精品解析：陕西师范大学附属中学2023-2024学年度第二学期高二年级开学收心考试数学试题

陕西师大附中2023-2024学年度第二学期高二年级开学收心考试数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【详解】因直线与轴垂直，故该直线的倾斜角. 2. 已知点满足，则点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解. 【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为8，则椭圆方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，可求解a，由椭圆的离心率求得c，即可得到b，得到结果. 【详解】如图： 由椭圆的定义可知，的周长为4a， ∴4a=8,a=2,又离心率为， ∴c=1， b2， 所以椭圆方程为, 故选A． 【点睛】本题考查椭圆的定义及简单性质的应用，属于基础题． 4. 各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质及对数运算性质计算即可. 【详解】在各项均为正数的等比数列中，， 因为， 所以 所以 ， 故选：B. 5. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果. 【详解】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有 所以共有种 故选B 【点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题. 6. 已知直线与直线相交于点为直线上一动点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意两动直线分别过定点，由交轨法可知点的轨迹为以、为直径的圆，判断直线与该圆的位置关系，结合点到直线的距离、三角形三边关系即可求得线段长度的最小值. 【详解】直线恒过定点，直线恒过定点， 由两直线的方程可知：两直线相互垂直. 所以点的轨迹方程为（且），圆心为， 圆心到直线的距离， 所以且与直线相离， 所以线段长度的最小值为. 故选：A. 7. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在区间上是减函数，转化为，对恒成立求解. 【详解】解：因为函数在区间上是减函数， 所以，对恒成立， 即，对恒成立， 令，由对勾函数的性质得， 所以， 故选：D 8. 的值落在区间（ ）中． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，分析可知，利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为， 即 ， 设，则， 对任意的恒成立， 所以，函数在上为减函数，且， 因为，， 由零点存在定理可知. 故选：B. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 4个班分别从3个景点选择一处游览，不同的选法的种数是； B. 从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有10个； C. 两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，一共有5种取法； D. 从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，一共可以组成10个分数； 【答案】AB 【解析】 【分析】计算4个班分别从3个景点选择一处游览，共有几种选法，判断A;计算出从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有几个，判断B;根据分步乘法原理计算两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，有几种取法，判断C;考虑1作分子情况和不选1时的情况，计算出分数的个数，判断D. 【详解】A, 4个班分别从3个景点选择一处游览，每一个班都有3种选择，分4步完成， 故有 种选法，A正确； B，从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数， 先确定个位数字有2种可能，再确定十位数字有5种可能，故共有 个偶数，B正确； C，两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，共有 种取法，C错误； D，从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数， 若选1作分子，则分母有4种可能，此时有4个分数， 不选1时，共有个分数， 故共有 个分数，故D错误， 故选：AB 10. 设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（ ） A. B. 以线段为直径的圆必与准线相切 C. 线段的长为定值 D. 线段的中点 E 到准线的距离为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，令，由已知结合抛物线的定义可得，计算判断AD；举例说明判断BC. 【详解】依题意，抛物线的焦点，方程为，则，A正确； 令，显然，即， 取，则，即点，此时， 以线段为直径的圆的圆心为，该圆心到准线的距离为4，不等于圆半径， 因此该圆与准线不相切，B错误； 以点为端点的线段长，当直线垂直于x轴时，， 此时，C错误； 线段的中点E的横坐标为3，点E到准线的距离为，D正确. 故选：AD 11. 已知函数的定义域为，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 有且仅有4个极值点 D. 恰有4个极大值点 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数， 利用导数分析函数的单调性与极值. 【详解】因为的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数， 又， 当时，，则在上单调递增， 显然，令，得， 分别作出，y在区间上的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切， 故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点， 故选： BC． 12. 已知数列满足：，其中，数列的前项和是，下列说法正确的是（ ） A. 当时，数列是递增数列 B. 当时，若数列是递增数列，则 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用作差法，结合配方法，可得答案； 对于B，利用作差法，结合递推公式，建立不等式组，可得答案； 对于C，整理递推公式，联立数列的不等关系，利用累加法，可得答案； 对于D，整理递推公式，联立数列的不等关系，利用累乘法，可得答案. 【详解】因为且， 所以，数列是递增数列，故A正确； 若数列是单调递增数列， 当时， 且，所以，又因为是单调递增的， 所以只需要，则，解得或，故B错误； ，所以， 所以，所以，故C正确； 易知是递增数列，所以，则， 即，所以， 即，所以， 当时，，所以 所以，D正确， 故选:ACD. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知为等比数列，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由等比数列的性质可得：， 又因为，所以. 故答案为：. 14. 若直线与圆交于两点，当最小时，劣弧的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线过定点的坐标，再求出圆的圆心和半径，当时取得最小值，最后求出劣弧的长. 【详解】直线可化为， 则当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 当时，取得最小值，且最小值为， 此时弦长所对的圆心角为，所以劣弧的长为. 故答案为： 15. 某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________． 【答案】150 【解析】 【分析】利用间接法，先将学生安排出去，再排除不符合题意的情况即可. 【详解】先将学生安排出去，共有种排法， 若5名学生都去同一个社区，共有种排法； 若5名学生去2个社区（每个社区至少安排1名志愿者），共有种排法； 所以符合题意的所有排法的总数为. 故答案为：150. 16. 若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围. 【详解】， 令，， 显然函数单调递增， 所以函数有2个零点，等价于有两个根，即有两个根， 设过原点且与曲线相切的直线方程为，切点为， 因为，所以，解得，，得切线方程为， 如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当，即时有两个交点，即有两个根． 所以实数a的取值范围为 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共80分．第17题12分，第18-20题每小题14分，第21题16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法即可求得数列通项； （2）将数列的通项公式裂项后相加即得答案. 【小问1详解】 ，且， 当时， ， 当时，，满足上式， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则. 18. 用总长为的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？ 【答案】当长方体容器的高为时，容积最大，最大容积为. 【解析】 【分析】设底面的一边的长为，求出另一边的长为，以及高，表示出体积，利用导数求出最大值即可. 【详解】设底面的一边的长为，另一边的长为. 因为钢条长为，所以，长方体容器的高为. 设容器的容积为， 则， ， 解得（舍去），， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 因此，是函数在内的极大值点，也是最大值点. 此时长方体容器的高为. 所以，当长方体容器的高为时，容积最大，最大容积为. 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若的中线长为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可； （2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：， 而， 所以， 化简得， 因为，则，， 即，所以， 又因为，所以，即. 【小问2详解】 由是的中线，可知， 所以，即， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积， 即的面积的最大值为. 20. 设A，B是椭圆上异于的两点，且直线AB经过坐标原点，直线PA，PB分别交直线于C，D两点． （1）求证：直线PA，AB，PB的斜率成等差数列； （2）求面积的最小值． 【答案】（1）设，则，， 直线的斜率，直线的斜率为，直线的斜率为， ， 故直线PA，AB，PB的斜率成等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）设，，表达出直线，直线，直线的斜率，由证明出结论； （2）写出直线PA的方程，与联立求出，同理求出，求出，利用三角换元，求出的最小值，结合到直线的距离，求出面积的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线PA的方程为，与联立得： ， 同理可得：直线PB的方程为，与联立得： ， 故， 因为，设， 故， 其中， 故当时，取得最小值，最小值为， 又点到直线的距离， 故面积的最小值为. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 21. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. （2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2023-2024学年度第二学期高二年级开学收心考试数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 不存在 2. 已知点满足，则点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为8，则椭圆方程为（　　） A. B. C. D. 4. 各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 5. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知直线与直线相交于点为直线上一动点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 的值落在区间（ ）中． A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 4个班分别从3个景点选择一处游览，不同的选法的种数是； B. 从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有10个； C. 两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，一共有5种取法； D. 从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，一共可以组成10个分数； 10. 设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（ ） A. B. 以线段为直径的圆必与准线相切 C. 线段的长为定值 D. 线段的中点 E 到准线的距离为定值 11. 已知函数的定义域为，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 有且仅有4个极值点 D. 恰有4个极大值点 12. 已知数列满足：，其中，数列的前项和是，下列说法正确的是（ ） A. 当时，数列是递增数列 B. 当时，若数列是递增数列，则 C. 当时， D. 当时， 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知为等比数列，且，则__________. 14. 若直线与圆交于两点，当最小时，劣弧的长为__________. 15. 某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________． 16. 若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共80分．第17题12分，第18-20题每小题14分，第21题16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求． 18. 用总长为的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？ 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若的中线长为，求面积的最大值． 20. 设A，B是椭圆上异于的两点，且直线AB经过坐标原点，直线PA，PB分别交直线于C，D两点． （1）求证：直线PA，AB，PB的斜率成等差数列； （2）求面积的最小值． 21. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数在单调递增，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $