2)写出如图所示阴影部分的角α的范围. 解:(1)由α=k·360°+24°,k∈Z,得2α=2k·360°+48°(k∈Z).故2α为第一象限角.由α=k·360°+24°,k∈Z,得=+12°(k∈Z).当k=2n(n∈Z)时,=n·360°+12°(n∈Z),则为第一象限角;当k=2n+1(n∈Z)时,=n·360°+192°(n∈Z),则为第三象限角.综上所述,2α为第一象限角,为第一或第三象限角. (2)①因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°,k∈Z的形式,与-180°+30°=-150°角终边相同的角可写成-150°+k·360°,k∈Z的形式,所以图(1)阴影部分的角α的范围为{α|-150°+k·360°<α≤45°+k·360°,k∈Z}. ②因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°,k∈Z的形式,与-60°+360°=300°角终边相同的角可写成300°+k·360°,k∈Z的形式,所以图(2)中角α的范围为{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}. |思|维|建|模| 1.关于角nα或象限的确定 (1)由α的范围,表示出nα,的范围,由n的取值确定象限. (2)特别地,求所在象限时,可以把每个象限等分为n份,在每一份中按顺序标记一、二、三、四,找到原象限数字即可. 2.表示区域角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界. (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β},其中β-α<360°. (3)起始、终止边界对应的角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角集合. 　　[针对训练] 1.已知α∈,则角α的终边落在的阴影部分是 (　　) 解析:选B　令k=0,得45°≤α≤90°.则B中的阴影部分区域符合题意. 2.已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是 (　　) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 解析:选C　由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),所以α在第一象限;当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),所以α在第三象限.故α是第一或第三象限角. 3.终边落在直线y=x上的角α的集合为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　易得y=x的倾斜角为60°.当终边在第一象限时,α=60°+k·360°,k∈Z;当终边在第三象限时,α=240°+k·360°,k∈Z.所以角α的集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $