第九章 因式分解 知识点2 公式法计算专题 2025-2026学年 苏科版八年级数学下册

第九章 因式分解 第九章 因式分解 知识点2 公式法（一） 1 计算大冲关 （难度等级 ） 1．因式分解： （1）﹣3x2﹣6xy﹣3y2； （2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）． 2．因式分解： （1）12ab2c﹣6ab； （2）81x4﹣72x2y2+16y4． 3．因式分解： （1）12ab2﹣6ab； （2）2x2y﹣8xy+8y． 4．请同学们认真阅读下面求代数值的方法． 已知实数x、y满足x﹣y＝4，xy＝﹣1，计算x3﹣y3的值． 解：因为x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝16+2×（﹣1）＝14， 所以x3﹣y3＝（x2+y2）（x﹣y）+xy（x﹣y）＝14×4+（﹣1）×4＝52． 借鉴上面的方法，解决下列问题： 若实数a、b满足a﹣b＝3，ab＝﹣1． （1）求a3﹣b3的值； （2）求a5﹣b5的值． 第九章 因式分解 公式法（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．分解因式： （1）ax2﹣4ay2 （2）x3﹣8x2+16x 2．因式分解： （1）﹣x3+4x2﹣4x； （2）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）． 3．分解因式： （1）16m4﹣81n4； （2）m3n﹣m2n2； （3）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）． 4．先因式分解，再求值：p3q+2p2q2+pq3，其中p+q＝1，pq＝2． 5.一个四位正整数M，各个数位上的数字均不为0，若百位数字等于十位数字与个位数字之和，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称该四位正整数M为“等和数”．例如：四位数8541，因为1+4＝5，8+1＝4+5，所以8541是“等和数”．将“等和数”M的十位数字与90的乘积记为N，令． （l）①判断：四位数6725　　 “等和数”（在横线上填“是”或“不是”）； ②最小的“等和数”为　　 ； （2）已知“等和数”M的十位数字为a，个位数字为b（1≤a≤4，1≤b≤5），当F（M）+29被7整除时，求所有满足条件的M． 第九章 因式分解 公式法（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．因式分解： （1）x3﹣16x （2）2x2﹣12x+18． 2．将下列多项式进行因式分解． （1）x2﹣9y2； （2）x2﹣x4； （3）m2+2n2． 3．在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式x2﹣4就可以分解成（x+2）（x﹣2），再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取x＝16，那么x+2＝18，x﹣2＝14，14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如x2（x+2），我们取x2和（x+2）的值作为两个因式码． （1）根据上述方法，若多项式为x2﹣16，当x＝15时，请直接写出密码为 　　 ． （2）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为x3﹣x，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． （3）已知多项式4x4﹣x2，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由． 4．某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于x的多项式中，如果x取某个值a使得这个多项式等于0，那么x﹣a是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于x的二次多项式x2﹣5x+6中，当x＝2时，多项式等于0，于是它有一个因式是x﹣2，设x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣b），展开，得x2﹣5x+6＝x2﹣（2+b）x+2b，所以5＝2+b，6＝2b，解得b＝3． （1）小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当x＝1时，二次多项式x2﹣5x+4等于0，于是这个多项式有一个因式是　　 ，进一步求出另一个因式是　　 ． （2）小红问小亮，如果告诉你当x＝5时，二次多项式x2﹣7x+a等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出a，并进一步求出x2﹣7x+a分解因式的结果．如果不可以，请说明理由． 第九章 因式分解 公式法（四） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．把下列各式分解因式： （1）8a3b2+12ab3c； （2）2a（b+c）﹣3（b+c）； （3）4x2﹣9y2； （4）﹣x2+4xy﹣4y2； （5）（a2+b2）2﹣4a2b2． 2．下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程． 解：设x2+2x＝y 原式＝y（y+2）+1（第一步） ＝y2+2y+1（第二步） ＝（y+1）2（第三步） ＝（x2+2x+1）2（第四步） 请问： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底“或“不彻底“）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ； （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1进行因式分解． 3．观察下列等式，并回答问题． 4×1＝22﹣02； 4×2＝32﹣12； 4×3＝42﹣22； 4×4＝52﹣32； … （1）将2024写成两个整数平方差的形式：2024＝　 ﹣　 　 ． （2）用含有字母n（n≥1，且n为整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． （3）相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由． 公式法（一）参考答案 1.【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1）﹣3x2﹣6xy﹣3y2 ＝﹣3（x2+2xy+y2） ＝﹣3（x+y）2； （2）a2（x﹣y）+16（y﹣x） ＝（x﹣y）（a2﹣16） ＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）． 2.【分析】（1）利用提公因式法进行分解即可解答； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行分解即可解答． 【解答】解：（1）12ab2c﹣6ab＝6ab（2bc﹣1）； （2）81x4﹣72x2y2+16y4 ＝（9x2﹣4y2）2 ＝（3x+2y）2（3x﹣2y）2． 3.【分析】（1）直接提取公因式6ab即可求解； （2）直接提取公因式2y，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）12ab2﹣6ab＝6ab（2b﹣1）； （2）原式＝2y（x2﹣4x+4） ＝2y（x﹣2）2． 4.【分析】（1）利用立方差公式变形，将a3﹣b3转化为含已知量a﹣b、ab及中间量a2+b2的表达式，再进行计算即可； （2）将五次方差分解为一次因式与四次多项式乘积，通过求中间量a4+b4过渡计算． 【解答】解：（1）计算a2+b2的值： （a﹣b）2+2ab＝32+2×（﹣1）＝9﹣2＝7， 计算a3﹣b3的值： （a2+b2）（a﹣b）+ab（a﹣b）＝7×3+（﹣1）×3＝18， 答：a3﹣b3的值为18． （2）计算a2+b2的值： （a﹣b）2+2ab＝32+2×（﹣1）＝7， 计算a4+b4的值： （a2+b2）2﹣2（ab）2＝72﹣2×（﹣1）2＝49﹣2＝47， 计算a5﹣b5的值： （a﹣b）[（a4+b4）+ab（a2+b2）+（ab）2]＝3×[47+（﹣1）×7+（﹣1）2]＝123． 答：a5﹣b5的值为123． 公式法（二）参考答案 1.【分析】（1）先提公因式a，再利用平方差公式分解可得； （2）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解可得． 【解答】解：（1）ax2﹣4ay2＝a（x2﹣4y2）＝a（x+2y）（x﹣2y）； （2）x3﹣8x2+16x＝x（x2﹣8x+16）＝x（x﹣4）2． 2.【分析】（1）先提公因式﹣x，再利用完全平方公式分解因式即可求解； （2）先提公因式（a﹣b），再利用平方差公式求解即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣x（x2﹣4x+4） ＝﹣x（x﹣2）2； （2）原式＝m2（a﹣b）﹣4n2（a﹣b） ＝（a﹣b）（m2﹣4n2） ＝（a﹣b）（m+2n）（m﹣2n）． 3.【分析】（1）运用平方差公式分解即可解答； （2）直接提取公因式即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（4m2﹣9n2）（4m2+9n2）＝（4m2+9n2）（2m﹣3n）（2m+3n）； （2）原式＝m2n（m﹣n）； （3）原式＝（x+y）2﹣4（x+y）+4＝（x+y﹣2）2． 4.【分析】通过提取公因式法和完全平方公式对原式进行因式分解，再代入已知条件计算出最终结果． 【解答】解：p3q+2p2q2+pq3 ＝pq×q2+pq×2pq+pq×q2 ＝pq（p2+2pq+q2） ＝pq（p+q）2， 当p+q＝1，pq＝﹣2时， 原式＝pq（p+q）2＝﹣2×12＝﹣2． 5，【分析】（1）①根据定义判断即可； ②设M，根据定义得到c＝2y，c越小M越小，所以c的最小为2，由此可求最小的“等和数”为2211； （2）根据题意可得千位数字为2a，百位数字为a+b，求出M＝2000a+100（a+b）+10a+b，N＝90a，则F（M）+29＝20a+b+29，由20a+b+29被7整除，再有a、b的取值范围讨论即可． 【解答】解：（1）①∵7＝2+5，6+5≠7+2， ∴6725不是“等和数”， 故答案为：不是； ②设M， ∴x＝y+z，c+z＝x+y， ∴c+z＝2y+z， ∴c＝2y， ∴c的最小为2， ∴最小的“等和数”为2211； （2）∵“等和数”M的十位数字为a，个位数字为b， ∴千位数字为2a，百位数字为a+b， ∴M＝2000a+100（a+b）+10a+b，N＝90a， ∴F（M）＝20a+b， ∴F（M）+29＝20a+b+29， ∵F（M）+29被7整除， ∴20a+b+29被7整除， ∵1≤a≤4，1≤b≤5， ∴a＝2，b＝1，则M＝4321； a＝3，b＝2，则M＝6532； a＝4，b＝3，则M＝8743； 综上所述：M的值为4321或6532或8743． 公式法（三）参考答案 1.【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣16）＝x（x+4）（x﹣4）； （2）原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2． 2.【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （3）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（x+3y）（x﹣3y）； （2）原式＝x2（1﹣x2） ＝x2（1+x）（1﹣x）； （3）原式（m2﹣4n2） （m+2n）（m﹣2n）． 3.【分析】（1）根据题意分解因式，代入求解即可； （2）易得x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），据此即可得解； （3）易得4x4﹣x2＝x2（2x+1）（2x﹣1），再进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）， 当x＝15时，x+4＝19，x﹣4＝11， ∴密码为1911或1119； 故答案为：1911或1119； （2）31岁，理由如下： x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）， ∵x﹣1＜x＜x+1， ∴x＝31， 即王老师当前年龄是31岁； （3）4x4﹣x2＝x2（2x+1）（2x﹣1）， 显然2x+1＞2x﹣1， ∵x2﹣（2x﹣1）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， 当x＝1时不合题意； 当x≠1时，x2＞2x﹣1， ∴2x﹣1是最小的因式， ∴x＝8， ∴其他两个因式码是17和64． 4，【分析】（1）根据例题的方法可得x2﹣5x+4有一个因式是x﹣1，进而设x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣b），展开，即可求解． （2）同（1）的方法求解，即可． 【解答】解：（1）由条件可知这个多项式有一个因式是x﹣1， 设x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣b）， 展开，得x2﹣5x+4＝x2﹣（1+b）x+2b，所以5＝1+b，解得b＝4． ∴另一个因式是x﹣4， 故答案为：x﹣1，x﹣4； （2）x2﹣7x+a分解因式的结果为（x﹣5）（x﹣2），理由如下， 由条件可知这个多项式有一个因式是x﹣5， 设x2﹣7x+a＝（x﹣5）（x﹣b）， 展开，得x2﹣7x+a＝x2﹣（5+b）x+5b，所以7＝5+b，解得b＝2． ∴另一个因式是x﹣2， ∴x2﹣7x+a分解因式的结果为（x﹣5）（x﹣2）． 公式法（四）参考答案 1.【分析】（1）提取公因式 4ab2即可因式分解； （2）提取公因式 （b+c）即可因式分解； （3）根据平方差公式即可因式分解； （4）提取负号，再使用完全平方公式即可因式分解； （5）应用平方差公式与完全平方公式即可因式分解． 【解答】解：（1）原式＝4ab2（2a2+3bc）； （2）2a（b+c）﹣3（b+c）＝（b+c）（2a﹣3）； （3）原式＝（2x）2﹣（3y）2 ＝（2x+3y）（2x﹣3y）； （4）原式＝﹣（x2﹣4xy+4y2） ＝﹣（x﹣2y）2； （5）原式＝（a2+b2）2﹣（2ab）2 ＝（a2+b2﹣2ab）（a2+b2+2ab） ＝（a﹣b）2（a+b）2． 2.【分析】（1）根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可； （2）根据完全平方公式法继续进行因式分解即可； （3）仿照题干方法，进行因式分解即可． 【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选：C； （2）分解结果不彻底， （x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1 ＝（x2+2x+1）2 ＝[（x+1）2]2 ＝（x+1）4； 故答案为：不彻底，（x+1）4； （3）设y＝x2﹣6x， 原式＝（y+8）（y+10）+1＝y2+18y+81＝（y+9）2＝（x2﹣6x+9）2＝（x﹣3）4． 3.【分析】（1）观察等式得出规律4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2，令4n＝2024，解得n＝506，代入规律得2024＝（506+1）2﹣（506﹣1）2； （2）通过观察等式写出规律4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2，再用平方差公式展开右边验证是否等于左边； （3）设相邻整数为k和k+1，计算平方差（k+1）2﹣k2＝2k+1，判断其是否为4的倍数． 【解答】解： （1）因为4×1＝22﹣02， 其中2＝1+1，0＝1﹣1； 4×2＝32﹣12， 其中3＝2+1，1＝2﹣1； 4×3＝42﹣22， 其中4＝3+1，2＝3﹣1； 4×4＝52﹣32， 其中5＝4+1，3＝4﹣1； 可得规律：4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2（n≥1且为整数）， 令4n＝2024， 解得n＝506， 代入规律得：2024＝（506+1）2﹣（506﹣1）2＝5072﹣5052． 故答案为：5072，5052． （2）因为4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2（n≥1且为整数）， 右边展开：（n+1）2﹣（n﹣1）2 ＝[n2+2n+1]﹣[n2﹣2n+1] ＝n2+2n+1﹣n2+2n﹣1 ＝4n， 右边与左边相等，规律成立． （3）设相邻的两个整数为k和k+1（k为整数）， 平方差为： （k+1）2﹣k2 ＝（k2+2k+1）﹣k2 ＝2k+1， 以为呢2k+1是奇数，而4的倍数是偶数， 因此相邻两个整数的平方差不是4的倍数． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $