2.1 认识实数 讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦“认识实数”核心知识点，系统梳理无理数的定义与判断、实数的分类、性质（绝对值、倒数）、与数轴的对应关系及大小比较，构建从有理数到无理数再到实数的数系扩展脉络，形成知识学习支架。 资料以题型化设计为特色，每个题型含解题知识、典例及变式练习，通过具体实例培养抽象能力与几何直观（数学眼光），递进式练习提升推理能力（数学思维），综合题用数学语言解决实际问题（数学语言），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第2章 2.1 认识实数 内 容 导 航 题型1 无理数 题型2 实数 题型3 实数的性质 题型4 实数与数轴 题型5 实数大小比较 考 点 演 练 题型1 无理数 解｜题｜知｜识 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【典例1】，，0，，，，，3.1415926，，中，无理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：，是分数，0，是整数，，3.1415926是有限小数，是无限循环小数，它们不是无理数， ，，是无限不循环小数，它们是无理数，共3个． 故选：B． 【变式1】下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．4，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是无理数，故本选项符合题意； C．2，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．0.101001 D． 【答案】D 【解答】解：A．，是整数，不是无理数，不符合题意； B．是分数，不是无理数，不符合题意； C．0.101001是有限小数，不是无理数，不符合题意； D．是无理数，符合题意， 故选：D． 【变式3】在﹣π，，0，，5.，﹣2.3434434443…（相邻两个3之间4的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【解答】解：是分数，0是整数，5.是无限循环小数，它们不是无理数， ﹣π，，﹣2.3434434443…（相邻两个3之间4的个数逐次加1）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：A． 题型2 实数 解｜题｜知｜识 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 【典例1】下列说法中正确的有（　　） ①0.1是0.01的算术平方根； ②的算术平方根是9； ③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1； ④有理数与数轴上的点一一对应． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【解答】解：①∵0.12＝0.01， ∴0.1是0.01的算术平方根， 故①正确； ②∵， ∴9的算术平方根是3， 故②错误； ③∵设这个数为a，，则a3＝a，a3﹣a＝0，a（a﹣1）（a+1）＝0， ∴a＝0，1或﹣1， ∴一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1或﹣1； 故③错误； ④实数与数轴上的点一一对应，故④错误； 所以，上列说法中正确的只有①，共1个． 故选：D． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±4 B．无理数就是开方开不尽的数 C．互为相反数的立方根还是互为相反数 D．实数包括有理数、无理数和零 【答案】C 【解答】解：A.，4的平方根是±2，故本选项错误； B．无理数是无限不循环小数，开方开不尽的数只是无理数的一部分（如π是无理数但不是开方所得），故本选项错误； C．设a为实数，则﹣a是a的相反数，，即它们的立方根互为相反数，故本选项正确； D．实数包括有理数和无理数，零是有理数的一部分，故本选项错误． 故选：C． 【变式2】下列说法错误的有（　　）个． ①9的平方根是3； ②﹣3是9的平方根； ③是分数； ④无理数都是无限小数； ⑤（﹣0.1）2的平方根是±0.1； ⑥平方根等于本身的数是0和1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①选项：9的平方根是±3，所以错误； ②选项：正确； ③是无理数，所以是无理数，所以错误； ④选项：正确； ⑤选项：正确； ⑥选项：1的平方根是±1，所以错误； 故选：C． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．（）0是无理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是有理数 【答案】D 【解答】解：A、（）0＝1是有理数，故本选项错误， B、是无理数，故本选项错误， C、2是有理数，故本选项错误， D、2是有理数，故本选项正确． 故选：D． 题型3 实数的性质 解｜题｜知｜识 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数。 【典例1】下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与 D．2与|﹣2| 【答案】A 【解答】解：A、2，﹣2与是互为相反数，故本选项正确； B、2，﹣2与相等，不是互为相反数，故本选项错误； C、﹣2与是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误； D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误． 故选：A． 【变式1】的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：的倒数是， 故选：D． 【变式2】的相反数是 　　 ． 【答案】 【解答】解：的相反数是， 故答案为：． 【变式3】的倒数是　　 ；的相反数是　　 ，绝对值是　　 ． 【答案】；； 【解答】解：的倒数是；的相反数是，绝对值是， 故答案为：，，． 题型4 实数与数轴 解｜题｜知｜识 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】如图，MA＝MB，在数轴上点A表示的数为m，则m的值是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【解答】解：如图所示：点N表示的数为﹣3，点M表示的数为﹣1，∠MNB＝90°， ∴MN＝|﹣1﹣（﹣3）|＝|﹣1+3|＝2， ∴， ∴， ∴， ， ， 或 （不合题意，舍去）， 故选：B． 【变式1】实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|的结果是（　　） A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b 【答案】C 【解答】解：根据题意得：a＜b＜0， ∴a﹣b＜0， ∴|a﹣b||a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b． 故选：C． 【变式2】如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（　　） A．﹣π B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．∵﹣4＜π＜﹣3，数轴上覆盖的数是小于4大于3，∴被覆盖的数不可能是﹣π，故此选项不符合题意； B．∵，数轴上覆盖的数是小于4大于3，∴被覆盖的数不可能是，故此选项不符合题意； C．∵，数轴上覆盖的数是小于4大于3，∴被覆盖的数可能是，故此选项符合题意； D．∵，数轴上覆盖的数是小于4大于3，∴被覆盖的数不可能是，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　） A．1 B．1 C．1 D． 【答案】A 【解答】解：正方形ABCD的边长为：， ∴点E所表示的数为：﹣1， 故选：A． 题型5 实数大小比较 解｜题｜知｜识 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【解答】解：从数轴上看，离原点距离最近的点是实数c对应的点， 那么这四个实数中绝对值最小的是c， 故选：C． 【变式1】下列各组数的比较中错误的是（　　） A．2 B． C．1.7 D．π＞3.14 【答案】B 【解答】解：A、根据大小的比较法则可知，的绝对值大于﹣2的绝对值，所以2，故选项正确； B、由可推出2，而实质上2，故选项错误； C、因为，所以1.7，故选项正确； D、因为π≈3.1415，所以π＞3.14，故选项正确． 故选：B． 【变式2】已知a，b，c，则下列大小关系正确的是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【答案】A 【解答】解：∵a，b，c，且， ∴，即a＞b＞c， 故选：A． 【变式3】比较大小：　＞　 3． 【答案】＞ 【解答】解：∵3，， ∴3， 故答案为：＞． 过 关 验 收 1．在实数（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，﹣3，，中，无理数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：是分数，﹣3，2是整数，它们不是无理数， 0.01010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：C． 2．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　） A． B． C． D．π 【答案】B 【解答】解：根据题意，设点P表示的数为p， 则1＜p＜2， ∵1， ∴这个无理数是． 故选：B． 3．以下实数属于无理数的是　②⑤⑨　 （填序号）． ①﹣7，②，③0，④3.1415926，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 【答案】②⑤⑨． 【解答】解：①﹣7是整数，属于有理数； ②是无理数； ③0是整数，属于有理数， ④3.1415926是有限小数，属于有理数； ⑤是无理数； ⑥是分数，属于有理数； ⑦4，是整数，属于有理数； ⑧，是分数，是有理数； ⑨是无理数； 故答案为：②⑤⑨． 4．已知一个正数的平方根是2a﹣4与﹣3﹣a． （1）求a的值和这个正数； （2）求3a+4的平方根． 【答案】（1）a＝7；100； （2）±5． 【解答】解：（1）由题意可得2a﹣4+（﹣3﹣a）＝0， 则a＝7， ∴2×7﹣4＝10， ∴102＝100， 答：a的值为7，这个正数为100． （2）∵a＝7， ∴3a+4＝3×7+4＝25， ∵25的平方根为±5， ∴3a+4的平方根为±5， 答：3a+4的平方根为±5． 5．把下列各数填入相应的集合内： ，﹣0.5，0，，3.1415，，0.030030001，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． （1）有理数集合：{　，﹣0.5，0，3.1415，，0.030030001　 …}． （2）无理数集合：{　，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）　 …}． （3）正实数集合：{　，3.1415，0.030030001，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）　 …}． （4）负实数集合：{　﹣0.5，，　 …}． （5）整数集合：{　0　 …}． （6）分数集合：{　，﹣0.5，3.1415，，0.030030001　 …}． 【答案】（1），﹣0.5，0，3.1415，，0.030030001； （2），0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）； （3），3.1415，0.030030001，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）； （4）﹣0.5，，； （5）0； （6），﹣0.5，3.1415，，0.030030001． 【解答】解：（1）有理数集合：{，﹣0.5，0，3.1415，，0.030030001…}， 故答案为：，﹣0.5，0，3.1415，，0.030030001； （2）无理数集合：{，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）…}， 故答案为：，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）； （3）正实数集合：{，3.1415，0.030030001，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）…}， 故答案为：，3.1415，0.030030001，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）； （4）负实数集合：{﹣0.5，，}， 故答案为：﹣0.5，，； （5）整数集合：{0…}， 故答案为：0； （6）分数集合：{，﹣0.5，3.1415，，0.030030001…}， 故答案为：，﹣0.5，3.1415，，0.030030001． 6．|2|＝　2　 ． 【答案】2 【解答】解：|2|＝2． 故答案为：2． 7．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点A是BC的中点，则点C所表示的数为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解答】解：设点C表示的数是x， ∵数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，点A是BC的中点， ∴1，解得x＝2． 故选：D． 8．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．a+b＞0 C．|a|＜|b| D．a+1＜b+1 【答案】D 【解答】解：A选项，∵a＜0，b＞0， ∴ab＜0，故该选项不符合题意； B选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，故该选项不符合题意； C选项，|a|＞|b|，故该选项不符合题意； D选项，∵a＜b， ∴a+1＜b+1，故该选项符合题意； 故选：D． 9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，C位于数轴的原点处，则D在数轴上代表的数是　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接AD， 则AD＝AB＝3， 在Rt△ADE中，由勾股定理得： ， ∴， ∴点D在数轴上代表的数为， 故答案为：． 10．如图甲，是由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，总体积为216cm3．图甲中ABCD是一个正方形，把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数﹣1重合，则点B在数轴上表示的数为 　31　 ；第1次旋转以点B为中心，将正方形ABCD按照顺时针方向旋转90°，则点C落在数轴上；第2次旋转继续以点C为中心，将正方形ABCD按照顺时针方向旋转90°…如此下去，将正方形ABCD第2022次旋转，该点落在数轴上表示的数为 　60691　 ． 【答案】31，60691． 【解答】解：∵6（cm）， ∴魔方的棱长为6cm， ∴小立方体的棱长为2cm， 所以阴影部分的面积为6×6＝18， 即边长AB为3， ∴点B在数轴上表示的数为31． 第1次旋转以点B为中心，将正方形ABCD按照顺时针方向旋转90°， 则点C落在数轴上，点C表示的数是31+361， 第2次旋转后落在数轴上的点表示的数是31＝91， 第3次旋转后落在数轴上的点表示的数是34﹣1＝121， …， 所以将正方形ABCD第2022次旋转，该点落在数轴上表示的数为32023﹣1＝60691． 故答案为：31，60691． 11．数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： （1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 　　 dm； （2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为 　1　 ，　1　 ； （3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为 　　 ； （4）若，求代数式|a+2|+|b|的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上表示对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】（1）； （2）1，1； （3）； （4）1， 【解答】解：（1）边长为1dm的小正方形的对角线长为（dm）， 故答案为：； （2）由题意得，点A所表示的数为1，点B所表示的数为1， 故答案为：1，1； （3）由题意可知，正方形的面积为5，因此边长为， 故答案为：； （4）∵a＝﹣3，b， ∴|a+2|+|b|＝|﹣32|+|| ＝|1|+|| 1 1， 在数轴表示1如图所示： 12．如图，已知实数，﹣1，，4，其在数轴上所对应的点分别为点B，A，D，C． （1）点C与点D之间的距离为 　4　 ； （2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值． 【答案】（1）4； （2）﹣5． 【解答】解：∵（1）数轴上点C，D表示的数分别为4和， ∴点C与点D之间的距离为4； 故答案为：4； （2）∵数轴上点A，B表示的数分别为﹣1和， ∴点A与点B之间距离a＝|﹣1|， 由（1）可知b＝4， ∴a﹣b ＝（）﹣（4） 1﹣4 ＝﹣5+2． 答：a﹣b的值为﹣5+2． 13．比较大小： 　＜　 ． 【答案】＜ 【解答】解：∵ 1， ∵1＜3＜4， ∴12， ∴1， ∴1＜0， ∴． 故答案为：＜． 14．为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上且CD＝3，AC＝1．通过计算可得 　＜　 ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】＜． 【解答】解：∵∠C＝90°，CD＝3，BC＝4，AC＝1， ∴BD＝1，AD，AB， ∴BD+AD1， 又∵△ABD中，AD+BD＞AB， ∴1， 故答案为：＜． 15．已知，（a≥0，b≥0）． （1）计算：当a＝0，b＝1时，A＝ 　1　 ，B＝ 　1　 ； 当a＝1，b＝1时，A＝ 　2　 ，B＝ 　　 ； 当a＝4，b＝12时，A＝ 　2　 ，B＝ 　4　 ； （2）猜想：无论a，b为任何非负数时，A　＞或═　 B始终成立（填“＞”，“＜”，“＞”，“＜”或“＝”）； （3）请说明（2）中猜想的合理性． 【答案】（1）1，1； 2，； 2+2，4； （2）＞或＝； （3）A≥B． 【解答】解：（1）当a＝0，b＝1时，； 当a＝1，b＝1时，； 当a＝4，b＝12时，； 故答案为：1，1； 2，； 2+2，4； （2）猜想：无论a，b为任何非负数时，A≥B始终成立， 故答案为：＞或＝； （3）∵a≥0，b≥0， ∴0，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即A≥B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 2.1 认识实数 内 容 导 航 题型1 无理数 题型2 实数 题型3 实数的性质 题型4 实数与数轴 题型5 实数大小比较 考 点 演 练 题型1 无理数 解｜题｜知｜识 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【典例1】，，0，，，，，3.1415926，，中，无理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．0.101001 D． 【变式3】在﹣π，，0，，5.，﹣2.3434434443…（相邻两个3之间4的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型2 实数 解｜题｜知｜识 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 【典例1】下列说法中正确的有（　　） ①0.1是0.01的算术平方根； ②的算术平方根是9； ③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1； ④有理数与数轴上的点一一对应． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±4 B．无理数就是开方开不尽的数 C．互为相反数的立方根还是互为相反数 D．实数包括有理数、无理数和零 【变式2】下列说法错误的有（　　）个． ①9的平方根是3； ②﹣3是9的平方根； ③是分数； ④无理数都是无限小数； ⑤（﹣0.1）2的平方根是±0.1； ⑥平方根等于本身的数是0和1． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．（）0是无理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是有理数 题型3 实数的性质 解｜题｜知｜识 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数。 【典例1】下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与 D．2与|﹣2| 【变式1】的倒数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】的相反数是 　 　 ． 【变式3】的倒数是　 ；的相反数是　 　 ，绝对值是　 　 ． 题型4 实数与数轴 解｜题｜知｜识 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】如图，MA＝MB，在数轴上点A表示的数为m，则m的值是（　　） A． B． C． D．1 【变式1】实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|的结果是（　　） A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b 【变式2】如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（　　） A．﹣π B． C． D． 【变式3】如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　） A．1 B．1 C．1 D． 题型5 实数大小比较 解｜题｜知｜识 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【变式1】下列各组数的比较中错误的是（　　） A．2 B． C．1.7 D．π＞3.14 【变式2】已知a，b，c，则下列大小关系正确的是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【变式3】比较大小：　 　 3． 过 关 验 收 1．在实数（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，﹣3，，中，无理数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　） A． B． C． D．π 3．以下实数属于无理数的是　 　 （填序号）． ①﹣7，②，③0，④3.1415926，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 4．已知一个正数的平方根是2a﹣4与﹣3﹣a． （1）求a的值和这个正数； （2）求3a+4的平方根． 5．把下列各数填入相应的集合内： ，﹣0.5，0，，3.1415，，0.030030001，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． （1）有理数集合：{　 　 …}． （2）无理数集合：{　 　 …}． （3）正实数集合：{ 　 …}． （4）负实数集合：{　 …}． （5）整数集合：{ 　 …}． （6）分数集合：{ …}． 6．|2|＝ ． 7．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点A是BC的中点，则点C所表示的数为（　　） A． B．1 C． D．2 8．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．a+b＞0 C．|a|＜|b| D．a+1＜b+1 9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，C位于数轴的原点处，则D在数轴上代表的数是 　 ． 10．如图甲，是由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，总体积为216cm3．图甲中ABCD是一个正方形，把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数﹣1重合，则点B在数轴上表示的数为 　 ；第1次旋转以点B为中心，将正方形ABCD按照顺时针方向旋转90°，则点C落在数轴上；第2次旋转继续以点C为中心，将正方形ABCD按照顺时针方向旋转90°…如此下去，将正方形ABCD第2022次旋转，该点落在数轴上表示的数为 　 ． 11．数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： （1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 　 　 dm； （2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为 　 ，　 　 ； （3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为 　 　 ； （4）若，求代数式|a+2|+|b|的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上表示对应的点．（保留作图痕迹） 12．如图，已知实数，﹣1，，4，其在数轴上所对应的点分别为点B，A，D，C． （1）点C与点D之间的距离为 　 ； （2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值． 13．比较大小： 　 　 ． 14．为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上且CD＝3，AC＝1．通过计算可得 　 　 ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 15．已知，（a≥0，b≥0）． （1）计算：当a＝0，b＝1时，A＝ 　 　 ，B＝ 　 ； 当a＝1，b＝1时，A＝ 　 　 ，B＝ 　 ； 当a＝4，b＝12时，A＝ 　 ，B＝ 　 　 ； （2）猜想：无论a，b为任何非负数时，A　 　 B始终成立（填“＞”，“＜”，“＞”，“＜”或“＝”）； （3）请说明（2）中猜想的合理性． 学科网（北京）股份有限公司 $