考点07 因式分解（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

考点07 因式分解 考点一：公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 考点二：提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 考点三：公式法分解因式 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 考点四：十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 考点五：分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 考点六：因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 题型一：判断是否是因式分解 因式分解是将多项式化为几个整式的积，核心易错点的是混淆运算形式、分解不彻底及误对单项式分解。 【典例】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于A：，右边是多项式，不是整式的乘积，属于整式乘法，不是因式分解； 对于B：，左边是单项式，不是多项式，不是因式分解； 对于C：，右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解； 对于D：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A、 是分式，不是多项式，而因式分解的对象必须是多项式，故该变形不属于因式分解，不符合题意； B、等式右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·全国·专题练习）对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【答案】C 【分析】根据因式分解和整式乘法的定义进行判断即可． 【详解】解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法． 综上，①是因式分解，②是整式乘法． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：①是因式分解，符合题意； ②是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：①． 题型二：已知因式分解的结果求参数 【典例】（24-25八年级下·江苏盐城·期末）在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及整式乘法的应用，根据因式分解的结果，将多项式展开后比较系数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式的因式为和， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）把多项式分解因式，得，则a，b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 将因式展开后与多项式比较系数，求出a和b的值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵原多项式为， ∴，， ∴． 故选B． 【变式2】（24-25八年级上·新疆巴州·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式为，k的值为； (3) (4) 【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接计算后作答即可； （2）仿照题干作答即可； （3）计算后求出的值，进而作答即可； （4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论． 【详解】（1）解：， 则， ∴，． 故答案为：，； （2）解：设另一个因式为，得 则， ， 解得， 另一个因式为，k的值为； （3）解：， 则， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：设另一个因式为，得 则， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 题型三：公因式 【典例】（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·开学考试）把分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握相关知识是解题的关键，找公因式的要点是：①公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的．根据找公因式的方法解题即可． 【详解】解： ， 的公因式是； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对多项式进行因式分解，第一步需提取公因式，为使后续能迅速判断能否继续再分解，这个公因式应该是________°． 【答案】 【分析】根据公因式是每项都含有的因式，可得答案． 【详解】解：的公因式是： 故答案为： 【点睛】本题考查了公因式，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【变式3】（25-26八年级下·全国·专题练习）写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可． 【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 题型四：提公因式分解因式 易错点主要是遗漏公因式、提取不彻底、混淆公因式与单项式，以及符号处理错误。 【典例】（25-26七年级下·陕西西安·月考）若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·全国·专题练习）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【答案】 【详解】解：原式， ，，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·全国·专题练习）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五：平方差公式分解因式 需注意区分平方和与平方差，确保分解彻底，避免遗漏公因式及符号错误。 【典例】（2026·河北石家庄·一模）已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答． 【详解】解： ∵， ∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意． 【变式1】（25-26九年级下·四川成都·月考）已知，，则______． 【答案】 【分析】根据平方差公式因式分解求出，联立，求出，进而求的值； 【详解】解：∵，，， ∴ ，解得：， 联立， 解得：，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·江苏常州·月考）已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是________ 【答案】3 【分析】根据题意可得，，进一步可得，根据推出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·全国·专题练习）利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解； （1）先交换位置可得，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （3）先整理为，然后利用平方差公式进行分解可得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ; （3）解： ． 题型六：完全平方公式分解因式 【典例】（25-26八年级下·全国·专题练习）已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构，逐个判断多项式是否符合该结构，即可求解． 【详解】解：①不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式进行因式分解； ②，符合完全平方公式结构，能用完全平方公式进行因式分解； ③的两个平方项符号相反，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式进行因式分解； ④，符合完全平方公式结构，能用完全平方公式进行因式分解； 综上，能用完全平方公式进行因式分解的是②④． 【变式1】（25-26七年级上·上海青浦·期中）若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【答案】或或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 【详解】解：完全平方公式的结构为，分两种情况讨论： 当和分别为完全平方中的两个平方项时， 此时，，中间项为， 因此可以加上的单项式为或； 当为其中一个平方项，为中间项时，设所加的单项式为， 根据完全平方公式，有，解得， 因此加上的单项式为， 综上，符合条件的单项式为：或或． 【变式2】（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先将原式整理为平方差的形式，先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解，直至分解彻底即可． 【详解】解： ． 【变式3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） ……（第四步） (1)第二步到第三步运用了因式分解的__________；（A．提公因式法B．公式法） (2)该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果__________； (3)请模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B (2)不彻底； (3) 【分析】本题考查因式分解的运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意，可判断出该步骤的因式分解方法为公式法； （2）观察其结果，还可以进行公式法因式分解，故分解不彻底； （3）设，利用公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：根据题意，从变为， 采用了完全平方公式的逆运用， 故选B． （2）解：不彻底， ， 故答案为：不彻底；． （3）解：设 原式 ． 题型七：综合运用提公因式、公式法分解因式 【典例】（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （2）先变形，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）原式 ． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）将下列多项式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ． 题型八：因式分解在有理数简算中的应用 【典例】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式分解因式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】先把原式化成完全平方公式的形式，然后再按照完全平方公式分解后求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）简便运算： (1) (2) 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 题型九：十字相乘法 需确保交叉相乘和等于一次项系数、因式分解彻底，避免符号错误及漏找合适的因数组合。 【典例】（24-25八年级上·福建三明·期中）分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，先运用多项式乘多项式求得，的值，再对原式进行因式分解． 【详解】解：李想同学看错了a的值，分解的结果是，但是正确，则； 王敏同学看错了b的值，分解的结果是，但是正确，则， ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式在实数范围内的因式分解，解题的关键是利用十字相乘法或求根公式分解多项式． 先通过十字相乘法拆分二次项与常数项的系数，将拆分为两个一次式的乘积；或先求方程的根，再利用求根公式法分解． 【详解】解：用十字相乘法：． 故答案为：． 【变式2】（2023八年级·福建泉州·竞赛）已知等式中，a、p、q都是整数，则符合条件的a的个数有______个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解此题的关键．可利用多项式乘法展开后的系数对应关系，展开得，与原式对比后找到所有整数对并计算对应的即可． 【详解】解：展开可得：， 与原式对比可得：常数项：，一次项系数：， ∴整数对需满足，且，可能得整数对及对应的a如下： ①，，则； ②，，则； ③，，则； ④，，则； ⑤，，则； ⑥，，则． 综上所述，符合条件的a的个数有6个． 故答案为：6． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）；（2）；（3），画图见解析 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【详解】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 如图 故答案为：． 题型十：分组分解法 【典例】（24-25八年级上·北京·期中）已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：． 【变式1】（2025·广东广州·一模）因式分解：____________． 【答案】 【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·月考）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，再用公式分解． （2）先利用完全平方公式得到，推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 题型十一：因式分解的应用 【典例】（25-26七年级下·全国·专题练习）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·周测）数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)k所有可能的取值为7或8或13． 【详解】（1）解：根据图形得：； （2）解：画出图形如下： ∴； （3）解：设，其中、是4的正因数，、是3的正因数， ∴，； ，； ，； 综上，k所有可能的取值为7或8或13． 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．用这六块图形拼成一张大长方形，画出图形并由此写出一个多项式的因式分解． 【答案】图见解析， 【分析】计算拼接前后图形的面积，利用面积相等得到多项式的因式分解． 【详解】解：由题意得， 画出图形如图： 多项式的因式分解为：． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 【答案】(1)； (2)48或． 【分析】将式子分成两组，然后后面的3项运用完全平方公式，式子整体运用平方差公式分解因式； （2）利用完全平方公式将式子分解因式，求出，因为三角形为等腰三角形，求出或，然后求出底边上的高，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解： （2）因为， 所以， 即， 所以， 因为a，b，c为等腰的三边长， 所以或， 当时，腰长为，底边为， 由三线合一性质可知：底边长一半的平方加上高长的平方等于腰长的平方， 底边上的高是：， 面积是：， 当时，腰长为，底边为， 同理可得：底边上的高是：， 面积是： 答：等腰的面积是48或 题型十二：因式分解求最值 【典例】（24-25七年级下·安徽六安·期末）无论，为何实数，代数式的值（   ） A．可能为零 B．最小为7 C．最小为10 D．最大为10 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解的应用，将原式化为，根据偶次幂的非负性，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴原式大于或等于，即最小为7 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·湖南岳阳·月考）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：当时，的值最小，最小值是当时，的值最小，最小值是的最小值是1．问：的最_______值是_______． 【答案】 小 5 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式可把所求式子变形为，再仿照题意求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，取得最小值0，当时，取得最小值0， ∴当时，和能同时取值最小值0， ∴的最小值为5， 故答案为：小；5． 【变式2】（24-25八年级上·云南昆明·期末）小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 【答案】(1)；； (2)大，， (3)，当时，的最小值为； 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的应用，非负数的性质； （1）由，再结合非负数的性质可得答案； （2）由，再结合非负数的性质可得答案； （3）由可得，结合，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：∵，而； ∴当时，有最小值2； （2）解：∵，而； ∴当时有最大值； 故有最大值，当时，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∵，而； ∴当时，的最小值为； 【变式3】（24-25八年级上·河南新乡·期中）上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)大， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及非负数的性质， 解题的关键是能够对二次三项式进行分解因式． （1）利用完全平方公式后即可确定最小值； （2）利用完全平方公式后即可确定当时能取到最大值； （3）首先得到有关的代数式，然后利用完全平方公式确定最小值即可． 【详解】（1）解：； 而 当时， 的值最小，最小值是0， ； ∴当时，有最小值3； （2）解：， 而， 当时， 的值最大，最大值是0， ； ∴当时有最大值； （3）解：∵， ， ， ∴当 时， 的最小值为． 题型十三：因式分解的新定义问题 【典例】（24-25八年级上·福建福州·期中）定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，．所以4，19，103是“希尔伯特”数． (1)请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（4除外） (2)像19，103这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来，已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是108，求这两个“希尔伯特”数． 【答案】(1)9，7（答案不唯一） (2)787与679或147与39 【分析】（1）根据数可以表示成（，为自然数）的形式，则称为“希尔伯特”数．得出；即可； （2）设第一个“希尔伯特”数为，第二个“希尔伯特”数为，两数作差求解即可． 【详解】（1）解：；；；； ∴9，7是“希尔伯特”数；（答案不唯一） （2）解：设第一个“希尔伯特”数为， 第二个“希尔伯特”数为， ∴ = ， ∵它们的差是108， ∴， ∴，即， ∵m，n为正整数， ∴或， 解得或， 当时， ∴， ， 当时， ∴， ， ∴这两个“希尔伯特”数分别为787与679或147与39． 【点睛】本题考查新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组，掌握新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组是解题关键． 【变式1】（24-25九年级上·重庆荣昌·期末）在学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数—“三顺数”． 定义1：对于四位自然数n，若千位数字为6，各个数位数字均不为0，能被6整除，且数n的各个数位数字之和也恰好能被6整除，则称这个自然数n为“三顺数”． 例如：6336是“三顺数”，因为6336÷6＝1056，且（6+3+3+6）÷6＝3；6216不是“三顺数”，因为6216÷6＝1036，但6+2+1+6＝15不能被6整除． 定义2：将任意一个“三顺数”n的前两位数字与后两位数字交换，交换后得到一个新的四位数n′，规定：T（n）＝． (1)判断6426，6726是否为“三顺数”，并说明理由； (2)若n是一个“三顺数”，它的百位数字比十位数字的2倍小2，求T（n）的最大值． 【答案】(1)6426是“三顺数”； 6726不是“三顺数”；理由见解析 (2)40 【分析】（1）根据“”三牛数的定义“求解． （2）先表示n，n′和T（n），再求最值． 【详解】（1）∵6426÷6=1071，且（6+4+2+6）÷6=3 ∴6426是“三顺数”； ∵6726÷6=1121，且6+7+2+6=21不能被6整除 ∴6726不是“三顺数”； （2）设n=，即这个四位数的百位，十位，个位数字分别为a，b，c． ∴n′=． ∴n=×100+，n′=×100+． ∴ =-． 当-最大时，T（n）最大，此时应该使b尽可能小． ①当b=1时，a=2b-2=0，不合题意； ②b=2时，a=2b-2=2，此时，． 6+2+2+c=10+c能被6整除，取c=2，n=6222． 6222÷6=1037． ∴T（n）的最大值=62-22=40． 【点睛】本题考查用新定义解题，根据新定义，表示n，n′和T（n）是求解本题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值； （3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ， 解得或． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，求（用含的式子表示），并计算的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)； 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“和积数”的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可； （3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴a，b的“和积数”c为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，c的值为或； （3）解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 1．（2026·江苏无锡·一模）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进一步分解即可得到结果． 【详解】解： 2．（25-26七年级下·江苏·期中）若，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题运用积的乘方运算性质和平方差公式，对所求代数式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 由平方差公式得 ∵ ∴原式 3．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如，因此、都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，灵活推导 “天才数” 的特征是解题的关键．根据 “天才数” 的定义，设两个连续奇数为和（为整数），利用平方差公式计算得出 “天才数” 一定是的整数倍，进而验证各选项得到答案． 【详解】解： “天才数”可表示为两个连续奇数的平方差，设两个连续奇数为和，为整数， 利用平方差公式计算得：， “天才数”一定是的整数倍对选项验证：，不是整数，所以不是天才数； ，是整数，此时为整数，所以是天才数；同理98和100不是 “天才数”. 6．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先对已知等式移项凑因式分解形式，得到变量的约束条件，再分别代入目标式，结合平方的非负性找到最小值，确定最终答案． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得， ∴或． 情况1：当时，， ∵， ∴ 表达式的最小值为； 情况2：当时，， ∵， ∴， 表达式的最小值为． 8．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）对于任意整数n，多项式都能被（   ）整除 A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式分解因式，数的整除，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用平方差公式分解因式，化简后即可判断． 【详解】解：=， ，， ∴原式． ∵为整数， ∴为整数， ∴原式能被9整除． 故选：D． 9．（2026·江苏连云港·一模）分解因式：____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直到不能分解为止． 【详解】解： ． 10．（2024·北京西城·一模）分解因式：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【详解】解：原式 ． 11．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）若，，则__________． 【答案】3 【分析】根据可推出，结合已知条件可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（2023·江苏连云港·模拟预测）分解因式：___________ 【答案】 【分析】本题使用分组分解法分解因式，先对原式合理分组，再分别运用平方差公式和提公因式法分解，最后提取整体公因式即可得到结果． 【详解】解： ． 14．（25-26八年级下·江苏常州·月考）已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是________ 【答案】3 【分析】根据题意可得，，进一步可得，根据推出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 16．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）已知，深入研究发现，如果将转化为，就会得到，整理得． 填空：（1）分解因式：________（2）若，则的值为________． 【答案】 27 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握立方和与立方差公式是解题的关键． （1）将8写成，应用立方和公式分解因式； （2）利用立方差公式和已知条件，将表达式化简后再分解因式，最后再代入求值即可． 【详解】解：（1）， 根据立方和公式，其中， 得； 故答案为； （2）由立方差公式， 得， 把代入得， 则原式 ， 把代入得， 的值为27． 故答案为：27． 17．（24-25七年级下·江苏南京·周测）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （2）将原式变形为平方差形式，用平方差公式分解后，再用完全平方公式因式分解； （3）先变形提取公因式，再用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，再用平方差公式分解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ； （3）解：， ， ． 19．（2026·江苏南京·模拟预测）证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 【答案】见解析 【分析】本题先将任意个位是5的整数表示为含整数n的代数式，再对该式平方展开，提取公因式25后，根据整除的定义即可证明结论． 【详解】证明：∵任意个位数是5的整数都可以写成的形式，其中为整数， ， 又∵为整数， ∴为整数， ∴是25的整数倍， 即任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 20．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了因式分解的运用，首先由，得到，然后利用完全平方公式得到，而，由此可以求出的值，再把提取公因式，最后代入已知数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴． 21．（24-25七年级下·江苏南京·周测）数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)k所有可能的取值为7或8或13． 【详解】（1）解：根据图形得：； （2）解：画出图形如下： ∴； （3）解：设，其中、是4的正因数，、是3的正因数， ∴，； ，； ，； 综上，k所有可能的取值为7或8或13． 22．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，对于，，得，故常数项为； （2）将凑成，再用平方差公式分解； （3）将凑成，结合即可得到的最大值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式，需要添加的常数项为一次项系数一半的平方，即， 即， 故添加一个常数为； （2）解： ； （3）解： ， ， ，， 即当时，取得最大值． 23．（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 24．（25-26八年级上·江苏南通·期末）【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 【答案】（1）816160；（2），或，或，；（3）此时汽车仪表盘上的里程数是． 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）先利用平方差公式对多项式逐步分解因式，再代入数值计算各因式的值，最后排序得到密码； （2）先对多项式提取公因式，结合密码的三个因式码分析x的可能取值，再通过因式分解与多项式展开对比系数求出p和q的值； （3）设里程数为x，根据题意列方程，利用因式分解转化为因数对问题，进而求出x的值，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， ，，， 将160、16、8按从小到大排列得8、16、160，故生成的密码是816160． 故答案为：816160； （2）解：， ∵生成的密码是242526，密码的每个因式码都是两位数， ∴三个因式码为24、25、26， 即三个因式的值分别为24、25、26， 分三种情况： ①当时，另外两个因式的值为25、26，即，， 则， 可知，； ②当时，另外两个因式的值为24、26，即，， 则， 可知，； ③当时，另外两个因式的值为24、25，即，， 则， 可知，； 综上所述，，或，或，； （3）解：设此时汽车仪表盘上的里程数为（为正整数，且） 根据题意得（，为正整数，且） 将代入得 即 因式分解得 将91分解为正整数因数对：、， 当时， 解得， 此时里程数，符合题意； 当时， 解得， 此时里程数，不符合题意，舍去． 故此时汽车仪表盘上的里程数是． 25．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式：． 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． 阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：①___________；②___________． (2)①求多项式的最大值；②若，试求的最小值． (3)①若，，，求的值；②已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【答案】(1)①② (2)①② (3)①② 【分析】（1）①先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解；②在一次项后加上​，再减去，得到完全平方式后用平方差公式分解； （2）①先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值；②对和分别配方，构造完全平方式，再利用非负性求最小值； （3）① 将原式转化为，代入，，计算；②先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【详解】（1）解：① ； ② ． 答：①②． （2）解：① ， ，， 当，有最大值； ② ， 且， 当且，即，时， 取得最小值． 答：①②． （3）解：①，，， ，，， ； ②， ， ，即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 答：①②． 【点睛】本题考查配方法的应用，因式分解，代数式的最值问题，三角形三边关系，代数恒等变形，通过添加和减去适当的项，构造完全平方式是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点07 因式分解 考点一：公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 考点二：提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 考点三：公式法分解因式平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 考点四：十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 考点五：分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 考点六：因式分解的解题步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 题型一：判断是否是因式分解 因式分解是将多项式化为几个整式的积，核心易错点的是混淆运算形式、分解不彻底及误对单项式分解。 【典例】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（  ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·专题练习）对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 题型二：已知因式分解的结果求参数 【典例】（24-25八年级下·江苏盐城·期末）在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）把多项式分解因式，得，则a，b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25八年级上·新疆巴州·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为__________． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 题型三：公因式 【典例】（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·开学考试）把分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对多项式进行因式分解，第一步需提取公因式，为使后续能迅速判断能否继续再分解，这个公因式应该是________°． 【变式3】（25-26八年级下·全国·专题练习）写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 题型四：提公因式分解因式 易错点主要是遗漏公因式、提取不彻底、混淆公因式与单项式，以及符号处理错误。 【典例】（25-26七年级下·陕西西安·月考）若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【变式1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【变式2】（25-26七年级下·全国·专题练习）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·专题练习）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型五：平方差公式分解因式 需注意区分平方和与平方差，确保分解彻底，避免遗漏公因式及符号错误。 【典例】（2026·河北石家庄·一模）已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·四川成都·月考）已知，，则______． 【变式2】（25-26八年级下·江苏常州·月考）已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是________ 【变式3】（24-25七年级下·全国·专题练习）利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型六：完全平方公式分解因式 【典例】（25-26八年级下·全国·专题练习）已知下列多项式：①；②；③；④．其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 【变式1】（25-26七年级上·上海青浦·期中）若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【变式2】（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【变式3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） ……（第四步） (1)第二步到第三步运用了因式分解的__________；（A．提公因式法B．公式法） (2)该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果__________； (3)请模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 题型七：综合运用提公因式、公式法分解因式 【典例】（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）因式分解： (1)； (2)； 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）将下列多项式因式分解： (1)； (2)； (3)． 题型八：因式分解在有理数简算中的应用 【典例】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）利用因式分解计算：． 【变式2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）简便运算： (1) (2) 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 题型九：十字相乘法 需确保交叉相乘和等于一次项系数、因式分解彻底，避免符号错误及漏找合适的因数组合。 【典例】（24-25八年级上·福建三明·期中）分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）在实数范围内因式分解：______． 【变式2】（2023八年级·福建泉州·竞赛）已知等式中，a、p、q都是整数，则符合条件的a的个数有______个． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 题型十：分组分解法 【典例】（24-25八年级上·北京·期中）已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东广州·一模）因式分解：____________． 【变式2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·月考）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 题型十一：因式分解的应用 【典例】（25-26七年级下·全国·专题练习）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·周测）数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．用这六块图形拼成一张大长方形，画出图形并由此写出一个多项式的因式分解． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 题型十二：因式分解求最值 【典例】（24-25七年级下·安徽六安·期末）无论，为何实数，代数式的值（   ） A．可能为零 B．最小为7 C．最小为10 D．最大为10 【变式1】（24-25七年级下·湖南岳阳·月考）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：当时，的值最小，最小值是当时，的值最小，最小值是的最小值是1．问：的最_______值是_______． 【变式2】（24-25八年级上·云南昆明·期末）小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 【变式3】（24-25八年级上·河南新乡·期中）上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 题型十三：因式分解的新定义问题 【典例】（24-25八年级上·福建福州·期中）定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，．所以4，19，103是“希尔伯特”数． (1)请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（4除外） (2)像19，103这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来，已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是108，求这两个“希尔伯特”数． 【变式1】（24-25九年级上·重庆荣昌·期末）在学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数—“三顺数”． 定义1：对于四位自然数n，若千位数字为6，各个数位数字均不为0，能被6整除，且数n的各个数位数字之和也恰好能被6整除，则称这个自然数n为“三顺数”． 例如：6336是“三顺数”，因为6336÷6＝1056，且（6+3+3+6）÷6＝3；6216不是“三顺数”，因为6216÷6＝1036，但6+2+1+6＝15不能被6整除． 定义2：将任意一个“三顺数”n的前两位数字与后两位数字交换，交换后得到一个新的四位数n′，规定：T（n）＝． (1)判断6426，6726是否为“三顺数”，并说明理由； (2)若n是一个“三顺数”，它的百位数字比十位数字的2倍小2，求T（n）的最大值． 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，求（用含的式子表示），并计算的最小值． 1．（2026·江苏无锡·一模）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏·期中）若，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如，因此、都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 8．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）对于任意整数n，多项式都能被（   ）整除 A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 9．（2026·江苏连云港·一模）分解因式：____． 10．（2024·北京西城·一模）分解因式：________． 11．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）若，，则__________． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 13．（2023·江苏连云港·模拟预测）分解因式：___________ 14．（25-26八年级下·江苏常州·月考）已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是________ 15．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 16．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）已知，深入研究发现，如果将转化为，就会得到，整理得． 填空：（1）分解因式：________（2）若，则的值为________． 17．（24-25七年级下·江苏南京·周测）因式分解： (1)； (2)； (3)． 18．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)． 19．（2026·江苏南京·模拟预测）证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 20．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知，，求的值． 21．（24-25七年级下·江苏南京·周测）数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 22．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 23．（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 24．（25-26八年级上·江苏南通·期末）【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 25．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式：． 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． 阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：①___________；②___________． (2)①求多项式的最大值；②若，试求的最小值． (3)①若，，，求的值；②已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $