精品解析：浙江绍兴市柯桥区钱清中学2025-2026学年高二下学期3月练习数学试题

钱清中学2025学年第二学期数学学科3月练习卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】 ，即 . 2. 已知函数，导函数为，那么等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，再将代入，即可得出结果. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要求在某点处的导函数值，熟记导数计算公式即可，属于基础题型. 3. 直线是曲线的一条切线，则实数b=（ ） A. -1或1 B. -1或3 C. -1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求得切点坐标，进而求得的值. 【详解】令，解得，故切点为或， 而，所以或. 故选：B 4. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上的最大值是 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果． 【详解】解：根据导函数图象可知， 在上先单调递减后单调递增，故错误； 在上，单调递增，故错误； 函数在上先单调递减，再单调递增，最后在上单调递减，故无法确定函数在上的最大值，故C错误； 在时单调递减，在时单调递增，在 时，取极小值，故对， 故选：． 5. 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数两边同时求导，再由赋值法代入计算可得结果. 【详解】由可得， 令可得，解得. 故选：C 6. 已知函数在处有极小值，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】由在处有极小值可知，解出的值，并根据单调性验证. 【详解】因为， 所以， 因为函数在处有极小值， 所以，解得或， 当时，， 当时，或，当时，， 在处取到极小值，符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 在处取到极大值，不符合题意； 综上：的值为1. 故选：A. 7. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】A 【解析】 【详解】由图可知，当时，，而，则； 当时，，而，则； 当时，，而，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则有极大值，无极小值. 8. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案. 【详解】解：设＝， 则＝， ∵，∴， ∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减， ∵ ∴＝， 又＝， ∴， ∴， ∴的解集为． 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的运算法则对选项逐一判断即可． 【详解】A选项，，故A选项正确； B选项，，故B选项错误； C选项，，故C选项正确； D选项，，故D选项错误； 故选：AC 10. 函数的一个单调递减区间是（ ） A. （e，+∞） B. C. （0，） D. （，1） 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数求得的一个单调递减区间. 【详解】的定义域为， ， 所以在区间上，递减， 所以AD选项符合题意. 故选：AD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的极小值点，则的取值范围为 B. 存在，使得在上有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：根据极值点情况，分析的根的情况，得出的范围；选项B：对正负分类讨论的单调性，根据零点情况，即可得出的解；选项C：求导，设出切点，得到切线方程，把点代入切线方程得关于的方程，根据方程根的个数可判断C；选项D：转化为关于的一次函数的零点情况，即可判断D. 【详解】，令，解得，， 选项A：为的极小值点，，，故A正确； 选项B：， 当时，时，，则在上单调递增，此时在上没有零点； 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上取得极小值，也是最小值， 即， 在上有且仅有一个零点，，解得，故B正确； 选项C：当时，，设切点， 则切线斜率，切线方程为， 切线过点，代入切线方程即，即，解得， 有且仅有一条直线与曲线相切，故C错误； 选项D：设，， 则， 设，由于，故为单调递增的一次函数， 存在使得符合题意，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在处取得极小值，则a=__________． 【答案】2 【解析】 【分析】对函数求导，根据极值点得到或，讨论的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解. 【详解】由可得， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得或， 若，则， 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上：. 故答案为：2. 【点睛】思路点睛： 已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，再验证所求参数是否符合题意即可. 13. 如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意先设小正方形边长为x，计算出容器体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而求得此函数的最大值即可. 【详解】设剪去小正方形的边长为x，则容器的容积为：，. 令，则 (舍去)，. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以当时铁盒的容积最大，故截去的小正方形边长为1m. 故答案为：1. 14. 不等式对任意的恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分离参数，构造函数，求导，确定最值即可求解. 【详解】由不等式  对任意 恒成立， 因为，变形得：恒成立， 构造函数， 求导得： ， ​ 令 ，得 ，即 ， 当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减，  在​ 处取最大值：， ​ 因此 ​，即的取值范围是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 证明不等式． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】构造函数，通过求导得到有最小值，所以，所以. 【详解】由题意知， 令，所以， 所以当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，所以有最小值， 故有，即成立． 16. 已知函数． （1）求函数在上的最大值和最小值． （2）过点作曲线的切线，求此切线的方程． 【答案】（1）的最小值是，的最大值是；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用导数，通过导数的符号判断原函数的单调性，然后根据单调性进行求最值，可得结果. （2）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程，最后代点求值，可得结果. 【详解】（1）， ， 令，解得：或， 令，解得：， 故在递增，在递减， 而，，， 的最小值是，的最大值是； （2）， 设切点坐标为， 则切线方程为， ∵切线过点， ∴， 化简得， ∴或． ∴切线的方程：或． 【点睛】本题考查利用导数求函数在区间的最值，以及过某点曲线的切线方程，理解曲线在某点处导数的几何意义，属基础题. 17. 已知函数f(x)=+bx+c, (1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围; (2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】分析：（1）求出的导函数，进而根据在上是增函数，则恒成立，构造关于b的不等式，解不等式即可得到答案； （2）当在时取得极值时，则是方程的一个根，从而可以求出方程的另一个根，进而分析出区间的单调性，进而确定出函数在区间的最大值，进而构造关于c的不等式，从而求得答案. 详解：(1)由f(x)=+bx+c得,f'(x)=3x2-x+b. ∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴Δ=1-12b≤0,解得b≥ 故b的取值范围 (2)∵f(x)x=1 ∴f'(1)=2+b=0, ∴b=-2. f(x)=x-2x+c,f'(x)=3x2-x-2. f'(x)=0,x=x=1. x<f'(x)>0,,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,故f(x)在x=x∈[-1,2]时,f(-1f(2)=2+c.此时,f(x)max=f(2)=2+c. 由题意得,2+c<c2,解得c>2或c<-1. 故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞). 点睛：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，是函数与导数问题比较综合的应用，其中（1）的关键是构造关于b的不等式，而（2）的关键是问题转化为关于c的不等式恒成立问题. 18. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的取值范围为 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导，再由是函数的一个极值点即求解；（2）由（2）确定，再由和求得单调区间；（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有个交点则须有求解． 试题解析：（1）因为， 所以，因此 （2）由（1）知， ， ． 当时，， 当时，， 所以的单调增区间是， 的单调减区间是 （3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时， 所以的极大值为，极小值为， 当时， 所以在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当， 因此，的取值范围为 考点：（1）函数在某点取得极值的条件；（2）利用导数研究函数的单调性. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若无零点，且有两个不同的极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求的导数，进而结合二次不等式的性质对分类讨论可得结果； （2）（ⅰ）令，即，结合直线与无交点，并利用（1）的结果得到的取值范围； （ⅱ）由（1）中方程有，，化简可得，利用导数讨论单调性可得结果. 【小问1详解】 由题意可得， 令，则．判别式． ①当，即时，恒成立， 即恒成立，在R上单调递增； ②当，即时，方程有2个实根， 且由求根公式可知该方程的解为， 由二次函数单调性知在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 综上，时，在R上单调递增； 时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 【小问2详解】 （ⅰ）令，即， 由于无零点，则直线与无交点，则； 又有两个不同的极值点,，由（1）知时满足题意，故a的取值范围为． （ⅱ）由（1）中方程有，． 不妨设，． 则 ， 设函数，， 且在上恒成立，故单调递增， 且，． 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 钱清中学2025学年第二学期数学学科3月练习卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 2. 已知函数，导函数为，那么等于（ ） A. B. C. D. 1 3. 直线是曲线的一条切线，则实数b=（ ） A. -1或1 B. -1或3 C. -1 D. 3 4. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上的最大值是 D. 当时，取得极小值 5. 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 已知函数在处有极小值，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 或3 7. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 8. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的一个单调递减区间是（ ） A. （e，+∞） B. C. （0，） D. （，1） 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的极小值点，则的取值范围为 B. 存在，使得在上有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在处取得极小值，则a=__________． 13. 如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为___________. 14. 不等式对任意的恒成立，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 证明不等式． 16. 已知函数． （1）求函数在上的最大值和最小值． （2）过点作曲线的切线，求此切线的方程． 17. 已知函数f(x)=+bx+c, (1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围; (2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围. 18. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若无零点，且有两个不同的极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $