精品解析：吉林省吉林市某校2025-2026学年九年级下学期中考适应性训练数学试卷

初三数学学科中考适应训练试题 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题3分，共18分） 1. 某天长白山山脚最低气温为零上，记作，山顶最低气温为零下，记作，则这一天山脚与山顶的温差是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（   ） A. B. C. D. 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式高超音速战斗机，此类战机速度预计可以突破马赫，飞行一小时的距离约为米，将数据用科学记数法表示时，正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：________ 8. 计算：______． 9. 以正六边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转__°． 10. 古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是______． 11. 如图，点A、B、C均在上，直径，，则图中阴影部分的面积为______  ． 三、解答题（本题共11题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中，． 13. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 14. 如图，在中，点在边上，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接、．求证：． 15. 2025年3月14日(国际圆周率日)发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，：“圆周率”、：“勾股定理”、：“欧拉公式”、：“莫比乌斯环带”．(邮票背面完全相同)．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽取一张，则抽取的邮票刚好是的概率是________； （2）从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 16. 图①，图②，图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段的端点A和B均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图． （1）在图①中，以为边画一个三角形，且有一边长为5，点C为格点． （2）在图②中，以为边画一个面积为3的等腰三角形，点D为格点． （3）在图③中，以为边画一个面积为5的等腰直角三角形，点E为格点． 17. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 18. 小明在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境让细菌长不动，繁殖慢，代谢停”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，小明想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家中做了一个实验：小明将新鲜的蔬菜置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数，得到的数据记录如下： 实验天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数： 20 25 30 35 … （1）如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数，将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线．观察上述各点的分布规律，请判断菌落总数是试验天数的 函数（一次、反比例、二次） （2）求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式； （3）小明查阅资料发现，当蔬菜上的菌落总数达到时就不能食用，请通过计算说明第几天后冰箱里的蔬菜变质了． 19. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 20. 如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时点从点出发，以相同的速度沿折线向终点运动，连接，过点作的平行线，并截取，且点在点的右侧，以、为邻边作，设与菱形重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点N与点B重合时，x的值为______； （2）求的长（用含x的代数式表示）； （3）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 21. 【教材呈现】下图是华师版九上数学校材第103页的部分内容． 已知：如图24.2.2，在中，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结． 【定理证明】根据教材提示，结合图①，写出完整演绎推理过程． 【结论应用】如图②，在直角三角形纸片中，，点是斜边的中点，连结．将沿折叠，使点落在点处，此时恰好有．若，则长为______． 【拓展应用】 如图③，在和中，，点为边上一点，连结，若点分别为的中点．当时，的长为______． 22. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点是该抛物线上的点，横坐标为，点的坐标．连结． （1）求该抛物线对应的函数表达式： （2）当线段平行于轴时，求线段的长： （3）当线段不与坐标轴平行时，以线段为对角线作矩形．且轴： ①若矩形被抛物线对称轴分成两部分，求的值； ②当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学学科中考适应训练试题 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题3分，共18分） 1. 某天长白山山脚最低气温为零上，记作，山顶最低气温为零下，记作，则这一天山脚与山顶的温差是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正数和负数．根据题意，直接两数相减即可． 【详解】解：由题意得，这一天山脚与山顶的温差是 故选：C． 2. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误； B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确； C、主视图是矩形，俯视图均为圆，故C选项错误； D、主视图为梯形，俯视图为矩形，故D选项错误. 故选：B. 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式高超音速战斗机，此类战机速度预计可以突破马赫，飞行一小时的距离约为米，将数据用科学记数法表示时，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．需根据科学记数法的形式（其中，为整数）确定和的值即可求解． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数， ∵将22100000转换为时，，小数点向左移动了位， ∴， ∴． 故选：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂的乘法及除法，积的乘方，利用完全平方公式，同底数幂乘法及除法，积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意； B、，则B符合题意； C、，则C不符合题意； D、，则D不符合题意． 5. 不等式的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解不等式以及在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式的方法以及数轴表示不等式的解集是解题的关键． 先得出不等式的解集，再观察各选项的表示是否满足不等式解集即可． 【详解】解：不等式，解得， A、解集为，不满足题意要求； B、解集为，满足题意要求； C、解集为，不满足题意要求； D、解集为，不满足题意要求； 故选B． 6. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是立方根的含义，零次幂的含义，先计算立方根，零次幂，再合并即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 以正六边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转__°． 【答案】60 【解析】 【分析】以正六边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，即是旋转角，，要使新正六边形的顶点落在直线上，则为． 【详解】解：∵多边形是正六边形， ∴它的一个外角， ∴， 要使新正六边形的顶点落在直线上， 则至少为， 即正六边形至少旋转． 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形的性质和旋转的性质，熟悉旋转的性质：对应边的夹角等于旋转角，是解题关键． 10. 古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，然后即可写出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 11. 如图，点A、B、C均在上，直径，，则图中阴影部分的面积为______  ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和扇形面积公式；解题的关键是利用圆周角定理将已知的圆周角转换为圆心角，再代入扇形面积公式计算；先根据为公共弧，得，再根据扇形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 为公共弧，直径，， ∴，半径， ∴ 故答案为． 三、解答题（本题共11题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减化简求值，根据分式的加减运算法则先进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 13. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 【答案】A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，准确理解等量关系是解题的关键．设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组即可得到答案． 【详解】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得： 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元． 14. 如图，在中，点在边上，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接、．求证：． 【答案】 证明：由题意可得：AE=FC， 在平行四边形ABCD中，AB=DC，∠A=∠C， 在△ABE和△CDF中，， 所以，△ABE≌△CDF（SAS）． 【解析】 【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 15. 2025年3月14日(国际圆周率日)发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，：“圆周率”、：“勾股定理”、：“欧拉公式”、：“莫比乌斯环带”．(邮票背面完全相同)．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽取一张，则抽取的邮票刚好是的概率是________； （2）从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽取的邮票刚好是的结果有种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两张邮票恰好是和的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取的邮票刚好是A的结果有1种， ∴抽取的邮票刚好是的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是和的结果有：，，共2种， ∴抽到的两张邮票恰好是和的概率为． 16. 图①，图②，图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段的端点A和B均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图． （1）在图①中，以为边画一个三角形，且有一边长为5，点C为格点． （2）在图②中，以为边画一个面积为3的等腰三角形，点D为格点． （3）在图③中，以为边画一个面积为5的等腰直角三角形，点E为格点． 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形， ； ； （2） 即为所求作的等腰三角形； （3） 为所求作的三角形； 【解析】 【分析】本题主要考查了在网格中画三角形，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握格点特点． （1）根据勾股定理构造三角形，作的一条边为5即可； （2）以为腰作一个等腰三角形即可； （3）作一个以为腰的等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ． ，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ． 17. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图； ； （2）； （3） ∵甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，， ∴甲基地水体的值更稳定； （4） 甲基地对水体值的日变化量：， 乙基地对水体值的日变化量：， ∴该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了直方图与统计表，中位数及众数，方差等知识点． （1）先求得a的值，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数及众数的定义求解即可； （3）根据方差的意义求解即可； （4）计算值最大值与最小值的差即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 【小问2详解】 解：甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多， 则； 乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81： 则； 故答案为：；； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 18. 小明在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境让细菌长不动，繁殖慢，代谢停”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，小明想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家中做了一个实验：小明将新鲜的蔬菜置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数，得到的数据记录如下： 实验天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数： 20 25 30 35 … （1）如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数，将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线．观察上述各点的分布规律，请判断菌落总数是试验天数的 函数（一次、反比例、二次） （2）求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式； （3）小明查阅资料发现，当蔬菜上的菌落总数达到时就不能食用，请通过计算说明第几天后冰箱里的蔬菜变质了． 【答案】（1）一次 （2） （3）第7天 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据描点，连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所求可得该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可； （3）求出函数值为50时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由函数图象可知，该函数符合一次函数的特点， 设， 则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而增大， ∵蔬菜上的菌落总数达到时就不能食用， ∴， ∴， ∴， 答：第7天冰箱里的蔬菜变质了． 19. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形，四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：校徽的高度为． 20. 如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时点从点出发，以相同的速度沿折线向终点运动，连接，过点作的平行线，并截取，且点在点的右侧，以、为邻边作，设与菱形重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点N与点B重合时，x的值为______； （2）求的长（用含x的代数式表示）； （3）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当点与点重合时，可知，可证是等边三角形，则，即可得出答案； （2）当，由（1）知，当时，可知是等边三角形，分别求的长； （3）当时，可知等于四边形的面积；当时，设与的交点为，，当时，由图2可知，分别代入计算即可． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，可知， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 当，由（1）知， 当时，可知是等边三角形， ， ； 【小问3详解】 当时，可知等于四边形的面积， ， 当时，设与的交点为， 由题意知：，为等边三角形， ， 当时，由图2可知， 综上， 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的面积计算等知识，根据点的位置运用分类讨论思想是解题的关键． 21. 【教材呈现】下图是华师版九上数学校材第103页的部分内容． 已知：如图24.2.2，在中，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结． 【定理证明】根据教材提示，结合图①，写出完整演绎推理过程． 【结论应用】如图②，在直角三角形纸片中，，点是斜边的中点，连结．将沿折叠，使点落在点处，此时恰好有．若，则长为______． 【拓展应用】 如图③，在和中，，点为边上一点，连结，若点分别为的中点．当时，的长为______． 【答案】定理证明： 证明：延长到E，使，连接，则，     ∵是斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴； 结论应用：； 拓展应用：2 【解析】 【分析】定理证明：证明四边形为矩形，利用矩形的性质，即可得证； 结论应用：设交于点O，根据斜边上的中线的性质和折叠的性质，求出，进而得到，证明为等腰三角形，得到，即可得出结果； 拓展应用：根据题意可证，，， 得到，，则，连接，结合斜边上的中线的性质的，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：定理证明：略 结论应用：如图中，设交于点O． ∵， ∴， ∴， 由翻折的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 拓展应用：∵，，，， 则，， ∴，， ∴， ∴，，则， 连接， ∵点分别为的中点， ∴，， ∴， 则， 故答案为：2． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，直线三角形斜边上的中线，等腰三角判定和性质，勾股定理，解直角三角形．准确的添加辅助线，是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点是该抛物线上的点，横坐标为，点的坐标．连结． （1）求该抛物线对应的函数表达式： （2）当线段平行于轴时，求线段的长： （3）当线段不与坐标轴平行时，以线段为对角线作矩形．且轴： ①若矩形被抛物线对称轴分成两部分，求的值； ②当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）①或；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，解一元二次方程，理解题意，作出相应图象，结合图象求解是解题关键． （1）直接利用待定系数法代入求解即可； （2）根据题意得出点的纵坐标为，得出方程求解即可； （3）①设与直线交于点D，根据题意可得，再由矩形被抛物线对称轴分成两部分，可得或，求解即可；②根据题意得出抛物线与坐标轴的两个交点分别为，点Q在直线，且直线与x轴交于点， 然后分两种情况，结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点是该抛物线上的点，横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵线段平行于轴时， ∴， 解得：， 当时，， 当时，， ∴线段的长为或； 【小问3详解】 解：①如图所示，设与直线交于点D， ∵点的坐标， ∴点M的横坐标为， ∵点是该抛物线上的点，横坐标为， ∴， ∵矩形被抛物线对称轴分成两部分， ∴或， ∴或， 解得：或或或， 当或时，点P、Q位于对称轴的同侧，不符合题意； 综上可得：或； ②由①得对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时， 解得：， 抛物线与坐标轴的两个交点分别为， ∵点的坐标， ∴点Q在直线上，且直线与x轴交于点， 当点P在点Q左侧，如图， 此时， 解得：； 当点P在点Q右侧时，如图： 此时， 解得：； 综上可得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $