4.7 锐角三角函数及其应用-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

一战成名目 x(2+2x),解得x=1 -(负值已会去)BF=2x=5-1 2 D G< AHE AHE 第16题解图② 第16题解图③ 解法三：如解图③，作BG⊥CD,EI⊥BG,DH⊥AE,G,L,H 分别为垂足.根据题意，得AD=DE=1,∴.AH=HE,AD∥ CF,.∠DAH=∠CFB.又∠DHA=∠CBF=90°， AH DH 1 △ADH∽△FCB.FBCB2AE=2AH=FB.易得四 边形DEIG为矩形，则GH=DE=1.BG⊥CD,DE1 CD,.BG∥DE,∴.∠EBI=∠DEH.又∠DHE=∠EIB= 0△EADE留器E=R+PB= EH DE AE=AF=2...BI=2HE FB...BC=BI+GI=FB+1.. ∠EBI=90°-∠CBG=∠BCG,∠EIB=∠BGC,.△EBI 参考答案与 EF-BE-BF-BE-F BC-FC- △BCG,BCBC 222-FB2 FB,BB=C=2,BG=B+12-BFB1,解得 FB=√3-1. 难 17.解：(1)11.3：【解法提示】.影长EF恰好等于自己的身高 DE,.△DEF是等腰直角三角形，由平行投影性质可 析 知，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=11.3m. (2)如题图②，由反射定律可知，∠DCE=∠ACB, 又.·∠DEC=90°=∠ABC .△DEC∽△ABC, 0能终台得=2 36 .旗杆高度为12m; (3)如题图⑥， .∠CDG=∠ADB,∠CGD=90°=∠ABD △DCG∽△DAB,÷CC.DG AB DB 设AB=xm,BD=ym,则人8_1.5 同理可得△C'D'G△ADB,:.CC_D'C AB D'B' D'B=DD'+BD=(24+y)m. 、1.22.1.2=5,解得x=28.8, 24+y 6 经检验，x=28.8是原分式方程的解，且符合题意，故AB≈ 29m, .∴.雕塑高度约为29m. 第七节锐角三角函数及其应用 1.D变式1-1102变式1-22或3 2.B【解析】如解图，延长BC交格点于E,连接AE,由题意 36 一轮章节分 可得：AE⊥BE,AE=4√3，EC=2,.an∠BCD=an∠ACE= AE45=25. EC 2 第2题解图 3.A 4.155【解析】小迎水坡AB的斜面坡度i=1:√2，BC: AC=1:√2，：BC=15m,.AC=152m,由勾股定理得AB= √BC+AC=√J152+(152)2=155(m). 5.解：设AD=xm, .AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ABD中，∠ABD=45°， ∴.△ABD是等腰直角三角形，.BD=AD=xm, 在Rt△ACD中，∠ACD=30°， tan ZACD=3x(m), .CD= AD BC=BD+CD=80m,∴.x+√3x=80,解得x=40W3-40, ..AD=(40W3-40)m. 答：桥塔AD的高度为(40√3-40)m 67【解析】如解图，令AC与BD的交点为O,:∠ABD= 1 ∠CDB=90°，.CD∥AB,又：AB=CD,.四边形ABCD是平 行四边形，AC与BD互相平分.0B=之BmA极= OB 1 BD,OB=2AB.在R△A0B中，ian∠CAB=】 第6题解图 7.34.1【解析】如解图，过点C作CF⊥BE,垂足为F,过点A 作AG⊥EB,交EB的延长线于点G,·∠ABE=120°，. ∠ABG=60°，在Rt△ABG中，AB=2cm,.AG=AB· sin60°=√3(cm),在Rt△BCF中，∠EBC=80°，BC= 11cm,.CF=BC·sin80°≈11×0.9848=10.8328 (cm),器身底部CD距地面的高度为21.5cm,.该陶忝 管状短流口A距地面的高度=AG+CF+21.5=√3+ 10.8328+21.5≈34.1(cm). 第7题解图 层练·数学 8.128【解析】如解图，∠PDA=70°，∠PDQ=30°， ∠ADQ=∠PDA-∠PDQ=70°-30°=40°，∠1=∠PDQ= 30°，.·AB∥QD,∴.∠BAD=∠ADQ=40°，在Rt△ABD中 F=AD=400,∠ABD=90°，.F2=BD=AD·sin∠BAD= 400·sim40°≈400×0.64=256，由题意可知，BD1DQ, ∠BDC+∠1=90°，∴.∠BDC=90°-∠1=60°，在Rt△BCD 中，BD=256,∠BCD=90°，.f2=CD=BD·cos∠BDC= 256x1 =128 2 少航行方向 A(M) F B 第8题解图 第9题解图 g【解析】如解图，延长AW,交直线BC于点E,由题意 得：AD=BC=CD=9cm,∠D=90°，AD∥BC,AN∥FG,设 DN=xcm,则CN=CD-DN=(9-x)cm,:密封透明正方体 容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里 水的体积不变，且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等 于长为9cm、宽为9cm、高为(9-x)cm的长方体的体积与 长为9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之 和9x9(9-)+了×9x9g=9x9x7,解得=4，即DN 4cm,.AN∥FG,.∠AEF=∠F=,.AD∥BC,.∴.∠DAN= DN 4 ∠AEF=a,∴.tana=tan∠DAW= AD9 10.解：(1)由题可知：在Rt△AGM中，AM=13分米，MG= 12分米，AG⊥GM, .AG=√AMP-GMP=√132-12=5（分米） .·AB=19分米，.BG=AB-AG=19-5=14(分米)， .AB⊥I,MN⊥I,GM⊥AB .四边形BGMW为矩形 .·.MW=BG=14分米 ..该连衣裙MW的长度为14分米： (2)如解图，过点M作MK⊥AB于点K, E(M) B 第10题解图 .·在Rt△AKM中，AM=13分米，∠K4M=76.1°，AK⊥KM .AK=AM·c0s76.1°≈13×0.24=3.12（分米）， ·AB=19分米， ..AB-AK-MW=19-3.12-14=1.88≈2（分米）， .∴.此时该连衣裙下端N点到地面水平线1的距离约为2 分米. 一轮章节分 一战成名目 11.解：(1)如解图，过点B作BE⊥AC于点E, 设BE=x海里，依题意得 ∠EBC=53°，∠EBD=45°， +东 1 CD=10x- =5(海里)， B ..∠C=90-∠EBC=37°， 第11题解图 ∠EDB=∠EBD=45°， ∴.ED=EB=x海里，EC=ED+DC=(x+5)海里， 在R△BCE中，EC=BE=x tanC tan37°≈0.75-3七， 4 3x=x+5,解得x=15, 渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里； (2)在B△ABE中，∠ABE=14°，由(1)知BE=15海里， .AE=BE·tan14°≈15×0.25=3.75（海里）， .∴.AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75(海里)， 23.75÷10=2.375(小时)=142.5（分钟）， .·从14：30经过142.5分钟是16：52：30」 ..渔船在17：30之前能到达码头A, .:.不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 12.解：(1)如解图①，过点A作AE⊥CD于点E,过点B作 BF⊥CD于点F, 北 参考答案与重 →东 309 南 题解 D E 第12题解图① ..∠AED=∠BFC=90°，由题意得∠DAE=30°， 在Rt△ADE中，AD=20千米， DE=10千米，AE=105千米， 37 :甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C 的正西方向上， ..ABCD,.∠BAE=∠AEF=∠BFE=90°， .四边形AEFB是矩形， .EF=AB=10千米，BF=AE=105千米， .DF=DE+EF=20(千米)， .在Rt△BDF中，BD=√DF+BF=√20+(10W3)2= 107≈26.5（千米）. 答：BD的长度约为26.5千米； (2)如解图②，假设当甲无人机运动到M处，乙无人机运 动到N处时，满足MN=20千米，过点B作BF⊥CD于点 F,过点M作MT⊥CD于点T, 北 +东 309 N F T iC 第12题解图② 层练·数学 37 一战成名目 由题意得∠BCF=60°， 由(1)知BF=105千米， 103 .在Rt△FBC中，BC= sin∠BCFsinc60-20(千米)， BF105 an∠BCFtan6(0=10(千米)， CF= .结合(1)可得CD=DF+CF=30(千米)， 设BM=x千米，则DW=2x千米，CM=(20-x)千米， 在△CMT中，CT=CM·s∠MCT=(10-7)千米， MT=CM·sin∠MCT=(10w5- 2)千米， 7N=D-DN-C7=30-2-(10子)=(20-)千米. 在Rt△MWT中，由勾股定理得MN2=MT+NT, 20=(10w5 2)+(20-3 ), 解得x=15-55或x=15+55(此时大于BC的长，不符合 考答案 题意舍去)， .BM=15-55≈3.8（千米） 答：甲无人机飞离B处约3.8千米时，两无人机可以开始 重 相互接收到信号 13.解：(1)55；【解法提示】∠ABC=90°，AB=40m,BC= 题 30m,.AC=√30+40=50(m),D为AC中点， 析 CD=4C=25(mBC+0D=30+25=5(m）机器人 乙运动的路线长为55m 5 (2)解法一：根据题意，得2= .510(m/min), 38 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=40m,BC=30m, .AC=50m, :D为AC中点，.BD=CD=AD=25m, ∴.∠ABD=∠BAC,∠DBC=∠C, sm∠A6D=sn∠B4C=号sm∠DBC=nC= 51 当点Q在BC上时，d,=BQ·sin∠DBC=10L× 4 ..8L1=16,解得t1=2 当点Q在CD上时，过点A作AHLBD于点H,如解图①， 0 H 0 第13题解图① 则AH=AB·sin∠ABD=40X3 =24(m) 38 一轮章节分层 '∠CDB=∠ADH,∴sin∠CDB=sin∠ADH AH 24 AD251 d,=0D·sinCDB=(55-10)×25=5写， 2426448 26448 5=16,解得4，= 23 69 23 11 ∴.l2-l1= 6 -2=5(min); 6 多解法。 解法二：如解图②，连接Q1Q2, 由解法-得=10m/min,sin∠DBC=4 ,CD=25. Q0 当点Q在BC上时，由d,=16,得B0,=sn∠DBC 16-0 4 .CQ1=BC-BQ1=10. 0 .当t=61,t=t2时，d2=16, 、D 0 .Q Q2//BD, Q. c0=c0.即c00 Q1 A CD CB' 25301 第13题解图② 5 C0=3 六0+60， 55 CQ:+CQ:3 11 ∴.2-l1= min). 2 106 (3)由题意得，当t=5.5min时，d=7.5m, PP'7.525 n∠ABD3=2(m), BP=- 5 ·.AP=AB-BP= 55 2(m), AP .5.5 5(m/mim), 3 4=BP.sim∠ABD=(40-5)×3=24-3, 当点Q在BC上时，由d,=d,得24-3t=8t, 解得了 24 当点0在CD上时，由d,=d,得24-31=26448 55, 48 解得t= 11 24 48 ..t= min或1=min 11 练·数学一战成名目 第七节 锐角三角函数及其应用 A基础过关练 命题点①锐角三角函数 1.[2025云南]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=13,BC=5,则sinA= D 5 13 变式1-1 在△ABC中，∠C=90°，AB=15,os4=3则BC的长为 变式1-2易错[2024哈尔滨]△ABC是直角三角形，若AB=25,∠ABC=30°，则AC的长 为 B C 第1题图 第2题图 2.[2024达州]如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD=120°，其 中点A,B,C都在格点上，则tan∠BCD的值为 () 第 3 A.2 B.23 D.3 章 C.2 命题点②锐角三角函数的实际应用 三 3.[2024宁夏]小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位 形 于小亮家的 () 北 东 小明家 小亮家 50 110° 科技馆 第3题图 A.南偏东60方向 B.北偏西60°方向 C.南偏东50°方向 D.北偏西50方向 4.[2025绥化]如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1:√2（斜面坡度是指坡面的铅直 高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC=15m,则迎水坡面AB的长度是 m A 第4题图 88 一轮章节分层练·数学 一战成名目 5.[2025内江]在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图 甲).他们设计了如下方案：如图乙，点B,D,C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A 的仰角（∠ABD)为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角（∠ACD)为30°，又测得BC=80m,AD⊥ BC,垂足为D,求桥塔AD的高度（结果保留根号）. 第5题图 B能力提升练● 6.[2024江西]将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形ABCD,连接AC,则tn∠CAB= 第四 章 利航行方向 帆 风向 形 图① 图② 图① 图② 第6题图 第7题图 第8题图 7.[2024宁夏]如图①是三星堆遗址出土的陶盉(hé)，图②是其示意图.已知管状短流AB=2cm,四 边形BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°，∠CBE=80°.器身底部CD距地面的 高度为21.5cm,则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 cm(结果精确到0.1cm) (参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713，√3≈1.732) 8.学科融合[2024福建]无动力帆船是借助风力前行的.如图是帆船借助风力航行的平面示意图， 已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风 对帆的作用力F为400N.根据物理知识，F可以分解为两个力F,与F2,其中与帆平行的力F 不起作用，与帆垂直的力F,又可以分解为两个力f与∫，f与航行方向垂直，被舵的阻力抵消； 方与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据 此，建立数学模型：F=AD=400,则f=CD=·(单位：N)(参考数据：sin40°≈0.64， c0s40°≈0.77) 一轮章节分层练·数学 89 一战成名目 9.[2025扬州]如图①，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM= 7cm.将此正方体放在坡角为，的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图②所 示，则tana= 4 A(M JQ B 图① 图② 第9题图 10.[2025湖南省卷]如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线1于点B, D,AB=19分米，CD>AB.在点A,C之间的晾衣绳上有固定挂钩E,AE=13分米，一件连衣裙MN 挂在点E处（点M与点E重合），且直线MW⊥1. (1)如图①，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于 12分米，求该连衣裙MW的长度； (2)如图②，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E 的右侧)，若∠BAE=76.1°，求此时该连衣裙下端W点到地面水平线1的距离约为多少分 米？（结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，c0s76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04）》 第四 E(M E(M) 三角 图① 图② 第10题图 90 一轮章节分层练·数学 一战成名目 11.[2025烟台]【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船 海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动. 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 码头A在灯塔B北偏西14°方向 位置信息 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意 天气预警 防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离： (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sinl4°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25). 北 ·东 第11题图 第四章 三角 一轮章节分层练·数学 91 一战成名目 12.[2025重庆]为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图， A,B,C,D在同一平面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B 处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西 方向上，B位于C的北偏西30方向上.（参考数据：2≈1.41,3≈1.73，√5≈2.24，√7≈2.65） (1)求BD的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人 机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机 飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 北 西 →东 30 南 309 D 第12题图 第四章 三角形 92 一轮章节分层练·数学 一战成名目 ●C素养强化练● 13.[2025苏州]两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC=90°，AB=40m,BC= 30m,直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）.机器人甲从点A出 发，沿A→B的方向以，(m/min)的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出 发，沿B→C→D的方向以2(m/min)的速度匀速运动，其在位置用点Q表示.两个机器人同 时出发，设机器人运动的时间为t(min),记点P到BD的距离（即垂线段PP'的长）为d,(m),点 Q到BD的距离（即垂线段QQ'的长）为d,(m).当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时 停止运动，此时d1=7.5m,d2与t的部分对应数值如下表(t1<t2): t(min) 0 t2 5.5 D d2(m） 0 16 16 0 AP各甲 B B 13题图 备用图 (1)机器人乙运动的路线长为 m; (2)多解法求t2-t1的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d,=d2)时，求t的值 第四章 三角 一轮章节分层练·数学 93