9.2 提公因式法 专项练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第九章 因式分解 第九章 因式分解 知识点1 提公因式法（一） 1 计算大冲关 （难度等级 ） 1．因式分解：63pq+14pq2． 2．因式分解：10a（x﹣y）2﹣5b（y﹣x）． 3．把下列各式分解因式： （1）4a2b2﹣ab2； （2）m（a﹣b）﹣n（a﹣b）． 4．因式分解： （1）6a2﹣3a； （2）m（a﹣2）+n（a﹣2）． 5．因式分解： （1）3x2﹣6x+12xy； （2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）． 6．分解因式： （1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2． 第九章 因式分解 提公因式法（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．分解因式： （1）15a3+10a2； （2）12abc﹣3bc2； （3）6p（p+q）﹣4q（p+q）． 2．因式分解： （1）2x（a﹣b）﹣（b﹣a）； （2）m（a﹣3）+2（3﹣a）． 3．多项式（a﹣1）2+2a（a﹣1）分解因式后求值，其中a＝2． 4．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是　 　 ，共应用了　 　 次； （2）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3+x（x+1）4+x（x+1）5． （3）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n，则需应用上述方法 次，结果是　 （n为正整数）． 第九章 因式分解 提公因式法（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．因式分解： （1）15a2b4+5a2b2； （2）25（a+3b）2（x+y）+9（3a﹣b）2（﹣x﹣y）． 2．已知，xy＝3，求2x4y3﹣x3y4的值． 3．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． （1）把（x﹣y）2看成一个整体，将2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2合并的结果是　 ． （2）①已知a2+a＝1，则2a2+2a+2024＝　 ； ②已知当x＝2时，代数式ax5+bx3+2x﹣1的值为5，求当x＝﹣2时，则代数式ax5+bx3+2x+8的值为　 ； （3）已知a2﹣2ab＝﹣5，ab+2b2＝3，求代数式3a2﹣8ab﹣4b2的值． 4．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　 ； （2）分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2023的结果是 　 ； （3）利用（2）中结论计算：5+52+53+…+52023． 提公因式法（一）参考答案 1.【分析】直接提公因式分解因式． 【解答】解：直接提公因式可得：63pq+14pq2＝7pq（9+2q）． 【分析】整理后提取公因式5（y﹣x）即可． 2.【解答】解：原式＝10a（y﹣x）2﹣5b（y﹣x） ＝5（y﹣x）[2a（y﹣x）﹣b] ＝5（y﹣x）（2ay﹣2ax﹣b）． 3.【分析】（1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【解答】解：（1）原式＝ab2（4a﹣1）； （2）m（a﹣b）﹣n（a﹣b） ＝（a﹣b）（m﹣n）； 4.【分析】（1）先提取公因式3a，然后即可求解； （2）提取公因式（a﹣2），然后即可求解． 【解答】解：（1）原式＝3a•2a﹣3a×1＝3a（2a﹣1）； （2）原式＝（a﹣2）（m+n）． 5.【分析】（1）用提公因式法分解； （2）用提公因式法分解． 【解答】解：（1）3x2﹣6x+12xy＝3x（x﹣2+4y）； （2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x） ＝3x2（x﹣y）﹣6x（x﹣y） ＝3x（x﹣y）（x﹣2）． 6.【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答； （2）利用提公因式法，进行分解即可解答． 【解答】解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x） ＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y） ＝（x﹣2y）（a+b）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2． ＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）] ＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y） ＝﹣2xy（x+y）． 提公因式法（二）参考答案 1.【分析】（1）直接提取公因式5a2，进而分解因式即可； （2）直接提取公因式3bc，进而分解因式即可； （3）直接提取公因式2（p+q），进而分解因式即可； 【解答】解：（1）15a3+10a2 ＝5a2（3a+2）； （2）12abc﹣3bc2 ＝3bc（4a﹣c）； （3）6p（p+q）﹣4q（p+q） ＝2（p+q）（3p﹣2q）； 2.【分析】（1）提公因式（a﹣b），即可求解． （2）直接提取公因式（a﹣3），进而分解因式即可． 【解答】解：（1）2x（a﹣b）﹣（b﹣a） ＝2x（a﹣b）﹣（﹣a+b） ＝2x（a﹣b）+（a﹣b） ＝（a﹣b）（2x+1）． （2）m（a﹣3）+2（3﹣a） ＝（a﹣3）（m﹣2）． 3.【分析】直接提取公因式（a﹣1），进而把已知数据代入得出答案． 【解答】解：（a﹣1）2+2a（a﹣1） ＝（a﹣1）（a﹣1+2a） ＝（a﹣1）（3a﹣1）， 当a＝2时，原式＝（2﹣1）×（3×2﹣1） ＝1×5 ＝5． 4.【分析】（1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【解答】解：（1）根据因式分解的过程，上述分解因式的方法是提取（1+x）这个公因式，所以用的是提取公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）根据（1）分解因式的方法可得： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3+x（x+1）4+x（x+1）5． ＝（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3+x（x+1）4] ＝（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3] ＝（1+x）3[1+x+x（x+1）2] ＝（1+x）4[（1+x（x+1）] ＝（1+x）5（1+x） ＝（1+x）6； （3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n ＝（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n ＝（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n﹣1] ＝（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+⋯+x（x+1）n﹣2] ＝⋯ ＝（1+x）n（1+x） ＝（1+x）n+1， 根据分解过程可知，应用上述方法n次，结果是（1+x）n+1． 故答案为：n；（1+x）n+1． 提公因式法（三）参考答案 1.【分析】（1）利用提公因式法分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式，最后再提取公因式． 【解答】解：（1）15a2b4+5a2b2 ＝5a2b2（3b2+1）； （2）25（a+3b）2（x+y）+9（3a﹣b）2（﹣x﹣y） ＝25（a+3b）2（x+y）﹣9（3a﹣b）2（x+y） ＝（x+y）[25（a+3b）2﹣9（3a﹣b）2] ＝（x+y）[5（a+3b）+3（3a﹣b）][5（a+3b）﹣3（3a﹣b）] ＝（x+y）（14a+12b）（18b﹣4a） ＝4（x+y）（7a+6b）（9b﹣2a）． 2.【分析】原式提取公因式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵2x﹣y，xy＝3， ∴原式＝（xy）3（2x﹣y）＝279． 3.【分析】（1）把（x﹣y）2看成一个整体，提取公因式进行化简即可； （2）①将式子化为2（a2+a）+2024，然后代入求解即可；②先将x＝2代入代数式求出25a+23b＝2，再将x＝﹣2代入代数式化为﹣（25a+23b）+4然后代入求解即可； （3）将代数式化为3（a2﹣2ab）﹣2（ab+2b2）代入求解即可． 【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）2（2﹣5+1）＝﹣2（x﹣y）2， 故答案为：﹣2（x﹣y）2； （2）①∵a2+a＝1， ∴原式＝2（a2+a）+2024＝2×1+2024＝2026， 故答案为：2026； ②x＝2时， ∴ax5+bx3+2x﹣1＝25a+23b+2×2﹣1＝25a+23b+3＝5， ∴25a+23b＝2， 当x＝﹣2时， ∴（﹣2）5a+（﹣2）3b+2×（﹣2）+8＝﹣25a﹣23b﹣4+8＝﹣（25a+23b）+4＝﹣2+4＝2， 故答案为：2； （3）∵a2﹣2ab＝﹣5，ab+2b2＝3， ∴原式＝3a2﹣6ab﹣2ab﹣4b2 ＝3（a2﹣2ab）﹣2（ab+2b2） ＝3×（﹣5）﹣2×3 ＝﹣21． 4.【分析】（1）根据题干中的计算步骤即可得出答案； （2）利用提公因式法计算即可； （3）根据（2）中结论计算即可． 【解答】解：（1）由题干计算步骤可得分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）原式＝（1+x）[1+x+x（x+1）+…+x（x+1）2022] ＝（1+x）2[1+x+x（x+1）+…+x（x+1）2021] … ＝（1+x）2024， 故答案为：（1+x）2024； （3）原式4（5+52+53+…+52023） （4×5+4×52+4×53+…+4×52023） （1+4+4×5+4×52+4×53+…+4×52023） ． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $