8.3三角形的中位线讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

本讲义聚焦三角形中位线的定义、定理及中点四边形判定，承接三角形中线、平行四边形知识，构建从定义辨析到定理应用再到综合问题解决的学习支架，为复杂几何问题解决奠定基础。 资料通过折叠实验抽象中位线定义，剪拼操作验证定理，结合思维导图梳理知识脉络，培养几何直观与逻辑推理素养。分层设计基础过关与强化提优练习，课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固查漏，有效提升知识应用能力。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第八章四边形第三节三角形的中位线》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解并掌握三角形中位线的定义，熟记三角形中位线定理的内容，能准确运用定理进行线段长度计算、直线平行证明，掌握中点四边形的形状判定方法。 2.通过动手操作、猜想、推理证明，经历三角形中位线定理的探究过程，提升几何推理、逻辑思维和动手探究能力，体会转化的数学思想。 3.   在探究定理和解决问题的过程中，感受几何知识的实用性，激发学习数学的兴趣，培养严谨的几何推理习惯和合作探究意识。 4.   发展几何直观、逻辑推理、数学运算核心素养，能将三角形中位线知识与四边形知识结合，构建几何知识体系。 ) 二．重点难点 ( （ 一）重点 1.   三角形中位线的定义辨析，区分三角形中位线与三角形中线的本质区别。 2.   三角形中位线定理的内容理解、几何语言表达，以及定理的直接应用。 3.   利用三角形中位线定理判定中点四边形的形状，掌握核心判定依据。 （二）难点 1.   三角形中位线定理的严谨推理证明，辅助线的添加思路和方法。 2.   灵活运用三角形中位线定理，结合四边形、直角三角形等知识解决综合几何问题。 3.   理解中点四边形形状与原四边形对角线的数量、位置关系，完成复杂图形中的中位线识别与应用。 ) 3． 思维导图 ( ) 四．课前预习 请同学们预习教材对应内容，完成下列填空题： 1.连接三角形________的线段叫做三角形的中位线，一个三角形有________条中位线。 2.三角形的中位线________于第三边，且等于第三边的________。 3.三角形的中线是连接________与________的线段，三角形中位线与中线的端点不同，中位线两端点都是________，中线一端点是________，另一端点是对边中点。 4.顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是________。 5.若三角形的三边长分别为6、8、10，则连接各边中点得到的新三角形的周长为________。 【答案】1.两边中点；3 2.平行；一半 3.三角形顶点；对边中点；边的中点；三角形顶点 4.平行四边形 5.12 五．课堂探秘 一．三角形的中位线的定义及其理解 按下图的方式将一张三角形包装纸折叠成一个矩形信封。 . 你能在上图(1)中找到哪些相等的线段? 根据上面的折叠过程，可得DA=DA'，DB=DA，所以DA=DB.同理可得EA=EC，即D，E分别是边AB，AC的中点.连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线(median line oftriangle). ( 【 知识梳理 】 1.三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段，叫做这个三角形的中位线。 2.三角形中位线的数量：任意一个三角形都有三条中位线。 3.图形示意：在 △ ABC中，若点D、E分别是边AB、AC的中点，那么线段DE就是 △ ABC的一条中位线；同理，分别取BC、AB中点，BC、AC中点，连接而成的线段，也都是该三角形的中位线。 【 知识点睛 】 1.关键点：三角形中位线的两个端点，必须是三角形两条边的中点，二者缺一不可，这是判断一条线段是否为三角形中位线的核心依据。 2.易混概念辨析：区分三角形中位线与三角形中线 （ 1 ） 三角形中位线：两端点均为三角形边的中点； （ 2 ） 三角形中线：一端点是三角形的顶点，另一端点是该顶点对边的中点。 3.本质：三角形中位线是三角形内部一条特殊的线段，是后续学习三角形中位线定理的基础，仅从定义层面，只需掌握其端点特征即可。 【 命题方向 】 1.直接考查三角形中位线的定义，判断给定线段是否为三角形的中位线； 2.结合图形，确定三角形中位线对应的顶点、中点位置，完成简单的图形识别； 3.以单选题形式，辨析三角形中位线与中线的概念，考查概念理解的准确性； 4.结合中点条件，找出三角形中所有的中位线，考查概念的应用能力。 ) 【精讲1】如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则下列线段中，是△ABC中位线的是（ ） A. 线段AD B. 线段BE C. 线段DE D. 线段AF 【答案】：C 【解析】：根据三角形中位线定义，需连接三角形两边中点的线段才是中位线。选项A中AD是AB边上的一部分，D只是AB中点，未连接另一个中点；选项B中BE一端是顶点B，一端是AC中点E，属于三角形中线；选项C中DE连接AB中点D和AC中点E，符合中位线定义；选项D中AF一端是顶点A，一端是BC中点F，属于三角形中线。故选C。 【精讲2】一个三角形的中位线共有几条？请在△ABC中，画出它的所有中位线，并写出每条中位线对应的两个中点。 【答案】：一个三角形有3条中位线；画图及中点对应见解析 【解析】：一个三角形有三条边，每两条边对应一条中位线，因此共有3条中位线。 在△ABC中： ① 取AB中点D、AC中点E，连接DE，DE是△ABC的中位线（中点D、E）； ② 取AB中点D、BC中点F，连接DF，DF是△ABC的中位线（中点D、F）； ③ 取AC中点E、BC中点F，连接EF，EF是△ABC的中位线（中点E、F）。 ( 【解题方法点拨】 1.判断中位线三步走： 第一步：找线段的两个端点； 第二步：判断两个端点是否均为三角形某两条边的中点； 第三步：符合则为中位线，不符合则不是。 2.区分中位线与中线技巧： 看端点：双中点 → 中位线，一顶点一中点 → 中线，牢记该口诀即可快速区分。 3.找全中位线方法： 先找出三角形所有边的中点，再依次连接不重合的两个中点，每一条连线都是一条中位线，避免遗漏。 ) 【跟踪练1】下列关于三角形中位线的说法，正确的是（ ） A. 连接三角形三个中点的线段叫做三角形的中位线 B. 三角形的中位线只有一条 C. 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 D. 三角形的中位线是连接顶点和对边中点的线段 【答案】：C 【解析】：选项A错误，三角形中位线是连接两边中点的线段，并非三个中点；选项B错误，三角形有三条中位线；选项C符合三角形中位线的定义，说法正确；选项D描述的是三角形中线，并非中位线。故选C。 【跟踪练2】下列线段中，能表示三角形中位线的是（ ） A. 连接三角形一个顶点和对边中点的线段 B. 连接三角形两边中点的线段 C. 连接三角形两边上任意两点的线段 D. 连接三角形三个中点的线段 【答案】：B 【解析】：根据三角形中位线的定义，只有连接三角形两边中点的线段才是三角形中位线，选项A是三角形中线，选项C、D不符合中位线定义，故选B。 二．三角形的中位线定理 【尝试】如图，完成下列操作，并回答问题: 1.剪一张三角形纸片ABC. 2.沿中位线DE将纸片剪成两部分，拼得的图形是平行四边形吗? 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF=DE，连接CF. 由EA=EC,∠AED=∠CEF, DE=EF,可得△ADE≌△CFE,于图是AD=CF，∠ADE=∠F.所以BD// CF，BD= AD= CF,可得四边形 BCFD是平行四边形.所以DE//BC,DE=DF=BC. 于是，我们得到三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ( 【 知识梳理 】 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在 △ ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点，则 DE ∥ BC，DE＝ BC。 3.一个三角形有 3 条中位线，三条中位线围成的三角形与原三角形相似，周长为原三角形的 ，面积为原三角形的 。 4.中位线常用于：平行判定、线段倍分、周长与面积计算、中点四边形。 【 知识点睛 】 1. 中位线＝中点连线，不是中线。 2. 定理作用：既得平行，又得长度关系，可实现线段与角度的转化。 3. 常见模型： （ 1 ） 见 “ 中点+中点 ”→ 优先用中位线 （ 2 ） 见 “ 倍长线段、平行四边形、梯形 ”→ 常构造中位线 。 【命题方向】 1.直接考查：判断给定线段是否为三角形的中位线，根据定义确定三角形中位线； 2.基础计算：结合中点定义，利用中位线端点性质，计算线段长度或确定中点位置； 3.图形判断：在复杂几何图形中，识别三角形中位线，为后续几何证明、计算做铺垫； 4.题型设置：以单选题、简单填空题为主，属于中考几何基础考点，难度较低。 ) 【精讲1】如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE， ∴DE∥BC且 又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2(BD+BE+DE)，即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12.故选C。 【精讲2】如图，在△ABC中，AC=8，BC=12，AF交BC于F，E为AB的中点，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，则DE的长为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD和△FCD中，∵∠ACD＝∠FCD，CD＝CD，∠ADC＝∠FDC，∴△ACD≌△FCD，∴FC=AC=8，AD=DF，∴BF=BC-CF=4． ∵E为AB的中点，AD=DF，∴DE是△ABF的中位线，∴DE=BF=2．故选A． 【精讲3】如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 【答案】C 【解析】如图，连接，，分别是，的中点，是的中位线， ，四边形为矩形，，，点保持不动，的长度始终不变，的长不变，故选：C． 【精讲4】如图，中，对角线AC、BD相交于点O，点 E， F，G，H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连接EFGH． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形 （2）若的周长为2（AB+BC）=32，则四边形EFGH的周长为__________ 【解答】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴， ∴OE=OG，OF=OH，∴四边形EFGH是平行四边形； （2）∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴，∴ ，∵的周长为2（AB+BC）=32，∴ ，∴ ，由（1）知：四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH的周长为 ． ( 【解题方法点拨】 1.看到双中点，马上想中位线。 2.只有一个中点时，可取另一边中点构造中位线。 3.求线段长：用 “ 一半 ” 关系；证平行：用 “ 平行 ” 结论。 4 .中考常与勾股定理、平行四边形、折叠、坐标系结合。 ) 【跟踪练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，勾股定理可得BC=＝6，又∵DE垂直平分AC，∠ACB=90°，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理DE=BC=3，故答案选D. 【跟踪练2】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　 　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10， ∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B． 【跟踪练3】如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】A 【解析】∵▱ABCD的周长为36，∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．又∵点E是CD的中点，DE=CD， ∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，∴△DOE周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15， 即△DOE的周长为15．故选A 【跟踪练4】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是_______． 【答案】144° 【解析】∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，∵∠PEF＝18°，∴∠PEF＝∠PFE＝18°．∠FPE＝180°-18°-18°=144°．故答案为：144°． 【跟踪练5】如图，在中，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形的面积为，求的面积． 解：（1）证明：∵，分别为，的中点，∴为的中位线，∴，．∵，∴．∵，∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，∴的面积的面积．∵是的中点，∴的面积的面积．∵是的中点，∴的面积的面积，∴的面积． 【跟踪练6】一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形． 证明：取AD的中点Q，连接EQ、FQ，∵E，F、Q分别为AB，CD、AD的中点，∴EQ∥BD，EQ=BD，FQ=AC，FQ∥AC，∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM，∵AC＝BD，∴QE＝QF，∴∠QEF＝∠QFE，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形． 三．中点四边形 例：如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD 的 AB,BC, CD,DA 的中点.连接EF,FG,GH，HE. 求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明：如图，连接AC. ∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF//AC,EF=AC(三角形的中位线定理)。同理可得GH//AC,GH=AC. ∴EF//GH,EF =GH，∴四边形EFGH是平行四边形. 由例题可知，首尾顺次连接四边形ABCD的各边中点，可以得到一个平行四边形，那么，当四边形ABCD满足什么条件时，所得的平行四边形是矩形、菱形或正方形呢? 【解析】当原四边形 ABCD 的对角线 互相垂直 时，中点四边形是矩形。当原四边形 ABCD 的对角线 长度相等 时，中点四边形是菱形。当原四边形 ABCD 的对角线 长度相等且互相垂直 时，中点四边形是正方形。 ( 【 知识梳理 】 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 3.中点四边形定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形。 4.中点四边形的形状只与原四边形的对角线有关，与原四边形形状无关。 【 知识点睛 】 1. 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形。 2. 判定中点四边形形状，只看原四边形两条对角线： （ 1 ） 对角线相等 ⇒ 中点四边形是菱形； （ 2 ） 对角线垂直 ⇒ 中点四边形是矩形； （ 3 ） 对角线相等且垂直 ⇒ 中点四边形是正方形。 【 命题方向 】 1.直接判断中点四边形的形状（选择、填空必考）。 2.已知中点四边形形状，反推原四边形对角线特征。 3.结合周长、面积进行简单计算。 4.与矩形、菱形、正方形判定综合证明。 ) 【精讲1】顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 (　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.以上都不对 【答案】A　 【解析】如图,已知四边形ABCD,E,N,M,F分别是DA,AB,BC,DC的中点,连接AC,BD,根据三角形中位线定理可得:EF平行且等于AC的一半,MN平行且等于AC的一半,根据平行四边形的判定,可知四边形MNEF为平行四边形.故选A. 【精讲2】四边形ABCD的对角线AC⊥BD,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,那么四边形EFGH是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B　 【解析】根据三角形中位线定理,平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形,再由对角线AC⊥BD知四边形EFGH有一个内角为90°,根据矩形的判定定理可得结果. 【精讲3】若四边形的两条对角线相等且互相垂直,则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】D　 【解析】根据三角形中位线的性质,可得到这个四边形是平行四边形,再由对角线相等且互相垂直,能证出这个四边形的邻边相等且有一个角等于90°,则这个四边形为正方形. 【精讲4】如图,在矩形ABCD中,分别取AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE. 求证:四边形EFGH是菱形. 证明:如图,连接AC,BD.∵E为AB的中点,F为BC的中点,∴EF为△ABC的中位线,∴EF=AC,同理,HG=AC,EH=FG=BD.∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE, ∴四边形EFGH是菱形. 【精讲5】如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB,BC,CD,DA的中点分别为P,Q,M,N. (1)试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论; (2)求∠NMQ的大小. 解:如图,连接BD,AC,AC与BD相交于点O. （1）四边形PQMN为菱形.证明:∵△ADE和△ECB都是等边三角形,∴AE=DE,EC=EB,∠AED=∠BEC=60°,∴∠AEC=∠DEB=120°.在△AEC和△DEB中,∴△AEC≌△DEB(SAS),∴AC=DB.∵M,N分别是CD,AD的中点,∴MN是△ACD的中位线,即 MN=AC.同理可证得NP=DB,QP=AC,MQ=BD,∴MN=NP=PQ=MQ,∴四边形PQMN是菱形. (2)由(1)知△AEC≌△DEB,∴∠ACE=∠DBE,∴∠CEB=∠CAB+∠ACE=∠CAB+∠DBE=60°,∴∠AOB=120°.由题意可知∠NMQ=∠DOC=∠AOB,∴∠NMQ=120°. ( 【解题方法点拨】 1.一抓核心：中点四边形只看原四边形对角线，不看原四边形本身。 2.二记口诀： 任意四边形：中点必平行； 对角线相等：中点变菱形； 对角线垂直：中点变矩形； 相等又垂直：中点正方形。 3.三用定理：所有证明与判断都用三角形中位线定理。 4.中考答题：选择、填空直接用结论，解答题先写中位线定理再判定。 ) 【跟踪练1】顺次连接四边形各边中点得到菱形，则原四边形一定满足（ ） A. 对角线相等 B. 对角线垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线垂直且相等 【答案】：A 【解析】：中点四边形是菱形 ⇔ 原四边形对角线相等。 【跟踪练2】若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是矩形,则该四边形一定是(　) A.对角线相等的四边形 B.等腰梯形 C.菱形 D.对角线互相垂直的四边形 【答案】D　 【解析】如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG.∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,∴AC⊥BD,即四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形.故选D. 【跟踪练3】如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.要使四边形EFGH是正方形,则BD,AC应满足的条件是　 .  【答案】AC=BD且AC⊥BD　 【解析】满足的条件应为:AC=BD且AC⊥BD.理由:∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点, ∴在△ADC中,HG为△ADC的中位线,∴HG∥AC且HG==AC;同理EF∥AC且EF=AC,EH=BD. 则HG∥EF且HG=EF,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AC=BD,∴EF=EH,∴四边形EFGH是菱形.∵AC⊥BD,EF∥AC,∴EF⊥BD.∵EH∥BD,∴EF⊥EH,∴∠FEH=90°,∴菱形EFGH是正方形. 【跟踪练4】如图,在四边形ABDC中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,并且E,F,G,H四点不共线. (1)求证:四边形EFGH为平行四边形; (2)当AC=BD时,求证:四边形EFGH为菱形. 解：(1)证明:∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG=BD,FG∥BD.∵E,H分别为AB,DA的中点, ∴EH=BD,EH∥BD,∴FG∥EH,FG=EH,∴四边形EFGH为平行四边形. (2)由(1)得FG=BD.由题易知GH=AC.∵AC=BD,∴FG=GH.又∵四边形EFGH是平行四边形, ∴四边形EFGH为菱形. 【跟踪练5】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F,G,H分别为AD,BC,BD,AC的中点,顺次连接E,G,F,H. (1)求证:四边形EGFH是菱形; (2)当∠ABC与∠DCB满足什么关系时,四边形EGFH为正方形?说明理由; (3)猜想:∠GFH,∠ABC,∠DCB之间的关系(直接写出结果). 解:(1)证明:∵E,F,G,H分别为AD,BC,BD,AC的中点,∴EG=AB,EH=CD,HF=AB,EG∥AB,HF∥AB,∴EG=HF,EG∥HF,∴四边形EGFH是平行四边形.∵AB=CD,∴EG=EH,∴四边形EGFH是菱形. (2)当∠ABC+∠DCB=90°时,四边形EGFH为正方形. 理由:由(1)得HF∥AB,∴∠ABC=∠HFC.∵F,G分别是BC,BD的中点,∴FG∥CD,∴∠DCB=∠GFB.∵∠ABC+∠DCB=90°,∴∠HFC+∠GFB=90°,∴∠GFH=90°,∴菱形EGFH是正方形. (3)∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°.理由:∵GF∥CD,HF∥AB,∴∠ABC=∠HFC,∠DCB=∠GFB.∵∠HFC+∠GFH+∠BFG=180°,∴∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°. 六．基础过关 （一）．选择题 1．三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( ) A. 6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm 【答案】C 【解析】∵三角形的三条中位线分别为3cm、4cm、6cm，∴三角形的三边分别为6cm，8cm，12cm，∴这个三角形的周长=6+8+12=26cm，故选C． 2．△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，又∵BC=8，∴DE=4，故选B. 3．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 50° 【答案】A 【解析】∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形， ∵∠MPN=130°，∴∠PMN=（180°-∠MPN）÷2=25°，故选A． 4．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（　　） A. 18 B. 14 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，∵E为AC中点，∴CE=AC==7.5，DE=AB==7.5，∵CD+DE+CE=24，∴CD=24-7.5-7.5=9，∴BC=18，故选A . 5．如图，平行四边形的周长为，对角线， 相交于点，点是的中点， ，则的周长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵平行四边形ABCD的周长为36，∴BC+DC=18.∵平行四边形ABCD的对角线BD、AC相交于点O，∴O是BD的中点，DO=BD=6.又∵E是CD的中点，∴DE=CD，OE是△BDC的中位线，∴OE=BC.∴DO+DE+OE=6+ (CD+BC)=6+9=15.即△DOE的周长为15.故选D. 6.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【解析】连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB13， ∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5； 故选：B． 7.如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 【答案】B 【解析】如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点， ∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=BC，GF=AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即BC+AD＞EF，∴AD+BC＞2EF，当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上，∴AD+BC＝2EF，所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF．故选：B． 8.如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA）∴BE＝BA，AN＝NE， 同理，CD＝CA，AM＝MD，∴DE＝BE+CD﹣BC＝BA+CA﹣BC＝20﹣8﹣8＝4，∵AN＝NE，AM＝MD， ∴MN=DE＝2，故选：B． 9.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，， ∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3， ∴EH5，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN=EH＝2.5，故选：A． 10.如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【解析】延长AF、BC交于点G，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，在△ACF和△GCF中，，∴△ACF≌△GCF（ASA），∴CG＝AC＝7，AF＝FG，∴BG＝CG﹣CB＝3，∵AE＝EB，AF＝FG，∴EF=1/2BG＝1.5，故选：A． （二）．填空题 11. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=_________ 【答案】4 【解析】∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，∴DE=BC=4．故答案为4． 12．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为　　cm． 【答案】12 【解析】∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为：12． 13．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、EF，则△DEF的周长是　　． 【答案】9 【解析】∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，∴DE＝BC＝3.5，DF＝AC＝3，EF＝AB＝2.5，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝9，故答案为：9． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，点D、E、F是三边的中点，则△DEF的周长是　　． 【答案】12 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝8，∵点D、E、F是三边的中点，∴DE＝AC＝3，DF＝AB＝5，EF＝BC＝4，∴△DEF的周长＝3+4+5＝12，故答案为：12． 15．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，∠ABC的平分线交线段DE于点F，若AB＝12，BC＝18，则线段EF的长为　　． 【答案】3 【解析】延长AF交BC于H，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝9，AF＝FH，在△BFA和△BFH中，，∴△BFA≌△BFH（AAS）∴BH＝AB＝12， ∵AD＝DB，AF＝FH，∴DF＝BH＝6，∴EF＝DE﹣DF＝3，故答案为：3． 16．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是　　． 【答案】13或12 【解析】当24是直角边时，由勾股定理得，斜边AB＝＝＝26， ∵M、N分别为CA、CB的中点，∴MN＝AB＝13，当24是斜边时，MN＝AB＝12， 故答案为：13或12． 17．如图，已知EF是△ABC的中位线，DE⊥BC交AB于点D，CD与EF交于点G，若CD⊥AC，EF＝8，EG＝3，则AC的长为　　． 【答案】8 【解析】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，AB＝2EF＝16，∵EF∥AB，CE＝EB，∴DB＝2GE＝6，∴AD＝AB﹣BD＝10，∵CD⊥AC，CE＝EB，∴CD＝BD＝6，在Rt△ACD中，AC＝＝8，故答案为：8． 18．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是　　． 【答案】14 【解析】∵D、E分别为BC、AC中点，∴DE＝AB＝3，DE∥AB，∵E、F分别为AC、AB中点， ∴EF＝BC＝4，EF∥BC，∴平行四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14， 故答案为：14． 19．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　． 【答案】 【解析】∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，在△BNA和△BNE中， ．∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，∴MN＝DE＝．故答案是：． 20.如图．在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为_______ 【答案】 【解析】延长至，使，连接，作于，平分的周长，，又，，，，，，，，，，，，，故选：． （三）．解答题 21. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点． (1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)条件下，若DE＝4，求BC的长． 解：（1）如图，DE为所作； （2）∵D点为AB的中点，E点为AC的中点，∴△ABC中位线定理，∴BC=2DE=8． 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D． （1）求证：CE＝DE； （2）若点F为BC的中点，求EF的长． 解：（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵CE⊥AE，∴∠AEC＝∠AED＝90°， 在△AEC和△AED中，，∴△AEC≌△AED（ASA），∴CE＝DE； （2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴， ∵△AEC≌△AED，∴AD＝AC＝6，∴BD＝AB﹣AD＝4，∵点E为CD中点，点F为BC中点， ∴． 23．在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，．（1）求证：；（2）求的长． 解：（1）证明：平分，．，．在与中，，． （2），，．是的中点，，． 24．如图，在中，，点是边上一点，交于点，连接，点、、分别为、、的中点．（1）求证：；（2）当为多少度时，？并说明理由． 解：（1）证明：．，，，， ，，，点、、分别为、、的中点，是的中位线，是的中位线，，，； （2）延长交于，是的中位线，是的中位线，，，，，当时，． 25．【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题： ①证明：四边形EFGH是平行四边形； ②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形； ③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 解：（1）证明：∵点E为AC的中点，∴AE=CE，∵在△AED和△CEF中， ∴，∴，，∴，∵点D为AB的中点，∴AD=BD， ∴BD=CF，∴四边形BCFD为平行四边形，∴，，∵，∴，即DEBC，DEBC． （2）①连接AC、BD，如图所示：∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点， ∴，，，，∴，，∴四边形EFGH为平行四边形； ②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形；根据解析①可知，，，四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴，∵，∴，∵， ∴，∴，∴四边形EFGH是矩形；故答案为：垂直； ③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形；根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形，根据解析①可知，，，∵AC=BD，∴，∴四边形EFGH是正方形．故答案为：垂直且相等 26.如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点． （1）探究1：连接对角线AC，BD由三角形中位线定理及平行四边形的判定定理易得四边形EFGH为 （不需要证明）； （2）探究2：观察猜想： ①当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形； ②当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为矩形． （3）探究3：当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由． 解：（1）∵H、G，分别为AD、DC的中点， ∴HG∥AC，HG=AC，同理EF∥AC，EF=AC， ∴HG∥EF且EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形．故答案为：平行四边形； （2）①AC=BD，理由如下： 由（1）知四边形EFGH为平行四边形，又∵H，G分别为AD、DC的中点，∴HG=AC， 同理可知HE=BD，又∵AC=BD，∴HE=HG．∴平行四边形EFGH为菱形，故答案为：AC=BD； ②AC⊥BD，理由如下：由（1）知四边形EFGH是平行四边形， 又∵H，G分别为AD、DC的中点，∴HG∥AC，同理可知HE∥BD，∵AC⊥BD，∴HG⊥HE，∴∠EHG=90°，∴四边形EFGH为矩形，故答案为：AC⊥BD； （3）当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由如下： 当AC=BD时，由（2）①得：四边形EFGH为菱形；当AC⊥BD时，由（2）②得：四边形EFGH为矩形，∴四边形EFGH为正方形 七．知识清单 1.连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线。 2.一个三角形共有______条中位线。 3.三角形的中位线______于三角形的第三边，且等于第三边的______。 4.若三角形的三边长分别为6cm、8cm、10cm，则连接各边中点所得三角形的周长是______cm。 5.顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做______。 6.顺次连接任意四边形各边中点得到的中点四边形是______。 7.顺次连接对角线相等的四边形各边中点，得到的中点四边形是______。 8.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，得到的中点四边形是______。 9.顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，得到的中点四边形是______。 10.三角形的中位线与三角形的中线不同，中线是连接顶点与______的线段。 【答案】1.中点 2.3 3.平行；一半 4.12 5.中点四边形 6.平行四边形 7.菱形 8.矩形 9.正方形 10.对边中点 八．强化提优 （一）选择题 1. 三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( ) A.6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm 【答案】C 【解析】∵三角形的三条中位线分别为3cm、4cm、6cm，∴三角形的三边分别为6cm，8cm，12cm，∴这个三角形的周长=6+8+12=26cm，故选C． 2. 如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=3，则CF的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，∴G为△ABC的重心，∴2FG=GC，∵FG=3，∴GC=6，∴CF=9．故选D. 3.如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】∵CB＝6，BF＝2，∴FC＝6﹣2＝4，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=FC=×4＝2，故选：B． 4.如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（ ）． A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定 【答案】B 【解析】如图，连接AQ，∵，分别为、的中点，∴为的中位线，∴，∵为定点，∴的长不变，∴的长不变，故选： 5．如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（　　） A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF 【答案】A 【解析】∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH=1/2AD，EH∥AD，∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，∴GF=1/2AD，GF∥AD，∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D选项不符合题意．故选：A． 6．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】D 【解析】在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，∴AB=2DF=8，∵AD=DB，AE=EC， ∴DE∥BC，∴∠ADE=∠ABF=30°，∴AF=AB=4，∴BF===4． 故选D． 7.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C． D．1+ 【答案】A 【解析】：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=AB=1．故选：A． 8．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【解析】∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB， ∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故选B． 9.如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，F为BC中点，连接EF，若∠BAC＝80°，∠EBD＝20°，则∠EFD＝（　　） A．26° B．28° C．30° D．32° 【答案】C 【解析】延长BE交AC于G，如图所示：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∴∠BAE＝∠GAE=1/2∠BAC＝40°，∵BE⊥AD，∴∠BEA＝∠GEA＝90°，∵AE＝AE，∴△ABE≌△AGE（ASA），∴BE＝GE，∵F为BC的中点，∴EF是△BCG的中位线，∴EF∥GC，∴∠EFD＝∠C，∵∠BEA＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝50°+20°＝70°，∴∠EFD＝∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C． 10.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】取EF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH=1/2FC，DH∥AC， ∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA）， ∴AF＝DH，∴AF=1/2FC，∵AC＝4，∴AF=，故选：B． （二）填空题 11．如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,若平移△ADF,则图中能与它重合的三角形是____(写出一个即可). 【答案】△DBE(或△FEC) 【解析】∵D、F分别是AB与AC的中点，∴DF∥BC，且DF＝BC,又∵E是BC的中点，∴DF=BE=CE,所以可得四边形BEFD、DECF都是平行四边形，同理：四边形ADEF也是平行四边形，这样△ADF与△DBE与△FEC对应点的连成的线段平行且相等，所以△ADF平移后，能与△DBE、△FEC重合.故答案为：△DBE、△FEC. 12．如图，在四边形ABCD中，P是BC边上一点，∠A=∠B=90º，E为AB的中点，连接DP，EP.若FG为△DPE的中位线，AB=AD=4，则FG=___________. 【答案】 【解析】∵点E是AB的中点，AB=4，∴AE=AB=2.∵∠A=90°，∴DE=. ∵FG是△EDP的中位线，∴FG=ED=. 13．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22m，则AB=__________m． 【答案】44 【解析】∵E、F是AC，AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=AB，∵EF=22cm， ∴AB=44cm，故答案为44． 14．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、F分别在AB，AC上，DF垂直平分AB，E是BC的中点，若∠C=70°，则∠EDF=________  ​ 【答案】50° 【解析】由DF垂直平分AB，得∠BDF=90°，AD=BD.又由E是BC的中点，得DE∥AC，∠DEB=∠C=70°.由AB=AC，得∠B=∠C=70°.由三角形的内角和定理，得∠BDE=180°−∠B−∠DEB=180°−70°−70°=40°由余角的定义，得∠EDF=∠BDF−∠BDE=90°−40°=50°故答案为：50°. 15．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________． 【答案】 【解析】∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴EF、FG、EG为三角形中位线，∴EF=BC，EG=AC，FG=AB，∴EF+FG+EG=（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半，同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为×64=16，以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n-1，故答案为：16，64×（）n-1． 16．加图，△ABC中，E是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则DE的长度为　　． 【答案】1 【解析】延长BD交AC于H，在△ADB和△ADH中，，∴△ADB≌△ADH（ASA）∴AH＝AB＝4，BD＝DH，∴HC＝AC﹣AH＝2，∵BD＝DH，BE＝EC，∴DE＝HC＝1，故为：1． 17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=　　． 【答案】3 【解析】连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点， ∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3． 18．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于　　cm． 【答案】14 【解析】∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14． 19. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____． 【答案】11 【解析】∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴．∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC．∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6＋5=11．故答案为：11． 20．如图，在中，，，，若四边形的面积为15，则的面积为 　　． 【答案】36 【解析】，，，，是的中位线，，，，设梯形和梯形的高为，，， ，．故答案为：36． （三）解答题 21.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形； （2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值． 解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵AD⊥BC于点D， ∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB交AC于点E，∴∠BAD=∠ADE，∴∠CAD=∠ADE， 即：∠ADE=∠EAD，∴AE=DE，∴△ADE是等腰三角形； （2）解：由“三线合一”知：BD=CD，∵BC=12，∴DC=6，∵E为AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE，∴AC=AB=2DE=10，在Rt△ADC中，， ∴AD=8． 22.如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积． 【解答】 证明：（1）分别是的中点，，同理可得：，，四边形是平行四边形； （2）如图，连接，分别是的中点，， （同底等高），同理可得：， ， 又是的中点，，（等底同高）， ， 同理可得：，即四边形的面积为4． 23.如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点 （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证： （2）如图2，中，，求线段EF的长． 解：（1）证明：∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA）∴BE=ED，AD=AB，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)； （2）分别延长BE、AC交于点H，∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（ASA） ∴BE=EH，AH=AB=9，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CH=(AH-AC)=2． 24．问题提出： （1）如图1，在四边形中，对角线，，，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形是正方形． 问题解决： （2）如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为100元/米，经测量，，，设计要求是四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 解:（1）（1）证明：∵E，F，G，H分别是各边的中点，∴， ，，∵，∴，∴四边形是菱形，∵，∴，∵， ∴，∵， ∴，∴四边形是正方形． （2）符合．如图，连接，，与相交于点O．∵，∴， 在和中，∴，∴，，∵，∴，∴， ∴，∴，由（1）可知，四边形为正方形． ∵米，米，，∴由勾股定理，得（米），∴（米），（元）．∴铺设地砖所需的费用为10000元． 25.（1）如图①， 如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（提示：取的中点H， 连接作辅助线） （2）问题一：如图②，在四边形中，与相交于点O，且，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状， 并说明理由． （3）问题二：如图③， 如图，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明．    解：（1）如图所示，连接，取的中点H，连接、，∵E、F分别是、的中点，∴分别是的中位线，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴． （2）是等腰直角三角形；证明如下：如图，取的中点H，连接、 ∵E、F分别是、的中点，∴分别是的中位线，∴，，∵，∴，∴，∵，∴， ∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形．   （3）为直角三角形，证明如下：如图，连接，取的中点H，连接， ∵F是的中点，∴∴，同理，． ∴，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形．∵，∴，∴，∴， 即是直角三角形． 26．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 解:（1)如图所示，连接，∵，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线，∴， ∴，∴四边形是平行四边形；如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形，根据中位线性质得到，，∴，同理可得，∴四边形为平行四边形，又∵四边形是菱形，∴，则，∴平行四边形为矩形； （2）四边形为菱形．证明如下：连接，，如图2所示：∵和为等边三角形，，，，∴，，在和中， ，，，，，，分别是边，，，的中点，是的中位线，是的中位线，是的中位线，，，，，，，， 四边形是平行四边形；，，四边形为菱形； （3）如图3，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，∴的最小值，∵四边形是正方形，∴，∵M，E分别是的中点，∴，同理可得， ∴；又∵M，N分别是的中点，∴，，∴，∴的最小值，同理可得的最小值，∵四边形是正方形，∴，，， ∴，∵N，F分别是的中点，∴，∴；∴，∴． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第八章四边形第三节三角形的中位线》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解并掌握三角形中位线的定义，熟记三角形中位线定理的内容，能准确运用定理进行线段长度计算、直线平行证明，掌握中点四边形的形状判定方法。 2.通过动手操作、猜想、推理证明，经历三角形中位线定理的探究过程，提升几何推理、逻辑思维和动手探究能力，体会转化的数学思想。 3.   在探究定理和解决问题的过程中，感受几何知识的实用性，激发学习数学的兴趣，培养严谨的几何推理习惯和合作探究意识。 4.   发展几何直观、逻辑推理、数学运算核心素养，能将三角形中位线知识与四边形知识结合，构建几何知识体系。 ) 二．重点难点 ( （ 一）重点 1.   三角形中位线的定义辨析，区分三角形中位线与三角形中线的本质区别。 2.   三角形中位线定理的内容理解、几何语言表达，以及定理的直接应用。 3.   利用三角形中位线定理判定中点四边形的形状，掌握核心判定依据。 （二）难点 1.   三角形中位线定理的严谨推理证明，辅助线的添加思路和方法。 2.   灵活运用三角形中位线定理，结合四边形、直角三角形等知识解决综合几何问题。 3.   理解中点四边形形状与原四边形对角线的数量、位置关系，完成复杂图形中的中位线识别与应用。 ) 3． 思维导图 ( ) 四．课前预习 请同学们预习教材对应内容，完成下列填空题： 1.连接三角形________的线段叫做三角形的中位线，一个三角形有________条中位线。 2.三角形的中位线________于第三边，且等于第三边的________。 3.三角形的中线是连接________与________的线段，三角形中位线与中线的端点不同，中位线两端点都是________，中线一端点是________，另一端点是对边中点。 4.顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是________。 5.若三角形的三边长分别为6、8、10，则连接各边中点得到的新三角形的周长为________。 五．课堂探秘 一．三角形的中位线的定义及其理解 按下图的方式将一张三角形包装纸折叠成一个矩形信封。 . 你能在上图(1)中找到哪些相等的线段? 根据上面的折叠过程，可得DA=DA'，DB=DA，所以DA=DB.同理可得EA=EC，即D，E分别是边AB，AC的中点.连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线(median line oftriangle). ( 【 知识梳理 】 1.三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段，叫做这个三角形的中位线。 2.三角形中位线的数量：任意一个三角形都有三条中位线。 3.图形示意：在 △ ABC中，若点D、E分别是边AB、AC的中点，那么线段DE就是 △ ABC的一条中位线；同理，分别取BC、AB中点，BC、AC中点，连接而成的线段，也都是该三角形的中位线。 【 知识点睛 】 1.关键点：三角形中位线的两个端点，必须是三角形两条边的中点，二者缺一不可，这是判断一条线段是否为三角形中位线的核心依据。 2.易混概念辨析：区分三角形中位线与三角形中线 （ 1 ） 三角形中位线：两端点均为三角形边的中点； （ 2 ） 三角形中线：一端点是三角形的顶点，另一端点是该顶点对边的中点。 3.本质：三角形中位线是三角形内部一条特殊的线段，是后续学习三角形中位线定理的基础，仅从定义层面，只需掌握其端点特征即可。 【 命题方向 】 1.直接考查三角形中位线的定义，判断给定线段是否为三角形的中位线； 2.结合图形，确定三角形中位线对应的顶点、中点位置，完成简单的图形识别； 3.以单选题形式，辨析三角形中位线与中线的概念，考查概念理解的准确性； 4.结合中点条件，找出三角形中所有的中位线，考查概念的应用能力。 ) 【精讲1】如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则下列线段中，是△ABC中位线的是（ ） A. 线段AD B. 线段BE C. 线段DE D. 线段AF 【精讲2】一个三角形的中位线共有几条？请在△ABC中，画出它的所有中位线，并写出每条中位线对应的两个中点。 ( 【解题方法点拨】 1.判断中位线三步走： 第一步：找线段的两个端点； 第二步：判断两个端点是否均为三角形某两条边的中点； 第三步：符合则为中位线，不符合则不是。 2.区分中位线与中线技巧： 看端点：双中点 → 中位线，一顶点一中点 → 中线，牢记该口诀即可快速区分。 3.找全中位线方法： 先找出三角形所有边的中点，再依次连接不重合的两个中点，每一条连线都是一条中位线，避免遗漏。 ) 【跟踪练1】下列关于三角形中位线的说法，正确的是（ ） A. 连接三角形三个中点的线段叫做三角形的中位线 B. 三角形的中位线只有一条 C. 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 D. 三角形的中位线是连接顶点和对边中点的线段 【跟踪练2】下列线段中，能表示三角形中位线的是（ ） A. 连接三角形一个顶点和对边中点的线段 B. 连接三角形两边中点的线段 C. 连接三角形两边上任意两点的线段 D. 连接三角形三个中点的线段 二．三角形的中位线定理 【尝试】如图，完成下列操作，并回答问题: 1.剪一张三角形纸片ABC. 2.沿中位线DE将纸片剪成两部分，拼得的图形是平行四边形吗? 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF=DE，连接CF. 由EA=EC,∠AED=∠CEF, DE=EF,可得△ADE≌△CFE,于图是AD=CF，∠ADE=∠F.所以BD// CF，BD= AD= CF,可得四边形 BCFD是平行四边形.所以DE//BC,DE=DF=BC. 于是，我们得到三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ( 【 知识梳理 】 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在 △ ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点，则 DE ∥ BC，DE＝ BC。 3.一个三角形有 3 条中位线，三条中位线围成的三角形与原三角形相似，周长为原三角形的 ，面积为原三角形的 。 4.中位线常用于：平行判定、线段倍分、周长与面积计算、中点四边形。 【 知识点睛 】 1. 中位线＝中点连线，不是中线。 2. 定理作用：既得平行，又得长度关系，可实现线段与角度的转化。 3. 常见模型： （ 1 ） 见 “ 中点+中点 ”→ 优先用中位线 （ 2 ） 见 “ 倍长线段、平行四边形、梯形 ”→ 常构造中位线 。 【命题方向】 1.直接考查：判断给定线段是否为三角形的中位线，根据定义确定三角形中位线； 2.基础计算：结合中点定义，利用中位线端点性质，计算线段长度或确定中点位置； 3.图形判断：在复杂几何图形中，识别三角形中位线，为后续几何证明、计算做铺垫； 4.题型设置：以单选题、简单填空题为主，属于中考几何基础考点，难度较低。 ) 【精讲1】如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【精讲2】如图，在△ABC中，AC=8，BC=12，AF交BC于F，E为AB的中点，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，则DE的长为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 【精讲3】如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 【精讲4】如图，中，对角线AC、BD相交于点O，点 E， F，G，H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连接EFGH． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形 （2）若的周长为2（AB+BC）=32，则四边形EFGH的周长为__________ ( 【解题方法点拨】 1.看到双中点，马上想中位线。 2.只有一个中点时，可取另一边中点构造中位线。 3.求线段长：用 “ 一半 ” 关系；证平行：用 “ 平行 ” 结论。 4 .中考常与勾股定理、平行四边形、折叠、坐标系结合。 ) 【跟踪练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【跟踪练2】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　 　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【跟踪练3】如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【跟踪练4】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是_______． 【跟踪练5】如图，在中，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形的面积为，求的面积． 【跟踪练6】一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形． 三．中点四边形 例：如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD 的 AB,BC, CD,DA 的中点.连接EF,FG,GH，HE. 求证:四边形EFGH是平行四边形. 由例题可知，首尾顺次连接四边形ABCD的各边中点，可以得到一个平行四边形，那么，当四边形ABCD满足什么条件时，所得的平行四边形是矩形、菱形或正方形呢? ( 【 知识梳理 】 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 3.中点四边形定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形。 4.中点四边形的形状只与原四边形的对角线有关，与原四边形形状无关。 【 知识点睛 】 1. 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形。 2. 判定中点四边形形状，只看原四边形两条对角线： （ 1 ） 对角线相等 ⇒ 中点四边形是菱形； （ 2 ） 对角线垂直 ⇒ 中点四边形是矩形； （ 3 ） 对角线相等且垂直 ⇒ 中点四边形是正方形。 【 命题方向 】 1.直接判断中点四边形的形状（选择、填空必考）。 2.已知中点四边形形状，反推原四边形对角线特征。 3.结合周长、面积进行简单计算。 4.与矩形、菱形、正方形判定综合证明。 ) 【精讲1】顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 (　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.以上都不对 【精讲2】四边形ABCD的对角线AC⊥BD,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,那么四边形EFGH是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【精讲3】若四边形的两条对角线相等且互相垂直,则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【精讲4】如图,在矩形ABCD中,分别取AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE. 求证:四边形EFGH是菱形. 【精讲5】如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB,BC,CD,DA的中点分别为P,Q,M,N. (1)试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论; (2)求∠NMQ的大小. ( 【解题方法点拨】 1.一抓核心：中点四边形只看原四边形对角线，不看原四边形本身。 2.二记口诀： 任意四边形：中点必平行； 对角线相等：中点变菱形； 对角线垂直：中点变矩形； 相等又垂直：中点正方形。 3.三用定理：所有证明与判断都用三角形中位线定理。 4.中考答题：选择、填空直接用结论，解答题先写中位线定理再判定。 ) 【跟踪练1】顺次连接四边形各边中点得到菱形，则原四边形一定满足（ ） A. 对角线相等 B. 对角线垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线垂直且相等 【跟踪练2】若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是矩形,则该四边形一定是(　) A.对角线相等的四边形 B.等腰梯形 C.菱形 D.对角线互相垂直的四边形 【跟踪练3】如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.要使四边形EFGH是正方形,则BD,AC应满足的条件是　 .  【跟踪练4】如图,在四边形ABDC中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,并且E,F,G,H四点不共线. (1)求证:四边形EFGH为平行四边形; (2)当AC=BD时,求证:四边形EFGH为菱形. 【跟踪练5】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F,G,H分别为AD,BC,BD,AC的中点,顺次连接E,G,F,H. (1)求证:四边形EGFH是菱形; (2)当∠ABC与∠DCB满足什么关系时,四边形EGFH为正方形?说明理由; (3)猜想:∠GFH,∠ABC,∠DCB之间的关系(直接写出结果). 六．基础过关 （一）．选择题 1．三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( ) A. 6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm 2．△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 50° 4．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（　　） A. 18 B. 14 C. 12 D. 6 5．如图，平行四边形的周长为，对角线， 相交于点，点是的中点， ，则的周长为（ ）． A. B. C. D. 6.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 7.如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 8.如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 9.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 10.如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 （二）．填空题 11. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=_________ 12．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为　　cm． 13．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、EF，则△DEF的周长是　　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，点D、E、F是三边的中点，则△DEF的周长是　　． 15．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，∠ABC的平分线交线段DE于点F，若AB＝12，BC＝18，则线段EF的长为　　． 16．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是　　． 17．如图，已知EF是△ABC的中位线，DE⊥BC交AB于点D，CD与EF交于点G，若CD⊥AC，EF＝8，EG＝3，则AC的长为　　． 18．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是　　． 19．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　． 20.如图．在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为_______ （三）．解答题 21. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点． (1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)条件下，若DE＝4，求BC的长． 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D． （1）求证：CE＝DE； （2）若点F为BC的中点，求EF的长． 23．在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，．（1）求证：；（2）求的长． 24．如图，在中，，点是边上一点，交于点，连接，点、、分别为、、的中点．（1）求证：；（2）当为多少度时，？并说明理由． 25．【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题： ①证明：四边形EFGH是平行四边形； ②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形； ③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 26.如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点． （1）探究1：连接对角线AC，BD由三角形中位线定理及平行四边形的判定定理易得四边形EFGH为 （不需要证明）； （2）探究2：观察猜想： ①当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形； ②当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为矩形． （3）探究3：当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由． 七．知识清单 1.连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线。 2.一个三角形共有______条中位线。 3.三角形的中位线______于三角形的第三边，且等于第三边的______。 4.若三角形的三边长分别为6cm、8cm、10cm，则连接各边中点所得三角形的周长是______cm。 5.顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做______。 6.顺次连接任意四边形各边中点得到的中点四边形是______。 7.顺次连接对角线相等的四边形各边中点，得到的中点四边形是______。 8.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，得到的中点四边形是______。 9.顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，得到的中点四边形是______。 10.三角形的中位线与三角形的中线不同，中线是连接顶点与______的线段。 八．强化提优 （一）选择题 1. 三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( ) A.6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm 2. 如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=3，则CF的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 6 D. 9 3.如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（ ）． A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定 5．如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（　　） A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF 6．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　） A．4 B．8 C．2 D．4 7.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C． D．1+ 8．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 9.如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，F为BC中点，连接EF，若∠BAC＝80°，∠EBD＝20°，则∠EFD＝（　　） A．26° B．28° C．30° D．32° 10.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（　　） A． B． C．1 D． （二）填空题 11．如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,若平移△ADF,则图中能与它重合的三角形是____(写出一个即可). 12．如图，在四边形ABCD中，P是BC边上一点，∠A=∠B=90º，E为AB的中点，连接DP，EP.若FG为△DPE的中位线，AB=AD=4，则FG=___________. 13．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22m，则AB=__________m． 14．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、F分别在AB，AC上，DF垂直平分AB，E是BC的中点，若∠C=70°，则∠EDF=________  ​ 15．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________． 16．加图，△ABC中，E是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则DE的长度为　　． 17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=　　． 18．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于　　cm． 19. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____． 20．如图，在中，，，，若四边形的面积为15，则的面积为 　　． （三）解答题 21.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形； （2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值． 22.如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积． 23.如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点 （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证： （2）如图2，中，，求线段EF的长． 24．问题提出： （1）如图1，在四边形中，对角线，，，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形是正方形． 问题解决： （2）如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为100元/米，经测量，，，设计要求是四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 25.（1）如图①， 如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（提示：取的中点H， 连接作辅助线） （2）问题一：如图②，在四边形中，与相交于点O，且，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状， 并说明理由． （3）问题二：如图③， 如图，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明．    26．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $