第9章因式分解 章末综合知识点分类解答题专题训练2025-2026学年苏科版八年级数学下册

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《第9章因式分解》 章末综合知识点分类解答题专题训练（附答案） 一、因式分解的概念 1．下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 2．已知整式，整式，若可以分解为，求． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 二、提公因式法 4．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 5．用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)； (3)． 6．长方形的长为，宽为，在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积（用含的代数式表示，并因式分解）． 7．阅读材料：若 则 利用整体代入的方法可对类似代数式进行求值． 例如：． 请你根据材料，解决下列问题： 已知，求代数式 的值． 8．读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是 ； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)分解因式：． 三、公式法 9．分解因式： (1)； (2)； (3)． 10．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．阅读下面的材料，回答问题： 因式分解：． 解：原式 ． 上述因式分解的方法称为配方法． 请仿照上面配方法的解题步骤，将下列各式因式分解： (1)； (2)． 12．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 13．阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 14．数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 四、因式分解的应用 15．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 16．设n为正整数，且能被57整除，证明：是57的倍数． 17．如图为两个边长为的正方形纸片，一个边长为的正方形纸片，三个长和宽分别为和的长方形纸片．你能否用图中所有的纸片拼成一个长方形？如果能，请画出草图，并据此写出一个多项式的因式分解；如果不能，请说明理由． 18．【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 19．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 20．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的思想．利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系． 小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张．他用张，张和张卡片拼出一个新的图形（如图）．根据图的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)若小刚拼成的长方形长是，宽是，则需要卡片张，卡片______张； (2)动手操作，依照小刚的方法，在图的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 参考答案 1．解：（1）左边是，是整式的积， 右边是，是多项式， 这是整式乘法，不是因式分解． （2）左边是，是多项式， 右边是，是整式的积，并且等式成立， 符合因式分解定义， 故该变形为因式分解． （3）左边是，是多项式， 右边是，是整式的积，并且等式成立， 符合因式分解定义， 故该变形为因式分解． （4）左边是，是多项式， 右边是，不是整式的积，而是和的形式， 不符合因式分解定义． 2．解： ， ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 3．（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 4．（1）解： ； （2）解： ． 5．（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．解：长方形面积：， 挖去的正方形面积：， 剩余面积： ． 7．解： +1 8．（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ∴需应用提公因式法n次； （3）解： ． 9．（1）解：， ， ； （2）解： ， ； （3）解：， ， ． 10．（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 11．（1）解：原式 ； （2）解：原式 12．（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ； （2）解：①，， ； ② ． 13．（1）解：中，常数项“”，一次项系数“”， 则 ； （2）①解：把看成一个整体，令，则原式， 再将重新代入，得：原式； ②解：原式， 把看成一个整体，令， 则原式， 再将重新代入，得： 原式． 14．（1）解：根据图形得：； （2）解：画出图形如下： ∴； （3）解：设，其中、是4的正因数，、是3的正因数， ∴，； ，； ，； 综上，k所有可能的取值为7或8或13． 15．（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．证明：能被57整除， 设（m为正整数），即， ， 是57的倍数． 17．解：能， 所有纸片的面积和为， 因式分解为． 拼成的长方形的长为、宽为． 拼图如答图所示． 18．（1）解： ． （2）解：， ， ∵a，b，c均为正数， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形． 19．（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解， 故答案为：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：， 故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 20．（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∵B卡片面积为，C卡片面积为， ∴需要B卡片2张，C卡片3张； （2）解：如图 学科网（北京）股份有限公司 $