7.3 万有引力理论的成就 导学案 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

高中物理人教版必修第二册 第七章《万有引力与宇宙航行》 第3节 万有引力理论的成就 导学案 课题 第3节 万有引力理论的成就 学习目标 1.理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。 3.理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。 4.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。 学习重难点 1.处理星体绕中心天体做圆周运动的基本思路。 2.利用万有引力定律计算天体的质量和密度。 课前预习 一、“称量”地球的质量 1.思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体所受的重力等于地球对物体的引力。 2.关系式： 。 3.结果： ，只要知道 、 、 的值，就可计算出地球的质量。 二、计算天体的质量 1.太阳质量的计算 （1）依据：设 是太阳的质量， 是行星与太阳之间的距离，质量为 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力，可得 。 （2）结论： ，只要知道行星绕太阳运动的周期 和它与太阳的距离 就可以计算出太阳的质量。 2.行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算行星的质量。 三、发现未知天体 预言哈雷彗星回归 1.“笔尖下发现的行星”是指海王星。 2.海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。 学习活动设计 探究一 天体质量的计算 问题探究 假设地球绕太阳做匀速圆周运动，如果知道引力常量 、地球绕太阳运动的周期 和轨道半径 ，可以计算出地球的质量吗？ ［提示］ 不可以。 1. “自力更生法”： 若已知天体（如地球）的半径 和表面的重力加速度 ，根据物体所受的重力近似等于天体对物体的引力，得 ，解得天体质量 。因 、 是天体自身的参量，故称“自力更生法”。 2. “借助外援法”： 借助绕中心天体（如地球）做圆周运动的行星或卫星的运动周期 和轨道半径 计算中心天体的质量，依据是万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。 常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 为行星或卫星的轨道半径， 、 、 为行星或卫星的线速度、角速度和周期 [典例1]“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127 min。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为(　　) A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg D　[“嫦娥一号”靠月球对它的万有引力提供向心力，所以有＝m(R＋h)，代入数据得M≈7.4×1022 kg。] 探究二 天体密度的计算 （1）利用天体表面的重力加速度求天体密度，由 和 ，得 。 （2）利用天体的卫星求天体密度 若已知中心天体的半径 ，环绕天体的卫星的运转周期 ，轨道半径 ，则可得 ，中心天体质量 ，联立可得 。 当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径 可认为等于天体半径 ，则 。 [典例2]若地球质量为月球质量的81倍，地球表面重力加速度为月球表面重力加速度的6倍．则地球和月球的密度之比为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　根据G＝mg，解得R＝，可得＝＝＝ ρ＝＝＝，可得＝·＝6×＝，故选D. 探究三 天体运动的分析与计算 1．一个模型 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动。 2．两条思路 (1)万有引力提供向心力：G＝ma向＝m＝mω2r＝mr。 (2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体的重力：mg＝G，得gR2＝Gm天，这表明gR2与Gm天可以相互替代。该公式通常被称为黄金代换式。 3．四个重要结论 设质量为m的行星或卫星绕另一质量为m天的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 (1)由G＝m得v＝，r越大，v越小。 (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。 (3)由G＝mr得T＝2π，r越大，T越大。 (4)由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小。 [典例3] 某航天员在飞船起飞前测得自身连同航天服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a＝的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1 220 N。已知地球半径R＝6 400 km。地球表面重力加速度g取10 m/s2(求解过程中可能用到＝1.03，＝1.02)。问： (1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？ (2)该位置距地球表面的高度h为多大？ (3)地球的平均密度是多少？ [解析]　(1)飞船起飞前，对航天员受力分析有G＝mg，得m＝84 kg。 在h高度处对航天员受力分析，应用牛顿第二定律有F－mg′＝ma，得＝。 (2)根据万有引力公式可知，在地面处有＝mg。 在h高度处有＝mg′。 解以上两式得h＝0.02R＝128 km。 (3)根据＝mg可得，地球质量M＝ 地球的密度ρ＝＝ 代入数据得ρ＝5.6×103 kg/m3。 [答案]　(1)倍　(2)128 km (3)5.6×103 kg/m3 课前训练 1.2020年11月24日，我国嫦娥五号探测器成功发射，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，g表示探测器所受地球引力产生的加速度，g随h的变化关系如图所示，将地球看成质量均匀分布的球体，当h＝3R(R是地球的半径)时g为(　　) A． g0 B. C. D. 2.2021年4月29日，天和核心舱的成功发射标志着中国空间站建设拉开了帷幕．若空间站质量为m，空间站距地面高度为h，地球半径为R，引力常量为G.地球表面重力加速度为g，求： (1)空间站受到地球引力的大小； (2)空间站环绕地球运行的周期； (3)空间站环绕地球运行的向心加速度大小． 3. 航天员在地球表面以一定初速度竖直向上抛出一小球，经过时间 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 小球落回原处。（地球表面重力加速度 取 ，空气阻力不计） （1） 求该星球表面附近的重力加速度 。 （2） 已知该星球的半径与地球半径之比为 ，求该星球的质量与地球质量之比 。 课前训练答案 1.答案　D 解析　由题图可知，探测器在地面上时，满足mg0＝G，当h＝3R时有mg＝G，联立可得g＝，故选D. 2.答案　(1)　(2)2π (3) 解析　(1)空间站受到地球引力的大小为F＝， 又因g＝，所以F＝ (2)由万有引力提供向心力得＝m； 解得T＝2π，又因g＝，代入上式得T＝2π (3)由万有引力提供向心力得＝ma，解得a＝， 又因g＝，代入上式得：a＝. 3.[1] [解析]根据匀变速直线运动规律 得从竖直上抛到最高点，上升的时间 上升和下降的时间相等，所以从上抛到落回原处 由于在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，小球落回原处的时间为 。 根据匀变速直线运动规律得 故星球表面附近的重力加速度 。 [2] [解析]根据万有引力等于重力得 ， 所以 。 学科网（北京）股份有限公司 $