专题4.1～4.3因式分解、提公因式法、公式法 同步讲义（题型导航+知识梳理+过关小练）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题4.1～4.3因式分解、提公因式法、公式法 同步讲义（北师大版） 题型导航 题型1判断是否是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数 题型3公因式 题型4提公因式法分解因式 题型5判断能否用公式法分解因式 题型6平方差公式分解因式 题型7完全平方公式分解因式 题型8综合运用公式法分解因式 题型9综合提公因式和公式法分解因式 题型10实数范围内分解因式 题型11因式分解在有理数简算中的应用 题型12十字相乘法 题型13分组分解法 题型14因式分解的应用 题型15过关小练 知识梳理 知识点一、因式分解 1.定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2.重点提示： （1）因式分解的前提是“多项式”，单项式不能进行因式分解； （2）结果必须是“几个整式的积”，且每个因式均为整式； （3）结果要彻底，每个因式都不能再继续分解。 易错点：误将整式乘法当作因式分解；结果中出现分式、无理式，均不是因式分解。 知识点二、因式分解的意义 1.简化运算：因式分解后可约分、合并同类项，简化整式加减、乘除、求值等运算； 2. 解决方程问题：是解一元二次方程、分式方程的核心方法； 3. 判断取值：可判断代数式的正负性、整除性； 知识点三、因式分解的基本方法 1. 提公因式法 (1) 公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做公因式。 即ma+mb+mc=m（a+b+c）  （2)公因式提取方法： ①找系数：取各项系数的最大公约数； ②看字母：取各项都含有的相同字母； ③看次数：取各项相同字母的最低次幂。 2.公式法 1. 平方差公式：（适用二项式） 2. 完全平方公式，（适用三项式） （3） 十字相乘法（适用于二次三项式） 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． 对于二次三项式，若存在 ，则 （4）分组分解法 1. 分组后每组分别提公因式或套公式，再对整体提公因式。 2. 常见分组方式：分组提公因式、分组套公式。 知识点四、因式分解的一般步骤 1.提公因式：优先提取公因式； 2.选方法：二项式优先平方差公式，三项式优先完全平方公式（不符则十字相乘）;四项及以上尝试分组分解； 3.检查彻底：确保每个因式不能再分解； 4.检验结果：将因式相乘，核对是否与原多项式一致。 知识点五、因式分解的易错点汇总 1.混淆因式分解与整式乘法； 2.分解不彻底（最常见错误）； 3.漏提公因式或提公因式不彻底； 4.符号错误、公式适用错误； 5.十字相乘法出错、分组不合理； 知识点六、因式分解的常见应用 1.化简求值：分解因式后代入数值计算； 2.解一元二次方程：因式分解法求解； 3.分式化简：分解因式后约分； 4.判断整除性：看多项式是否含对应因式； 5.比较大小：通过因式分解变形判断代数式大小关系。 题型解读 题型1.判断是否是因式分解 1．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（   ） A．B． C． D． 2．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 3．根据下边图形写一个关于因式分解的等式________．    题型2.已知因式分解的结果求参数 1．若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为（   ） A． B．7 C． D．1 2．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 3．要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 题型3.公因式 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 2．与的公因式为（   ） A． B． C． D． 3．多项式中各项的公因式是______． 题型4.提公因式法分解因式 1．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 2．利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 3．因式分解：___________． 题型5.判断能否用公式法分解因式 1．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 3．下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 题型6.平方差公式分解因式 1．下列因式分解中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．分解因式：______． 题型7.完全平方公式分解因式 1．不论x，y为何实数，的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 2．将代数式进行因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为______． 题型8.综合运用公式法分解因式 1．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 2．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 3．若，则_____． 题型9.综合提公因式和公式法分解因式 1．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．德州游 C．我爱德州 D．美我德州 2．分解因式的结果是（    ） A． B．C． D． 3．因式分解：_____． 题型10.实数范围内分解因式 1．将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．在实数范围内因式分解：______． 题型11.因式分解在有理数简算中的应用 1．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 2．设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 3．已知，则_______． 题型12.十字相乘法 1．若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 3．下列多项式，不能分解因式的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型13.分组分解法 1．用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 3．因式分解：___________． 题型14.因式分解的应用 1．已知，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．已知，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．已知，则_______． 过关小练 一、单选题 1．下列四个多项式中，不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式，下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 4．把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 6．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．因式分解：__________． 8．因式分解：_________． 9．在实数范围内因式分解：______． 10．因式分解：________． 11．若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 12．若实数，满足，，则_______． 三、解答题 13．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 15．自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 16．阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1～4.3因式分解、提公因式法、公式法 同步讲义（北师大版） 题型导航 题型1判断是否是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数 题型3公因式 题型4提公因式法分解因式 题型5判断能否用公式法分解因式 题型6平方差公式分解因式 题型7完全平方公式分解因式 题型8综合运用公式法分解因式 题型9综合提公因式和公式法分解因式 题型10实数范围内分解因式 题型11因式分解在有理数简算中的应用 题型12十字相乘法 题型13分组分解法 题型14因式分解的应用 题型15过关小练 知识梳理 知识点一、因式分解 1.定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2.重点提示： （1）因式分解的前提是“多项式”，单项式不能进行因式分解； （2）结果必须是“几个整式的积”，且每个因式均为整式； （3）结果要彻底，每个因式都不能再继续分解。 易错点：误将整式乘法当作因式分解；结果中出现分式、无理式，均不是因式分解。 知识点二、因式分解的意义 1.简化运算：因式分解后可约分、合并同类项，简化整式加减、乘除、求值等运算； 2. 解决方程问题：是解一元二次方程、分式方程的核心方法； 3. 判断取值：可判断代数式的正负性、整除性； 知识点三、因式分解的基本方法 1. 提公因式法 (1) 公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做公因式。 即ma+mb+mc=m（a+b+c）  （2)公因式提取方法： ①找系数：取各项系数的最大公约数； ②看字母：取各项都含有的相同字母； ③看次数：取各项相同字母的最低次幂。 2.公式法 1. 平方差公式：（适用二项式） 2. 完全平方公式，（适用三项式） （3） 十字相乘法（适用于二次三项式） 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． 对于二次三项式，若存在 ，则 （4）分组分解法 1. 分组后每组分别提公因式或套公式，再对整体提公因式。 2. 常见分组方式：分组提公因式、分组套公式。 知识点四、因式分解的一般步骤 1.提公因式：优先提取公因式； 2.选方法：二项式优先平方差公式，三项式优先完全平方公式（不符则十字相乘）;四项及以上尝试分组分解； 3.检查彻底：确保每个因式不能再分解； 4.检验结果：将因式相乘，核对是否与原多项式一致。 知识点五、因式分解的易错点汇总 1.混淆因式分解与整式乘法； 2.分解不彻底（最常见错误）； 3.漏提公因式或提公因式不彻底； 4.符号错误、公式适用错误； 5.十字相乘法出错、分组不合理； 知识点六、因式分解的常见应用 1.化简求值：分解因式后代入数值计算； 2.解一元二次方程：因式分解法求解； 3.分式化简：分解因式后约分； 4.判断整除性：看多项式是否含对应因式； 5.比较大小：通过因式分解变形判断代数式大小关系。 题型解读 ★ 题型1.判断是否是因式分解 1．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项右边是和的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误． B选项右边是差的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误． C选项左边多项式变形后为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确． D选项变形是整式乘法，是将乘积化为和的形式，不是因式分解，错误． 2．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，直接利用因式分解的意义分析得出答案． 【详解】解：①，是多项式乘法，故①不是因式分解； ②，是因式分解，； ③是单项式，不是因式分解； ④中不是整式，故④不是因式分解； ⑤，等式右边不是整式的乘积，故⑤不是因式分解， 故答案为：②． 3．根据下边图形写一个关于因式分解的等式________．    【答案】 【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式． 【详解】解：图形的面积， 又图形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键． 题型2.已知因式分解的结果求参数 1．若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为（   ） A． B．7 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键．展开因式分解后的表达式，与原二次三项式对比系数，求出k和b，再计算的2025次幂． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于的方程是解此题的关键．因多项式有一个因式是，则当时，多项式的值为零，由此得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵多项式有一个因式是， ∴当时，多项式值为零，即， 解得， 即k的值为． 故选：B． 3．要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解的条件，设二次三项式可分解为，其中a和b为整数，则，,由于a可取任意整数，p随之有无数个取值,即可解答． 【详解】解：∵二次三项式在整数范围内能因式分解， ∴可设，其中a，b为整数． 即， ∴． 令a为任意整数，则，亦为整数， ∴． 由于a可取无数个整数值，故p也有无数个可能取值． 故选D． 题型3.公因式 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分解因式，提取公因式需确定系数的最大公因数和各项共有字母的最低次幂，由此即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵系数2和8的最大公因数为2，变量和都含有，且的最低次幂为1， ∴公因式为， 故选：B． 2．与的公因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式由系数最大公因数和字母公因式组成，字母取指数最小值，由此求解即可，熟练掌握公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：与的系数最大公因数为，字母的指数最小值为，字母的指数最小值为， 故公因式为， 故选：A． 3．多项式中各项的公因式是______． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，分别确定公因式的系数与字母部分，即可得到结果． 【详解】解：多项式的两项分别为，， 确定公因式时，系数取各项系数的最大公约数，两项系数均为，故系数部分为， 字母取各项都含有的相同字母，且相同字母取最低次幂，两项都含有字母，的次数分别为和，最低次幂为，第二项不含字母， 因此各项的公因式为． 题型4.提公因式法分解因式 1．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 2．利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 3．因式分解：___________． 【答案】 【分析】通过提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 题型5.判断能否用公式法分解因式 1．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 2．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 3．下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式，掌握知识点是解题的关键． 完全平方式的形式为，通过比较各选项的系数判断是否符合即可． 【详解】解：A．在中，常数项是，是负数，该项不可能是完全平方式，不符合题意；； B．，一次项系数的一半的平方为，该项不是完全平方式，不符合题意； C．，中间项应为，该项不是完全平方式，不符合题意； D． ，该项是完全平方式，符合题意． 故选D． 题型6.平方差公式分解因式 1．下列因式分解中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的概念以及提公因式法、公式法因式分解，根据相关规则对各选项逐一判断即可。 【详解】∵ 对选项A，由平方差公式分解得，∴ A错误； ∵ 对选项B，提公因式得，∴ B错误； ∵ 对选项C，因式分解要求结果为几个整式乘积的形式，是和的形式，不符合要求，且，∴ C错误； ∵ 对选项D，由完全平方公式得，分解正确，∴ D正确。 2．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确能用平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且每一项都可化为平方的形式，再逐一判断即可得出符合条件的个数． 【详解】解：①，两项同号，不符合，不能分解； ②，符合条件，能分解； ③，符合条件，能分解； ④不是多项式，无法进行因式分解； ⑤，符合条件，能分解； 综上符合条件的共有3个． 3．分解因式：______． 【答案】 【分析】先将前三项分为一组，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可得到最终结果． 【详解】原式 ． 题型7.完全平方公式分解因式 1．不论x，y为何实数，的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 【答案】A 【分析】利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】 ∵， ∴， ∴的值总是正数． 2．将代数式进行因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察原式符合完全平方公式的结构，套用公式分解即可得到结果． 【详解】解：． 3．若，则的值为______． 【答案】9 【分析】将所求多项式利用完全平方公式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据完全平方公式因式分解，得 ， 将代入，得 原式． 题型8.综合运用公式法分解因式 1．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 3．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，公式法进行因式分解，正确计算是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出 m 和 n 的值，然后利用公式法进行因式分解，代入数据进行求值即可． 【详解】解：， 且，， ∴，， 解得：，， 则 当，时， 原式 故答案为： ． 题型9.综合提公因式和公式法分解因式 1．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．德州游 C．我爱德州 D．美我德州 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，先对给定多项式因式分解，再根据密码对应关系得到结果即可． 【详解】解： ∵对应我，对应爱,对应德,对应州， ∴因式分解结果对应的密码信息是我爱德州． 2．分解因式的结果是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，注意因式分解要彻底． 【详解】解： = ， 故选：C． 3．因式分解：_____． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用平方差公式继续因式分解即可． 【详解】解：原式． 题型10.实数范围内分解因式 1．将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查在实数范围内利用平方差公式进行因式分解，先将常数项转化为实数的平方形式，再进一步求解即可． 【详解】解： 故选：B． 2．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 3．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．通过求解一元二次方程得到实数根，然后根据根写出因式分解形式即可． 【详解】解：方程， 其中，，， 判别式：， ∴， 即：，， 因此， 故答案为：． 题型11.因式分解在有理数简算中的应用 1．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 2．设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果． 【详解】 因为 所以与最接近的正整数为25． 故选：A． 3．已知，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了几个非负数之和为零，则它们均为零的问题，还考查了平方差公式的应用．根据绝对值和算术平方根的非负性即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型12.十字相乘法 1．若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 2．若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先对已知等式移项凑因式分解形式，得到变量的约束条件，再分别代入目标式，结合平方的非负性找到最小值，确定最终答案． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得， ∴或． 情况1：当时，， ∵， ∴ 表达式的最小值为； 情况2：当时，， ∵， ∴， 表达式的最小值为． 3．下列多项式，不能分解因式的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了多项式因式分解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题需依据初中因式分解的方法（提公因式法、公式法、十字相乘法），逐个判断多项式能否分解因式，统计不能分解的个数后确定答案，即可求解； 【详解】①∵， ∴由平方差公式可得，原式，能分解因式． ②∵，在实数范围内无法分解， ∴原式不能分解因式． ③∵， ∴由完全平方公式可得，原式，能分解因式． ④∵， ∴由完全平方公式可得，原式，能分解因式． ⑤∵可通过十字相乘法，将拆分为和1，且， ∴原式，能分解因式． 综上，不能分解因式的只有1个， 故选：A； 题型13.分组分解法 1．用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查分组分解法分解因式，分组后都可运用公式，熟练掌握分组分解法分解因式是解答本题的关键． 将分为一组，再观察剩下的式子，即． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 2．下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 3．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式． 【详解】解： 故答案为：． 题型14.因式分解的应用 1．已知，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解. 再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求式子因式分解得：， ∵ ，， ∴ 原式． 2．已知，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式因式分解，再代入x的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 3．已知，则_______． 【答案】32 【分析】将等式的左边转化为完全平方公式的和的性质，利用非负性求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴. 过关小练 一、单选题 1．下列四个多项式中，不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的判断，利用提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）分析每个多项式是否能因式分解． 【详解】解：∵A选项，符合完全平方公式，可因式分解； ∵B选项，符合平方差公式，可因式分解； ∵C选项没有公因式，也不符合常见公式的形式，无法因式分解； ∵D选项，提公因式x即可因式分解； 故选：C． 2．把多项式分解因式，下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分解因式要求结果为几个整式乘积的形式，将原式根据完全平方公式变形即可得到结果． 【详解】解： 选项：结果不是整式乘积的形式，不符合分解因式要求； 选项：展开得，与原式不符； 选项：展开得，与原式不符； 选项：，正确． 3．把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分解因式，提取公因式需确定系数的最大公因数和各项共有字母的最低次幂，由此即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵系数2和8的最大公因数为2，变量和都含有，且的最低次幂为1， ∴公因式为， 故选：B． 4．把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，理解题意：把多项式先分组，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴把多项式先分组，得 故选：C 5．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．利用平方差公式因式分解得，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 6．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 二、填空题 7．因式分解：__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式因式分解． 【详解】解：． 8．因式分解：_________． 【答案】 【分析】观察多项式的特征，其符合完全平方公式的形式，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 9．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式进行因式分解，解题的关键是利用求根公式求出二次三项式对应的方程的根，再根据因式分解的方法进行分解． 先将二次三项式视为关于的一元二次方程，求出其根，再根据“若的根为，则”进行因式分解． 【详解】解：对于，将其看作关于的方程， 由求根公式得： ． 则 ． 故答案为：． 10．因式分解：________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．直接将原式重新分组进而利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： . 故答案为 11．若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 12．若实数，满足，，则_______． 【答案】 【分析】将所求多项式因式分解，再整体代入已知的与的值计算即可． 【详解】解：对因式分解， 先提公因式得， 再由平方差公式因式分解得， 把，代入得， 原式 三、解答题 13．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式； （2）利用十字相乘法分解因式； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （4）先变形整式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，式有最小值，最小值为1； 【分析】（1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． 15．自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式为，k的值为； (3) (4) 【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接计算后作答即可； （2）仿照题干作答即可； （3）计算后求出的值，进而作答即可； （4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论． 【详解】（1）解：， 则， ∴，． 故答案为：，； （2）解：设另一个因式为，得 则， ， 解得， 另一个因式为，k的值为； （3）解：， 则， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：设另一个因式为，得 则， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 16．阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或． 【分析】本题考查整式的运算，掌握因式分解、平方差公式以及多项式乘以多项式是解题的关键，． （1）根据分解因式的方法-分组分解法分解因式即可； （2）不等式左边分解因式后，根据两边之和大于第三边验证即可； （3）先进行因式分解，然后解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解： （2）证明： ， ∵，， ∴，， ∴， 则； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴与也是整数， ∴， ∴或， ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $