7.1.1角的推广（知识梳理+题型归纳+同步训练）学案-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.1.1　角的推广（解析版） 知识点一　角的概念的推广 1. 角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角． 这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角． 这两条射线分别称为角的始边和终边． 2角的表示：如图所示，角可记为“”或“”或“”，始边： OA ，终边：OB ，顶点 O . 3.角的分类： 按照角的旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按照逆时针方向旋转而成的角 负角 按照顺时针方向旋转而成的角 零角 一条射线没有旋转时形成的角 4.　角的加减运算的几何意义(β>0°) (1) α＋β：把角α的终边逆时针方向旋转角β，如图1. (2)α－β：把角α的终边顺时针方向旋转角β，如图2. 知识点二　象限角 1.象限角：若角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，则角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角． 2.轴线角：若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何象限，称为轴线角（象限界角）． 知识点三　终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 【注意】 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同． (2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少． (3)终边相同的角的表示不唯一． 【拓展】 1.象限角的集合表示 角α的终边所在的位置 集合表示 第一象限 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 2.终边在坐标轴上的角的集合 角α的终边所在的坐标轴 集合表示 x轴的正半轴 {α|α＝k·360°，k∈Z} x轴的负半轴 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} y轴的正半轴 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} y轴的负半轴 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} x轴 {α|α＝k·180°，k∈Z} y轴 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 坐标轴 {α|α＝k·90°，k∈Z} 题型一 任意角的概念 【例】．（多选）下列说法正确的是（   ） A．小于的角是锐角 B．所有的正角都比负角大 C．始边与终边重合的角一定是零角 D．经过4小时，时针转了 【答案】BD 【详解】小于的角还包括零角和负角，锐角是大于小于的角，故A错误； 对于B，由正角和负角的定义得，所有的正角都比负角大，故B正确，； 对于C，只有始边与终边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才是零角，故C错误 因为时针旋转为顺时针，所以形成的角为负角，故经过4小时，时针转了，D正确． 故选：BD 【练1】将一条射线绕着其端点逆时针旋转，再顺时针旋转，则形成的角的度数为 . 【答案】 【详解】由题知所形成的角的度数为. 故答案为： 【练2】若角，把角逆时针旋转得到角，则 ． 【答案】 【详解】∵角是由角逆时针旋转所得 ∴， ∴. 故答案为：. 题型二 终边相同角的表示 【例】已知． (1)把写成，，的形式； (2)求，使与的终边相同，且． 【详解】（1），即． （2）由（1）及题意，令，，故： 当时，； 当时，． 综上，或． 【练1】与终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以与终边相同的角可以表示为. 故选：C． 【练2】已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________． 【答案】－960° 【解析】∵α与120°角的终边相同，故有α＝120°＋k·360°，k∈Z.又－990°<120°＋k·360°<－630°，即－1110°<k·360°<－750°，解得－3<k<－2，又k∈Z，故k＝－3，∴α＝120°＋(－3)×360°＝－960°. 【练3】用角度表示出第一、三象限的角平分线上角的集合为 . 【答案】 【详解】因为第一象限的角平分线上的角的集合为， 第三象限的角平分线上的角的集合为， 所以第一、三象限的角平分线上角的集合为. 故答案为：. 【感悟提升】在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用排除法． (2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 题型三 区域角的表示与象限角的判定 角度1 区域角的表示 【例】已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），写出所有角形成的集合． （图1） （图2） 【答案】（1） （2） 【详解】（1）在0°~360°范围内，终边落在阴影内的角满足或， 由图1，所以所有满足题意的角的集合为： ．故答案为：. （2）由图2，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且， 所以阴影部分（包括边界）的角的集合为. 故答案为： 【练1】．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为 或. 【练2】．若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】当为偶数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内； 当为奇数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内． 故选：C． 【感悟提升】在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用排除法． (2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 角度2 判断一个角是第几象限角 【例】已知角的大小为，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】已知角的大小为，所以，故角为第二象限角.故选：B. 【例】已知α是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】由α是第二象限角可得，． 所以， 即，所以为第一象限角． 故选：A 【练1】．同学们刚过完元旦假期，已经进入年了，那么角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】，，，与终边相同， ，是第三象限角，故是第三象限角，故C正确． 故选：C． 【练2】若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 角度3 等分角、倍角所在象限的判定 【例】若α是第一象限角，问－α，2α，是第几象限角？ [解]　∵α是第一象限角， ∴k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)． ①－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)， 故－α是第四象限角． ②2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)， 故2α是第一、二象限角或终边落在y轴的正半轴． ③k·120°<<k·120°＋30°(k∈Z)． 解法一(分类讨论)： 当k＝3n(n∈Z)时，n·360°<<n·360°＋30°(n∈Z)，∴是第一象限角； 当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°<<n·360°＋150°(n∈Z)，∴是第二象限角； 当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°<<n·360°＋270°(n∈Z)，∴是第三象限角． 综上可知，是第一或第二或第三象限角． 解法二(几何法)： 如图， 先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，则标有1的区域即为终边所落在的区域，故为第一或第二或第三象限角． 【练1】已知是第二象限角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第二象限角 【答案】B 【详解】因为是第二象限角， 所以 则 当为偶数时，为第一象限角， 当为奇数时，为第三象限角. 故选：B. 【练2】（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【详解】为第二象限角，故， 所以 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 【感悟提升】象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论． ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴正半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 一、单选题 1．下列各角中，与126°角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与126°的角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k•360°，k∈Z}． 取k=1，可得α=486°． ∴与126°的角终边相同的角是486°． 故选B． 2．若为第二象限角，则的终边所在的象限是（    ） A．第二象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】因为为第二象限角，则， 因此， 而为偶数，当为奇数时，为奇数，则为第四象限角， 当为偶数时，为偶数，则为第二象限角， 所以的终边所在的象限是第二、四象限. 故选：D 3．已知为第三象限角，那么是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一、三象限角 D．第二、四象限角 【答案】D 【详解】因，故； 当时，则是第二象限角； 当时，则是第四象限角；故应选答案D ． 4．若角与的终边垂直，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若角与的终边垂直，则， 故选：D 5．集合，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，即可判断. 【详解】有已知， 则， 故选：C. 2、 多选题 6．若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为角与角的终边相同，所以， 同理得，所以， 故选：AD． 7．下列说法错误的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 【答案】ACD 【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：ACD. 三、填空题 8．如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝ .    【答案】 【详解】两次旋转后形成的角为60°+（-820°）=-760° .故答案为： 9．将化为的形式是 ． 【答案】 【详解】因为,故答案为： 四、解答题 10．分别写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中满足不等式的元素写出来. (1); (2); (3). 【详解】(1)与角终边相同的角的集合S为, 在范围内,适合题意的有,,. (2)与角终边相同的角的集合S为, 在范围内,适合题意的有，240°,. (3)与角终边相同的角的集合S为, 在范围内,适合题意的有,,. 11．（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（不包括边界）的角的集合. 【详解】（1）由终边相同角的概念可得： ① ② ③ （1）因为的终边相同，所以阴影部分所表示的区域位于之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. 因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 12．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 【答案】C 【详解】选项A：角的终边在轴上方，设，则 是第三象限角，故A错误; 选项B：若，取，则，该角是第三象限角，故B错误; 选项C：角的终边与角的终边关于轴对称，则， 因此， 当为偶数时，令，则，该角终边在第四象限； 当为奇数时，令，则，该角终边在第二象限; 故C正确; 选项D：是锐角，即，则， 当时，该角终边在轴正半轴，不属于任何象限，故D错误. 故选：C. 13．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值． 【答案】α=（）°，β=（）°． 【详解】试题分析：确定α=•180°，β=•180°，m，n∈Z，利用2α，2β均为钝角，即可得到结论． 解：根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α=m•360°，m∈Z，14β=n•360°，n∈Z，从而可知α=•180°，β=•180°，m，n∈Z． 又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β在第二象限． 又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°， 因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°． 于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°． ∴45°＜•180°＜90°，45°＜•180°＜90°， 即＜m＜，＜n＜． 又∵α＜β，∴m＜n，从而可得m=2，n=3． 即α=（）°，β=（）°． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.1　角的推广(学生版) 知识点一　角的概念的推广 1. 角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角． 这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角． 这两条射线分别称为角的_______和_____． 2角的表示：如图所示，角可记为“”或“”或“”，始边： ___ ，终边：___ ，顶点 ___ . 3.角的分类： 按照角的旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按照______方向旋转而成的角 负角 按照______方向旋转而成的角 零角 一条射线____旋转时形成的角 4.　角的加减运算的几何意义(β>0°) (1) α＋β：把角α的终边______方向旋转角β，如图1. (2)α－β：把角α的终边_______方向旋转角β，如图2. 知识点二　象限角 1.象限角：若角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在_____________，则角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角． 2.轴线角：若角的终边在__________上，则认为这个角不属于任何象限，称为轴线角（象限界角）． 知识点三　终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝_________________}． 【注意】 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同． (2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少． (3)终边相同的角的表示不唯一． 【拓展】 1.象限角的集合表示 角α的终边所在的位置 集合表示 第一象限 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 2.终边在坐标轴上的角的集合 角α的终边所在的坐标轴 集合表示 x轴的正半轴 {α|α＝k·360°，k∈Z} x轴的负半轴 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} y轴的正半轴 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} y轴的负半轴 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} x轴 {α|α＝k·180°，k∈Z} y轴 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 坐标轴 {α|α＝k·90°，k∈Z} 题型一 任意角的概念 【例】．（多选）下列说法正确的是（   ） A．小于的角是锐角 B．所有的正角都比负角大 C．始边与终边重合的角一定是零角 D．经过4小时，时针转了 【练1】将一条射线绕着其端点逆时针旋转，再顺时针旋转，则形成的角的度数为 . 【练2】若角，把角逆时针旋转得到角，则 ． 题型二 终边相同角的表示 【例】已知． (1)把写成，，的形式； (2)求，使与的终边相同，且． 【练1】与终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 【练2】已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________． 【练3】用角度表示出第一、三象限的角平分线上角的集合为 . 【感悟提升】在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用排除法． (2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 题型三 区域角的表示与象限角的判定 角度1 区域角的表示 【例】已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），写出所有角形成的集合． （图1） （图2） 【练1】．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【练2】．若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A．B．C． D． 【感悟提升】在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用排除法． (2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 角度2 判断一个角是第几象限角 【例1】已知角的大小为，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【例2】已知α是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【练1】．同学们刚过完元旦假期，已经进入年了，那么角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【练2】若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 角度3 等分角、倍角所在象限的判定 【例】若α是第一象限角，问－α，2α，是第几象限角？ 【练1】已知是第二象限角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第二象限角 【练2】（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【感悟提升】象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论． ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴正半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 一、单选题 1．下列各角中，与126°角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 2．若为第二象限角，则的终边所在的象限是（    ） A．第二象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 3．已知为第三象限角，那么是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一、三象限角 D．第二、四象限角 4．若角与的终边垂直，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 5．集合，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 6．若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法错误的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 三、填空题 8．如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝ .    9．将化为的形式是 ． 四、解答题 10．分别写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中满足不等式的元素写出来. (1); (2); (3). 11．（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（不包括边界）的角的集合. 12．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 13．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值． 学科网（北京）股份有限公司 $