第9章 因式分解单元培优卷 2025-2026学年 苏科版八年级下册数学

第9章 因式分解 单元培优卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．将下列多项式分解因式，结果中不可能含因式的是（　　） A． B． C． D． 2．已知a，b，c为△ABC三边，且满足，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 3．下列多项式中，在实数范围内能进行因式分解的是（　　） A．a﹣1 B．a2﹣1 C．x2﹣4y D．a2+1 4．设n为某一自然数，代入代数式n3-n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（　　） A．121 B．210 C．335 D．505 5．下面分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 6．课堂练习中，王莉同学做了如下4道因式分解题，你认为王莉做得不够完整的一道是(　　) A． B． C． D． 7．已知，，，则代数式的值为（　　） A．4 B．10 C．8 D．6 8．任何一个正整数 都可以进行这样的分解： （ 、 是正整数，且 ），如果 在 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： .例如18可以分解成 ， ， 这三种，这时就有 ，给出下列关于 的说法： ① ；② ；③ ；④若 是一个完全平方数，则 ，其中正确说法的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题(本大题有5个小题，每小题3分，共15分) 9．分解因式4x2－(y－2)2＝　 　. 10．如果，，那么　 　. 11．如果是的一个因式，则的值是　 　. 12．分解因式：x2﹣2x﹣15=　 　 13．分解因式　 　． 三、解答题（14、15题每题6分，16题7分，17、18题每题8分，19、20每题9分，共计53分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14．利用因式分解计算： （1）21×3.14+62×3.14+17×3.14； （2）7582-2582． 15．分解因式： （1） （2） 16．已知(10x-11)(11x-7)-3x(7-11x)可因式分解成(ax+b)(11x+c)，其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值. 17．设． （1）当n=1时，求A的值； （2）当n为整数时，求证：A是8的倍数． 18．已知：多项式A=b3﹣2ab （1）请将A进行因式分解： （2）若A=0且a≠0，b≠0，求 的值． 19．分解因式（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）； （2）（a2+b2）2﹣4a2b2． 20．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （ 1 ）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得 ，解得 ，∴ 解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算取 ， 2× ＝0，故 ． （ 2 ）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值． 答案 一、选择题(本大题有8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．将下列多项式分解因式，结果中不可能含因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 ，A不符合题意； B、 ，B不符合题意； C、 ，C不符合题意； D、 无法因式分解，D符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据因式分解的定义对各选项进行判断即可得到结果. 2．已知a，b，c为△ABC三边，且满足，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【解析】【解答】∵， ∴（a-b）b=c（a-b）， ∴（b-c）（a-b）=0， ∴b-c=0或a-b=0， ∴b=c或a=b， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：C. 【分析】利用因式分解法将原式变形为（b-c）（a-b）=0，可得b=c或a=b，从而可证出△ABC是等腰三角形. 3．下列多项式中，在实数范围内能进行因式分解的是（　　） A．a﹣1 B．a2﹣1 C．x2﹣4y D．a2+1 【答案】B 【解析】【解答】解：A、a﹣1不能分解，不符合题意； B、原式=（a+1）（a﹣1），符合题意； C、原式不能分解，不符合题意； D、原式不能分解，不符合题意， 故选B 【分析】利用因式分解的方法判断即可． 4．设n为某一自然数，代入代数式n3-n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（　　） A．121 B．210 C．335 D．505 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可知：原式： 为三个连续的正整数的积， 可写成三个连续自然数的积，其中有因数必为偶数，也有因数必为3的倍数， 是一个偶数. 而且是3的倍数， 选项只有B，符合条件， 又∵ 故答案为：B. 【分析】代数式 因式分解可得 ，则代数式表示三个连续正整数的积.据此分析即可. 5．下面分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据完全平方公式可判断A、C、D；根据平方差公式可判断B. 6．课堂练习中，王莉同学做了如下4道因式分解题，你认为王莉做得不够完整的一道是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：A、∵，分解不彻底还可以继续分解，∴A符合题意； B、∵，正确，∴B不符合题意； C、∵，正确，∴C不符合题意； D、∵，正确，∴D不符合题意； 故答案为：A. 【分析】利用因式分解的步骤（①提取；②套公式；③检查是否能继续因式分解）分析求解即可. 7．已知，，，则代数式的值为（　　） A．4 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【解析】【解答】解：∵，，， ∴a-b=m+2020-m-2021=-1，a-c=m+2020-m-2022=-2，b-c=m+2021-m-2022=-1， ∴ = = = =1+4+1 =6， 故答案为：D. 【分析】根据已知条件利用整式的加减法先算出a-b，a-c及b-c的值，进而将待求式子前三项拆项后分为三组，每组利用完全平方公式分解因式，然后整体代入计算即可. 8．任何一个正整数 都可以进行这样的分解： （ 、 是正整数，且 ），如果 在 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： .例如18可以分解成 ， ， 这三种，这时就有 ，给出下列关于 的说法： ① ；② ；③ ；④若 是一个完全平方数，则 ，其中正确说法的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】【解答】∵ ， ∴ 是2的最佳分解， ∴ ，即①正确； ∵ ， ， ， ， ， ∴ 是48的最佳分解， ∴ ，即②错误； ∵ ， ∴ ，即③正确； 若 是一个完全平方数，则设 （ 是正整数）， ∴ ，即④正确； 综上所述，①③④正确，共三个， 故答案为：B. 【分析】分别将①②③④中的数或式子进行分解，根据最佳分解的定义进行判断即可. 二、填空题(本大题有5个小题，每小题3分，共15分) 9．分解因式4x2－(y－2)2＝　 　. 【答案】(2x＋y－2)(2x－y＋2) 【解析】【解答】解：原式=（2x+y-2）（2x-y+2）。 故答案是：（2x+y-2）（2x-y+2）。 【分析】利用平方差公式直接分解因式即可。 10．如果，，那么　 　. 【答案】-900 【解析】【解答】解：原式= ∵， ∴原式= 故答案为：-900. 【分析】首先将待求式子利用平方差公式分解因式，然后括号内分别合并同类项，进而整体代入按有理数的乘法法则算出答案. 11．如果是的一个因式，则的值是　 　. 【答案】-1 【解析】【解答】解：由题意可得： 当x=2时，=4a-2b+2=0 解得：2a-b=-1 故答案为：-1 【分析】由题意可得x=2是=0的一个解，代入方程化简即可求出答案. 12．分解因式：x2﹣2x﹣15=　 　 【答案】（x﹣5）（x+3） 【解析】【解答】解：原式=（x﹣5）（x+3）． 故答案为：（x﹣5）（x+3）． 【分析】原式利用十字相乘法分解即可． 13．分解因式　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【分析】利用分组分解和十字相乘法因式分解解题即可． 三、解答题（14、15题每题6分，16题7分，17、18题每题8分，19、20每题9分，共计53分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14．利用因式分解计算： （1）21×3.14+62×3.14+17×3.14； （2）7582-2582． 【答案】（1）解：原式=3.14×（21+62+17）=3.14×100=314 （2）解：原式=（758+258）（758-258）=508000 【解析】【分析】（1）观察可知，每一项都含有公因数3.14，利用提取公因数，再进行计算可求出结果. （2）利用平方差公式先分解因数，再进行计算. 15．分解因式： （1） （2） 【答案】（1）解： = = ； （2）解： = = ． 【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算求解即可。 16．已知(10x-11)(11x-7)-3x(7-11x)可因式分解成(ax+b)(11x+c)，其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值. 【答案】解：∵ (10x-11)(11x-7)-3x(7-11x) = (10x-11)(11x-7)+3x(11x-7) =(13x-11)(11x-7) = (ax+b)(11x+c) ， ∴a=13，b=-11，c=-7， ∴ a+b+c=13-11-7=-5. 【解析】【分析】由于(10x-11)(11x-7)-3x(7-11x) =(13x-11)(11x-7)= (ax+b)(11x+c) ，根据对应系数相等可求出a、b、c的值，然后代入计算即可. 17．设． （1）当n=1时，求A的值； （2）当n为整数时，求证：A是8的倍数． 【答案】（1）解：当n=1时， （2）解： =8n ∵n为整数， ∴8n是8的倍数， 因此A是8的倍数． 【解析】【分析】（1）将n＝1代入原式中计算即可； （2）将原式利用完全平方公式展开，然后去括号，合并同类项，判断是否是8的倍数即可． 18．已知：多项式A=b3﹣2ab （1）请将A进行因式分解： （2）若A=0且a≠0，b≠0，求 的值． 【答案】（1）解：A=b3﹣2ab=b（b2﹣2a） （2）解：∵A=0，∴b（b2﹣2a）=0， 解得：b=0或b2﹣2a=0， ∵b≠0， ∴b2﹣2a=0，即b2=2a， 则原式= = = 【解析】【分析】（1）将多项式提取公因式，进行化简。（2）A=0，即有两种情况，将两种情况代入原式，进行化简。 19．分解因式（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）； （2）（a2+b2）2﹣4a2b2． 【答案】解：（1）原式=a（x﹣y）+b（x﹣y）=（x﹣y）（a+b）．（2）原式=（a2+b2）2﹣（2ab）2=（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）=（a+b）2（a﹣b）2． 【解析】【分析】（1）提取公因式（x﹣y）后整理即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 20．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （ 1 ）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得 ，解得 ，∴ 解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算取 ， 2× ＝0，故 ． （ 2 ）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值． 【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）， 取x＝1，得1+m+n﹣16＝0①， 取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0②， 由①、②解得m＝﹣5，n＝20． 【解析】【分析】（1）根据因式分解的定义，设 2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 根据多项式的乘法法则，将等式的右边展开再合并同类项，按三次项，二次项，一次项，常数项依次排列，再与等式的左边进行比较即可得出答案； 设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式） 根据恒等式的性质，又为了方便计算，采用取特殊值的方法代入计算即可得出答案； （2） 设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）， 仿照（1）中的第二种解法，分别取特殊值x=1，与x=2代入代数式即可得出两个关于m，n的方程，求解即可得出答案。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $