精品解析：2026年广西壮族自治区河池市都安瑶族自治县一模数学试题

2026年初中学业水平模拟测试（一） 数学 一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2的绝对值是（　　） A. ﹣2 B. C. 2 D. ±2 2. 下列传统纹样中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年3月12日是我国第46个植树节，昆明市计划实施全民义务植树11500000株．数据11500000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 壮族“三月三”民族文化活动中，学校设置了“碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，小宁随机抽取一项参加，则抽中“抛绣球”的概率是（ ） A B. C. D. 6. 如图，直线被直线所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 11. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A B. C. D. 12. 如图，在正方形中，E是边的中点，P是边上的动点（不与点A，B重合），以E为中心，将线段逆时针旋转，得到线段．给出下面四个结论： ①； ②； ③D，Q两点间距离的最小值大于C，Q两点间距离的最小值； ④点Q到直线，的距离相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 14. 甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差，乙运动员训练成绩的方差，你认为应该选择______参加比赛．（填甲或者乙） 15. 直线（为常数）不经过第二象限，则值可以是______．（写一个即可） 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，除注明直接写出答案外．） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 如图，，．求证：． 19. 为了贯彻教育部《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，全面提高学生的核心素养，某校举办了体育节活动（活动包括多个项目的比赛）．活动中，全校共有20个团队报名参加了创意运动大赛，大赛内容共有三项：花样跳绳、酷炫球技、艺术体操，每个项目的比赛均由5位评委打分（满分100分）．5位评委的平均分作为该项目比赛的单项成绩，三项比赛完成后、将花样跳绳、酷炫球技、艺术体操三项比赛的单项成绩按的比例计算每个团队比赛的总评成绩．甲、乙两个团队的三项单项成绩和总评成绩如表，这20个团队的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如下： 团队 单项成绩分 总评成绩分 花样跳绳 酷炫球技 艺术体操 甲 81 70 79 乙 86 75 （1）在酷炫球技比赛中，5位评委给乙团队打出的分数为：83，78，79，85，80．请你计算乙团队的总评成绩； （2）如果总评成绩排在前12名的团队将进入决赛，试分析甲、乙两团队能否进入决赛，并说明理由． 20. 如图，中，． （1）求作，使得圆心O在边上且经过A，C两点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若的半径为2，与相交于点D．扇形的面积为，请判断与的位置关系，并说明理由． 21. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线l于点B，D，分米，．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，分米，一件连衣裙挂在点E处（点M与点E重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：，，） 23. 阅读与思考 倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”． 【探究对象】倍角三角形的性质 【探究思路】从特殊到一般 【性质发现】 在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边． 如图1，当，时，，________ 若，时，________，________． 【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________． 【证明猜想】如图3，延长到点，使， …… 任务1：请将“________”的内容补充完整； 任务2：结合图3，完成“证明猜想”； 【综合应用】任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题： 如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟测试（一） 数学 一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2的绝对值是（　　） A. ﹣2 B. C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：2的绝对值就是在数轴上表示2的点到原点的距离，即|2|=2， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 2. 下列传统纹样中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】A、 ，不是中心对称图形； B、 ，是中心对称图形； C、 ，不是中心对称图形； D、 ，不是中心对称图形． 故选：B． 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主视图是从几何体正面观察得到的平面图形．从正面观察给定几何体，分析可见的轮廓线，确定能看到的线条组合． 【详解】解：结合题意得，该几何体主视图应由一个梯形和一个长方形组合而成，选项符合题意． 4. 2024年3月12日是我国第46个植树节，昆明市计划实施全民义务植树11500000株．数据11500000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键． 用科学记数法表示较大数时的形式为 ，其中 ，为正整数，确定的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是的数字后面即可，确定的值时，比这个数的整数位数小，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 5. 壮族“三月三”民族文化活动中，学校设置了“碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，小宁随机抽取一项参加，则抽中“抛绣球”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查概率，概率所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是解题的关键，根据概率公式解答． 【详解】解：从“碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，小宁随机抽取一项参加，则抽中“抛绣球”的概率是， 故选：B． 6. 如图，直线被直线所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘法、积的乘方、同底数幂的乘除法、完全平方公式、幂的乘方等知识点，需逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：A、∵，∴A错误． B、∵，∴B错误． C、∵，∴C错误． D、∵，∴D正确． 故选：D． 9. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 10. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 11. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 12. 如图，在正方形中，E是边的中点，P是边上的动点（不与点A，B重合），以E为中心，将线段逆时针旋转，得到线段．给出下面四个结论： ①； ②； ③D，Q两点间距离的最小值大于C，Q两点间距离的最小值； ④点Q到直线，的距离相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，分别取、的中点、，连接、、、，先证明四边形是矩形， 、、都是等腰直角三角形，再结合旋转证明，得到，即，则点在直线上运动，据此逐个结论判断即可． 【详解】解：分别取、的中点、，连接、、、， ∵正方形， ∴，，，， ∵E是边的中点，、的中点、， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴，， ∴，， ∵以E为中心，将线段逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ①∵， ∴，故①说法正确； ②当在右边时，如图， 此时，， ∴，故②说法错误； ③∵点在直线上运动， ∴当在点时，D，Q两点间距离取最小值，C，Q两点间距离取最小值，而，即D，Q两点间距离的最小值等于C，Q两点间距离的最小值；故③说法错误； ④∵点在直线上运动，， ∴点Q到直线，的距离相等；故④说法正确； 综上所述，所有正确结论的序号是①④， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差，乙运动员训练成绩的方差，你认为应该选择______参加比赛．（填甲或者乙） 【答案】乙 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，根据平均数相同时方差越小的成绩越稳定即可解答，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵他们射击训练成绩的平均数相同，，， ∴， ∴应该选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 15. 直线（为常数）不经过第二象限，则的值可以是______．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象可知即可，解题的关键是正确理解一次函数（为常数，）是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 【详解】解：∵直线（为常数）不经过第二象限， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，除注明直接写出答案外．） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 18. 如图，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 19. 为了贯彻教育部《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，全面提高学生的核心素养，某校举办了体育节活动（活动包括多个项目的比赛）．活动中，全校共有20个团队报名参加了创意运动大赛，大赛内容共有三项：花样跳绳、酷炫球技、艺术体操，每个项目的比赛均由5位评委打分（满分100分）．5位评委的平均分作为该项目比赛的单项成绩，三项比赛完成后、将花样跳绳、酷炫球技、艺术体操三项比赛的单项成绩按的比例计算每个团队比赛的总评成绩．甲、乙两个团队的三项单项成绩和总评成绩如表，这20个团队的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如下： 团队 单项成绩分 总评成绩分 花样跳绳 酷炫球技 艺术体操 甲 81 70 79 乙 86 75 （1）在酷炫球技比赛中，5位评委给乙团队打出的分数为：83，78，79，85，80．请你计算乙团队的总评成绩； （2）如果总评成绩排在前12名的团队将进入决赛，试分析甲、乙两团队能否进入决赛，并说明理由． 【答案】（1）乙团队的总评成绩为80.6分 （2）不能判断甲团队能否入选，但可以判断乙团队一定能入选，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，加权平均数等知识，理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）利用平均数公式及加权平均数公式进行求解即可； （2）先求出甲的总评成绩，再结合分布直方图进行判断即可得． 【小问1详解】 解：（分） （分） 答：乙团队的总评成绩为80.6分 【小问2详解】 解：不能判断甲团队能否入选，但可以判断乙团队一定能入选，理由如下： 甲团队总评成绩为（分） 由20个总评成绩频数分布直方图，可知大于等于80分的有10人，同时，总评成绩前12名能进决赛，甲团队得分小于80，乙团队得分大于80， 所以不能判断甲团队能否入选，但可以判断乙团队一定能入选． 20. 如图，中，． （1）求作，使得圆心O在边上且经过A，C两点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若的半径为2，与相交于点D．扇形的面积为，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）与相切，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，直线与圆的位置关系． （1）作的垂直平分线交于点O，再以为圆心作即可； （2）连接，设，先根据扇形的面积为求出，即，则，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，则，于是可得到，然后根据切线的判定定理可判断与相切． 【小问1详解】 解：如图，为所求作； 【小问2详解】 解：与相切，理由如下： 如图，连接，设， ∵扇形面积为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴与相切． 21. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 22. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线l于点B，D，分米，．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，分米，一件连衣裙挂在点E处（点M与点E重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】（1）该连衣裙的长度为14分米 （2）该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再证明四边形是矩形，得到，即可得到答案； （2）过M作于K，先求出，再求出，进而即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可知：在中，分米，分米，， ∴（分米）， ∵分米， ∴（分米）， ∵，和分别垂直地面水平线l， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（分米）， ∴该连衣裙的长度为14分米； 小问2详解】 解：如图2，过M作于K， ∵在中，分米，，， ∴（分米）， ∵分米， ∴（分米）， ∴（分米）， ∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米． 23. 阅读与思考 倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”． 【探究对象】倍角三角形的性质 【探究思路】从特殊到一般 【性质发现】 在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边． 如图1，当，时，，________ 若，时，________，________． 【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________． 【证明猜想】如图3，延长到点，使， …… 任务1：请将“________”的内容补充完整； 任务2：结合图3，完成“证明猜想”； 【综合应用】任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面问题： 如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长． 【答案】任务1：2；1，1； 任务2：见解析 任务3：5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程． 任务1：当，时，，则，根据含角的直角三角形特征计算即可；当，时，，则，根据等腰直角三角形的特征求解即可． 性质猜想：根据前面两个结论找出，，之间的数量关系即可． 任务2：接着性质证明可得得到整理即可得到； 任务3：根据前面的结论得,分情况讨论三边的大小，代入计算即可． 【详解】任务1：解：性质探究： 如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边． 当，时，，则，此时，，则，； 当，时，，则，此时，，则，． 性质猜想：，，之间的数量关系为． 故答案为：2；1，1；； 任务2：如图2，延长到点，使． ． ． ， ． 又， ． ，即． ， 即； 任务3：∵ ∴， ∵， ∴， ∴是“倍角三角形”， ∴, ∵，，的长度恰好是三个连续的正整数，易知, 当最长时，设，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， 此时,不能构成三角形舍去. 当最长最短时，设，则，， ， 解得：不是整数舍去； 当最长最短时，设，则，， ， 解得：（舍）或6， 综上所述的长为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $