精品解析：2026年甘肃省兰州市城关区兰州天庆实验中学中考一模数学试题

2026年甘肃省兰州市城关区兰州天庆实验中学中考一模数学试题 一、选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. C. π D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】是无理数，A不正确； 是无理数，B不正确； π是无理数，C不正确； 0是有理数，D正确； 故选D． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根和实数的运算，，据此可判断A、D；根据实数的运算法则可判断B；根据可判断C． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、∵， ∴，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴，，， ∴， 故选：． 4. 如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系的第二象限内，①号“”与②号“”是位似图形，位似中心为原点 ，位似比为．点在①号“”上，则点在②号“”上的对应点 的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质计算，即可解答． 【详解】解：号“”与号“”的相似比为，点， 点在号“”上的对应点 的坐标为，即， 故选：B． 5. 苯（）的环状结构模型由德国化学家奥古斯特-凯库勒于1865年提出，该模型为有机化学中芳香族化合物的研究奠定了重要基础．随着研究的不断深入，发现一个苯分子中6个碳原子形成了正六边形的结构，如图1．其示意图如图2，点O为该正六边形的中心，连接，若 ，则相邻两个碳原子的核间距（即正六边形的边长）为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键．根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵正六边形，点 为中心， ∴，， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， 故选：A ． 6. 已知直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，进而可得出，最后根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程的实数根的个数为2． 7. 二次函数 的自变量（表格中从左到右增大）与函数值 的对应值如下表： 0 1 3 1 0 1 下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，据此作答即可． 【详解】解：由表格可知对称轴为，开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴点，，离对称轴依次变近， ∴， 故选D． 8. 如图，电路图上有，， 三个开关和一个正常的小灯泡，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中能让灯泡发光的情况有种， ∴能让灯泡发光的概率为， 故选：D． 9. 古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．向金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意找到等量关系是解题的关键． 根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意可列方程组． 故选：B． 10. 菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其对角线交于原点 ，若点的坐标为，点的坐标为，则 的长为（ ） A. 20 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标特征和菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．本题利用菱形的性质，结合勾股定理（两点距离公式）进行求解即可． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且相等，且对角线的交点将对角线平分， ， 由题意，点的坐标为，点的坐标为， ，，解得：， ， 的长度为． 故选：C． 11. 如图， 的半径为，正方形 的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（ ） A. 若 与正方形 的周长之和为定值，则 关于的函数关系为一次函数 B. 若 与正方形 的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C. 若 与正方形 的面积之积为定值，则 关于的函数关系为反比例函数 D. 若 与正方形 的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示出 与正方形 的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可． 【详解】解：∵ 的半径为，正方形 的边长为， ∴ 与正方形 的周长之和为， 与正方形 的面积之积为， 阴影部分的面积为， ∴，，， ∴若 与正方形 的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶ ，为一次函数，选项A不符合题意， S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意， 若 与正方形 的面积之积即为定值， y关于x的函数关系为∶ ，为反比例函数，选项C不符合题意 S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意． 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 在2026年冬奥会短道速滑500米训练中，甲、乙、丙、丁四位运动员10次训练成绩的平均时间（秒）和方差如下表所示．要从中选择一名成绩优秀且发挥稳定的运动员代表国家参加冬奥会短道速滑比赛，应该选择__________． 甲 乙 丙 丁 秒 12.1 13.1 12.1 13.1 0.6 0.6 0.9 0.5 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了平均数与方差的统计意义，利用平均数判断成绩优劣、方差判断数据稳定性． 解题的关键是先通过平均数筛选出成绩优秀的运动员，再通过方差选出其中发挥最稳定的一位． 先对比四位运动员的平均时间，选出用时更短的甲、丙；再比较二者的方差，选出波动更小的甲，即为最终人选． 【详解】解：1．筛选成绩优秀者：对比平均时间，甲和丙的平均时间为12.1秒，小于乙和丁的13.1秒，因此甲、丙成绩更优秀． 2．筛选发挥稳定者：在甲、丙中，甲的方差，小于丙的方差，说明甲的成绩波动更小、发挥更稳定． 故答案为：甲． 14. 如图，是 内部一点， ，且，，依次取 、、、 的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是______． 【答案】## ## 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．利用三角形中位线定理得到，，，，，，，，证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：点，点 分别为 ， 的中点，， ，， 同理可得，，， ，， ，， ∴，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， 四边形的面积是． 15. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，点C，D分别为 ， 的中点，则花窗的面积为________（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】用扇形的面积减去 的面积即可解答． 【详解】解：∵，点 ，分别为 ， 的中点， ∴，， ∴，， ∴花窗的面积为． 三、解答题（共11小题，满分75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，首先把方程的两边同时乘以化为整式方程，解整式方程可得：，再把代入检验是否增根． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后再确定出公共解集即可得． 【详解】解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为 ． 19. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点的面积为4． （1）分别求出反比例函数与一次函数的表达式； （2）求 的面积． 【答案】（1）， （2）15 【解析】 【分析】（1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入 ，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入 的面积计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵过点作轴的垂线，垂足为点 ，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴； ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得 ， ∴； 把和代入 ， 得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：连接 ，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则 的面积 20. 项目学习： 项目背景：某地区田地边因下大雨形成了一个塌陷洞口，数学兴趣小组成员要测量塌陷口最大直径，因为靠近有危险，该小组的同学围绕“塌陷洞口的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 塌陷洞口的测量与计算 驱动问题 如何测量塌陷洞口的直径数据 活动内容 利用三角形、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 甲组：如图1，A，B两点分别为塌陷洞口最大距离的两端（其中A，B两点均在地面上）．因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，所以在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接，并延长到点C，连接，并延长到点D，使 ， ，连接，测出的长即可． 乙组：如图2，A，B两点分别为塌陷洞口最大距离的两端（其中A，B两点均在地面上）．因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，所以先确定直线 ，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接 ，作 ，交直线 于点C，最后测量的长即可． 丙组：如图3，根据塌陷周围地形状况，在安全地面选取合适的点P．测量A，P两点间的距离以及 和 ，测量三次取平均值，得到数据： ， ， ． 参考数据 ， ， ， ， 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述材料，回答下面的问题． （1）甲、乙两组的方案哪个可行？________（填“甲”或“乙”），并说明可行的理由． （2）根据丙组的测量方案，计算塌陷洞口的最大直径（即A，B两点间的距离，结果精确到 ）． 【答案】（1）甲， ， ， ， ， ， 故甲组方案可行． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质的应用，解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． （1）根据全等三角形的判定与性质，即可解答； （2）过点作 于点，在中，根据，可求得，在 中，根据，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作 于点， ， ， ， 在中， ， ， ， 在 中， ， ， 答：塌陷洞口的最大直径约为 ． 21. 一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方 处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，确定二次函数的解析式是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得，再解方程即可． 【小问1详解】 ∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 由图知图象过以下点：， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 设球出手时，他跳离地面的高度为， 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为， ∴， ∴， 答：球出手时，他跳离地面的高度为． 22. 有一破损的水管，截面如图．请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 作图如图， 即为所作． 【解析】 【分析】作 的垂直平分线，交 于C，交圆于D，连接 ，作 的垂直平分线交于O，以O为圆心， 长为半径作圆即可； 【详解】略 23. 技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，： ， ：，： ），下面给出了部分信息： 抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ________， ________， ________； （2）根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 【答案】（1）15，89，97 （2）解：“模型”软件更受用户的喜爱， 理由如下： “模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高；（答案不唯一） （3）239人 【解析】 【分析】本题考查统计综合，涉及求中位数、众数、扇形某项百分比、由样本情况估计总体等知识，熟记统计相关知识及求解方法是解决问题的关键． （1）先计算“模型”的评分数据中等级占比，然后用1减去、、等级所占百分比即可得到 等级所占百分比，从而求出；再由中位数及众数的定义与求法即可得到； （2）根据“模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高即可得到答案； （3）由样本中两种软件评分为等级的占比估计测验中的总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：“模型”的评分数据中等级数据有7份， 占比为： ，； “模型”的评分数据中等级数据份数为：， 等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84， 可知“模型”的评分数据中从大到小排序，第10，11位数据均为89， ； “模型”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多， ； 故答案为：15，89，97； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：估计此次测验中对“模型”、“模型”两种AI软件评分为等级的共有239人． 24. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD=4，，求AB的长． 【答案】（1）证明：如图，连接 ． ∵OA=OC ∴∠OAC＝∠OCA ∵∠OAC＝∠DAC ∴∠DAC＝∠OCA ∵AD⊥CE ∴ ∴· 即 ∵C为⊙O上一点 ∴CE是 的切线· （2）9 【解析】 【分析】（1）连接OC．只要证明OC⊥DE即可解决问题； （2）证明△CDA∽△BCA，利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接 ． ∵AB是 的直径， ， ， ∵∠BAC＝∠CAD ∴△CDA∽△BCA ∴ ∴AC= AB=． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键． 25. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为 、边上的点，，连接 ，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将 绕点顺时针旋转 得到（如图），此时 即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4， 中， ， ，以 为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将 绕点顺时针旋转 得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交 延长线于 ，将 绕点顺时针旋转 得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出； 将绕点逆时针旋转 得线段，连接、 ，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、 、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将 绕点顺时针旋转 得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：； 解：如下图所示，过点作，交 延长线于 ，将 绕点顺时针旋转 得到， ， ，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点 与 重合，、 、三点共线， ， 由可知， 在和中，， （）， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：； 当时，线段有最大值， 如下图所示，将绕点逆时针旋转 得线段，连接、 ， 是等腰直角三角形，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，即， 在和中，， ， ， 当有最大值时，有最大值， ， ， 当、 、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，直线 （点不在 上）和 ，给出如下定义：若点关于直线 的对称点在 上，则称点是 关于直线 的映像点，称线段的长度为点与 的映像距离． （1）如图， 的半径为，直线， ①在点，，中，点______是 关于直线的映像点，该点与 的映像距离为______； ②点是 关于直线的映像点，当点与 的映像距离最小时，点的坐标为______； （2）已知点，，点在 轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为．若上存在关于直线的映像点，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）①；；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①作 关于直线的对称，则点必定在，由此作出判断，并计算距离即可； ②连接，与的交点即为所求的点，作，垂足为 ，容易证明，使用三角函数求出点的坐标即可； （2）设点为的映像点，同理①可得，点在的对称上．观察可得，直线过定点，根据对称性可知，结合的半径为1可得点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上．当外圆与 相切时， 最小；当内圆过点时， 最大，分别计算对应的 的值，求出 的取值范围． 【小问1详解】 解：①如图，作 关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与 轴交于点 ， ∵点关于直线 的对称点在 上， ∴点必定在上，即， 将代入，得 ， ∴点 的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点 与点关于 对称， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 判断题干的点： 对于，与点重合，不符合题意； 对于，由勾股定理可得，不符合题意； 对于，，符合题意， ∴点是 关于直线的映像点， 由图可知，点关于直线的对称点的坐标为， ∴映像距离； ②由①可知，点在上，点在 上， ∴， ∴， ∴当 、、、四点共线时，最小， 如图，作，垂足为 ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，，， ∴， ， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为， 由①可知，点在上， 对于直线，当 时，， ∴直线过定点， 设这个定点为点 ，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心， 为半径的圆上， ∵半径为，点在上， ∴点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上， ①当外圆 与 相切时，圆 最小，即 最小， 如图，设切点为 ，连接，， ∵圆 与 相切于点 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴轴，轴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴，即， ②当内圆 过点时，圆 最大，即 最大，如图， 由勾股定理可得， ∴，即， 综上所述，， ∵，， ∴， ∴， 解得或． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系和轴对称的性质，运用逆向思维将圆反对称回去是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年甘肃省兰州市城关区兰州天庆实验中学中考一模数学试题 一、选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. C. π D. 0 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系的第二象限内，①号“”与②号“”是位似图形，位似中心为原点 ，位似比为．点在①号“”上，则点在②号“”上的对应点 的坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 苯（）的环状结构模型由德国化学家奥古斯特-凯库勒于1865年提出，该模型为有机化学中芳香族化合物的研究奠定了重要基础．随着研究的不断深入，发现一个苯分子中6个碳原子形成了正六边形的结构，如图1．其示意图如图2，点O为该正六边形的中心，连接，若 ，则相邻两个碳原子的核间距（即正六边形的边长）为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 无法确定 7. 二次函数 的自变量（表格中从左到右增大）与函数值 的对应值如下表： 0 1 3 1 0 1 下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，电路图上有，，三个开关和一个正常的小灯泡，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．向金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其对角线交于原点 ，若点的坐标为，点 的坐标为，则的长为（ ） A. 20 B. 24 C. 26 D. 28 11. 如图， 的半径为，正方形 的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（ ） A. 若 与正方形 的周长之和为定值，则 关于的函数关系为一次函数 B. 若 与正方形 的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C. 若 与正方形 的面积之积为定值，则 关于的函数关系为反比例函数 D. 若 与正方形 的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12. 分解因式：________． 13. 在2026年冬奥会短道速滑500米训练中，甲、乙、丙、丁四位运动员10次训练成绩的平均时间（秒）和方差如下表所示．要从中选择一名成绩优秀且发挥稳定的运动员代表国家参加冬奥会短道速滑比赛，应该选择__________． 甲 乙 丙 丁 秒 12.1 13.1 12.1 13.1 0.6 0.6 0.9 0.5 14. 如图， 是内部一点， ，且，，依次取、、、 的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是______． 15. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，点C，D分别为 ， 的中点，则花窗的面积为________（结果保留） 三、解答题（共11小题，满分75分） 16. 计算： 17. 解方程： 18. 解不等式组： 19. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点的面积为4． （1）分别求出反比例函数与一次函数的表达式； （2）求 的面积． 20. 项目学习： 项目背景：某地区田地边因下大雨形成了一个塌陷洞口，数学兴趣小组成员要测量塌陷口最大直径，因为靠近有危险，该小组的同学围绕“塌陷洞口的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 塌陷洞口的测量与计算 驱动问题 如何测量塌陷洞口的直径数据 活动内容 利用三角形、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 甲组：如图1，A，B两点分别为塌陷洞口最大距离的两端（其中A，B两点均在地面上）．因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，所以在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接，并延长到点C，连接，并延长到点D，使 ， ，连接，测出的长即可． 乙组：如图2，A，B两点分别为塌陷洞口最大距离的两端（其中A，B两点均在地面上）．因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，所以先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接 ，作 ，交直线于点C，最后测量的长即可． 丙组：如图3，根据塌陷周围地形状况，在安全地面选取合适的点P．测量A，P两点间的距离以及 和 ，测量三次取平均值，得到数据： ， ， ． 参考数据 ， ， ， ， 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述材料，回答下面的问题． （1）甲、乙两组的方案哪个可行？________（填“甲”或“乙”），并说明可行的理由． （2）根据丙组的测量方案，计算塌陷洞口的最大直径（即A，B两点间的距离，结果精确到 ）． 21. 一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方 处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 22. 有一破损的水管，截面如图．请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹） 23. 技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“ 模型”和“ 模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，： ，： ， ： ），下面给出了部分信息： 抽取的对“ 模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“ 模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“ 模型”、“ 模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“ 模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ________， ________， ________； （2）根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）此次测验中，有300人对“ 模型”进行评分，260人对“ 模型”进行评分，估计此次测验中对“ 模型”、“ 模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 24. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD=4，，求AB的长． 25. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为 、边上的点，，连接 ，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将 绕点顺时针旋转 得到（如图），此时 即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求 的长度． （3）如图4，中， ， ，以 为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，直线 （点不在 上）和 ，给出如下定义：若点关于直线 的对称点在 上，则称点是 关于直线 的映像点，称线段的长度为点与 的映像距离． （1）如图， 的半径为，直线， ①在点，，中，点______是 关于直线的映像点，该点与 的映像距离为______； ②点是 关于直线的映像点，当点与 的映像距离最小时，点的坐标为______； （2）已知点，，点 在 轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为．若上存在关于直线的映像点，直接写出 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $