精品解析：河南省驻马店市第一高级中学分校2021-2022学年九年级下学期开学监测数学试题

2021-2022年度下学期开学监测九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 计算的结果是（ ） A. －6 B. 6 C. －10 D. 10 2. 为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷．已知1公顷平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 5. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 随的增大而减小 6. 每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 收入（点） 15 21 27 27 21 30 21 A. 27点，21点 B. 21点，27点 C. 21点，21点 D. 24点，21点 7. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 8. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形ABCD中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　） A. B. 4 C. 3 D. 10. 如图，正方形ABCD的四个顶点均在坐标轴上．已知点A(﹣2，0)、E(﹣3，0)，点P是正方形ABCD边上的一个动点，在正方形ABCD外作等腰直角PEF，若点P从点A出发，以每秒个单位长度沿A→D→C→B→A方向运动，则第2020秒时，点F的坐标为（ ） A. (﹣4，4) B. (5，﹣3) C. (﹣3，5) D. (﹣4，2) 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 化简计算：_____________． 12. 不等式组的所有整数解的积是___________． 13. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为__________． 14. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，A（m，3），则点B的坐标为__________． 15. 如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若为直角三角形，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分） 16. （1）计算：． （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的； ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 17. 近日，辽宁省某教育局印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典通读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为，，，）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）．请根据图表提供的信息，解答下列问题： “中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷 请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后（ ）内打“”，非常感谢您 的合作． .“诵读中国”经典诵读 .“诗歌中国”诗词讲解 .“笔墨中国”汉字书写 .“印记中国”印章篆刻 类别 占调查总人数的百分比 （1）参与本次问卷调查的总人数为________人，统计表中的百分比为_________； （2）请补全统计图； （3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由； （4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为，，，），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率． 18. 如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04) 19. “六一儿童节”快到了，某店购进了一批适合小学生的小礼品．已知购进2个A种礼品和6个B种礼品共需342元，购进4个A种礼品和3个B种礼品共需279元． （1）A，B两种礼品每个的进价是多少元？ （2）该店计划用4500元全部购进A，B两种礼品，设购进A种x个，B种y个， ①求y关于x的关系式． ②进货时，A种礼品的购进数量不少于60个，已知A种礼品每个的售价为38元，B种礼品每个的售价为50元，若该店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使该店所获利润最大． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，﹣4），反比例﹣函数y＝（k≠0）的图象经过点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若△PBC的面积等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标． 21. 已知二次函数与x轴交于A，B两点（其中A在B的左侧），且． （1）抛物线的对称轴是______； （2）求点A和点B坐标； （3）点C坐标为．若抛物线与线段恰有一个交点，求a的取值范围． 22. 小星在学习中遇到这样一个问题：如图（1），Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点E在线段CB上，且EC＝2cm，点P是线段BE上一动点，连接AP，以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q，连接PQ，当BP是△PQE中某条边的1.5倍时，求BP的长． 小星的探究过程如下： （1）小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当BP＝1.5PE时，通过推理计算可得BP的长为_____cm．但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到BP的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题． （2）小星将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，并分别对函数y1，y2随着自变量x的变化规律进行探究．小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值： x/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y1/cm 4.59 3.71 2.91 2.15 1.42 0.71 0 y2/cm ？ 2.40 2.16 1.78 1.27 0.68 0 在探究过程中，小星发现当BP＝0时，无需测量可以求出QE的长，此时QE的长约为_____cm（结果精确到0.01．参考数据：≈1.414）． ②利用表格中的数据，小星已经在如图（2）所示的平面直角坐标系中画出了y1关于x的函数图象，请你根据上文中y2和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出y2关于x的函数图象 （3）小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式：____，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象． （4）请结合图象直接写出：当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为____（结果精确到0.1cm）． 23. 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）． （1）如图1，当α＝0°时，＝ ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 ． （2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）当△A1B1C绕点C逆时针旋转至A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022年度下学期开学监测九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 计算的结果是（ ） A. －6 B. 6 C. －10 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查有理数加法法则，同号两数相加，取相同符号，再把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值大的数的符号，再把绝对值相减，熟练掌握运算法则是解题关键． 2. 为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：A、文字上方的图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； B、文字上方的图案既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C、文字上方的图案是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； D、文字上方的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、和不属于同类项，不能相加，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则等知识点，运用以上知识点正确计算每个选项的值是解题关键． 4. 《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷．已知1公顷平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，将原数变为a，小数点移动多少位，n的值就为多少，据此判断即可． 【详解】解：77.14万公顷 ＝771400公顷 =7714000000平方米 =平方米， 故选：D． 【点睛】此题主要考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a和n的值解题关键． 5. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可． 【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意； B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意； C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意； D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键． 6. 每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 收入（点） 15 21 27 27 21 30 21 A. 27点，21点 B. 21点，27点 C. 21点，21点 D. 24点，21点 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数与众数定义即可求解． 【详解】解：将下列数据从小到大排序为15，21，21，21，27，27，30， 根据中位数定义，7个点数位于位置上的点数是21点， ∴这组数据的中位数是21点， 根据众数的定义，这组数据中重复次数最多的点数是21 点， 所以这组数据的众数是21点， 故选择C． 【点睛】本题考查中位数与众数，掌握中位数与众数定义是解题关键． 7. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键． 8. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可． 【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度， 相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将轴向左平移3个单位长度， 相当于将函数图像向右平移3个单位长度， 则平移以后的函数解析式为： 化简得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键． 9. 如图，在四边形ABCD中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出．再根据ASA证明，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在直角中利用勾股定理求出CD的长． 解：如图，连接FC，则． ， ． 在与中， ， ， ， ，． 在中，， ， ， ． 故选：A． 【详解】详解片段 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键． 10. 如图，正方形ABCD的四个顶点均在坐标轴上．已知点A(﹣2，0)、E(﹣3，0)，点P是正方形ABCD边上的一个动点，在正方形ABCD外作等腰直角PEF，若点P从点A出发，以每秒个单位长度沿A→D→C→B→A方向运动，则第2020秒时，点F的坐标为（ ） A. (﹣4，4) B. (5，﹣3) C. (﹣3，5) D. (﹣4，2) 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质可求，可求点P第2020面时与点C重合，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】∵点， ∴， ∴点P从点A出发，一圈后回到A点所需的时间为， ∴， ∴第2020秒时，点P在点C处， ∴点， ∴EP=5， ∵，EF=EP=5， ∴点． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，,等腰直角三角形的性质，解题的关键是找到点P的运动规律． 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 化简计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，先把二次根式化简后再合并即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 不等式组的所有整数解的积是___________． 【答案】0 【解析】 【分析】先解不等式组得到-1＜x≤3，再找出此范围内的整数，然后求这些整数的积即可． 【详解】由1-2x＜3，得：x＞-1， 由 ≤2，得：x≤3， 所以不等式组的解集为：-1＜x≤3， 它的整数解为0、1、2、3， 所有整数解的积是0． 故答案为0． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解．解题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． 13. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形性质，利用勾股定理求出AB的长度，再根据中位线定理求出OE的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，O为AC中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 14. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，A（m，3），则点B的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】把A（m，3）代入一次函数解析式中，解得m的值，再将点A的坐标代入反比例函数解析式中，解得k的值，最后再联立两个函数成方程组，求方程组的公共解即得到交点B的坐标． 【详解】解：把A（m，3）代入一次函数解析式中， 3＝3 m 把代入中， 联立得， 或， 当时， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，涉及待定系数法求函数的解析式、一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15. 如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若为直角三角形，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，当为直角三角形时，分两种情况：；；讨论求解即可得到答案． 【详解】解：当，与重合，是的中点，如图所示： ； 当，如图所示： ，， ， 是等腰直角三角形， ， 沿所在的直线折叠，使点的对应点， ， ， ， ， ， 综上所述，若为直角三角形，则的长为或． 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分） 16. （1）计算：． （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的； ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二： 【解析】 【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可； （2）根据不等式的性质3判断并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）①乘法分配律（或分配律） ②五 不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）； 任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键． 17. 近日，辽宁省某教育局印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典通读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为，，，）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）．请根据图表提供的信息，解答下列问题： “中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷 请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后（ ）内打“”，非常感谢您 的合作． .“诵读中国”经典诵读 .“诗歌中国”诗词讲解 .“笔墨中国”汉字书写 .“印记中国”印章篆刻 类别 占调查总人数的百分比 （1）参与本次问卷调查的总人数为________人，统计表中的百分比为_________； （2）请补全统计图； （3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由； （4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为，，，），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率． 【答案】（1），； （2）补图见解析； （3）不可行，理由见解析； （4）． 【解析】 【分析】（）由类的人数除以所占百分比得出参与本次问卷调查的总人数，再用类人数除以卷调查的总人数即可求出； （）求出类的人数，补全统计图即可； （）由表中数据即可得出结论； （）画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了条形统计图，用树状图或列表法求概率，看懂统计图之间的数据关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：参与本次问卷调查的总人数为人， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：类的人数为人， ∴补全统计图如下： 【小问3详解】 解：不可行，理由： 由统计表可知，， 即有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比之和大于，所以不可行； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的有种结果， ∴甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率． 18. 如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04) 【答案】篮板顶端D到地面的距离约为3.7m． 【解析】 【分析】延长AC、DE交于点F，则四边形BCFE为矩形，根据sin∠BAC＝，求EF,根据tan∠DBE＝，求DE,再求DF即可. 【详解】解：延长AC、DE交于点F， 则四边形BCFE为矩形， ∴BC＝EF， 在Rt△ABC中，sin∠BAC＝， ∴BC＝AB•sin∠BAC＝2.3×0.94＝2.162， ∴EF＝2.162， 在Rt△DBE中，tan∠DBE＝， ∴DE＝BE•tan∠DBE＝1.5×1.04＝1.56， ∴DF＝DE+EF＝2.162+1.56≈3.7(m) 答：篮板顶端D到地面的距离约为3.7m． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握正切、正弦的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 19. “六一儿童节”快到了，某店购进了一批适合小学生的小礼品．已知购进2个A种礼品和6个B种礼品共需342元，购进4个A种礼品和3个B种礼品共需279元． （1）A，B两种礼品每个的进价是多少元？ （2）该店计划用4500元全部购进A，B两种礼品，设购进A种x个，B种y个， ①求y关于x的关系式． ②进货时，A种礼品的购进数量不少于60个，已知A种礼品每个的售价为38元，B种礼品每个的售价为50元，若该店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使该店所获利润最大． 【答案】（1）A进价36元，B进价45元 （2）①；②，购进A种礼品60个，B种礼品52个时获利最大 【解析】 【分析】（1）设A、B两种礼品的进价分别是m元、n元，列出方程组，解方程组即可； （2）①由题意：该店计划用4500元全部购进A，B两种礼品，设购进A种x个，B种y个，列出二元一次方程，整理可得y关于x的关系式； ②根据两种礼品的进价和售价列出关系式，再求最大利润即可． 【小问1详解】 解：设A礼品每个进价为m元，B种礼品每个进价为n元． 由题可得 解得 答：A进价36元，B进价45元． 【小问2详解】 解：①由题知：， ∴． ②由题知：， ， ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵，且x为整数． ∴当时，W有最大值，即获利最大． 此时，， 当购进A种礼品60个，B种礼品52个时获利最大． 【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）正确列出一次函数关系式并根据自变量的取值范围求出最值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，﹣4），反比例﹣函数y＝（k≠0）的图象经过点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若△PBC的面积等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣；（2）（﹣，10）． 【解析】 【分析】（1）先由点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，﹣4）得到AB＝7，则点C的坐标为（7，﹣4），根据反比例函数图象上点的坐标特征得k＝﹣28，则反比例函数的解析式为y＝﹣； （2）设点P到AD的距离为h，利用△PAD的面积恰好等于正方形ABCD的面积即可求得． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，﹣4）， ∴AB＝7， ∵四边形ABCD为正方形， ∴点C的坐标为（7，﹣4）， 代入y＝，得k＝﹣28，） ∴反比例函数的解析式为y＝﹣； （2）设点P到BC的距离为h． ∵△PBC的面积等于正方形ABCD的面积， ∴×7×h＝72，解得h＝14， ∵点P在第二象限，yP＝h﹣4＝10， 此时，xP＝﹣＝﹣ ∴点P的坐标为（﹣，10）． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质以及三角形和正方形的面积等，根据正方形的性质求得C的坐标是解题的关键． 21. 已知二次函数与x轴交于A，B两点（其中A在B的左侧），且． （1）抛物线的对称轴是______； （2）求点A和点B坐标； （3）点C坐标为．若抛物线与线段恰有一个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）A点坐标，B点坐标 （3）或或 【解析】 【分析】（1）由求出对称轴即可； （2）由A，B两点是抛物线与x轴的交点，以及，对称轴直线可以求出两点坐标； （3）先求出线段的解析式，再根据抛物线与线段恰有一个交点，分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 ∵二次函数， ∴抛物线对称轴为直线， 故答案为：直线； 【小问2详解】 ∵抛物线对称轴为直线， A、B是抛物线与x轴的交点，且， ∴A点坐标，B点坐标； 【小问3详解】 把B点坐标代入，得：， 即， ∴， ∴抛物线顶点坐标为， ∵， ∴线段的解析式为， 若与线段恰有一个交点， 当时， ①线段恰过抛物线顶点， ∴，即； ②当时， ， 解得：； 当时， ，即， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是通过二次函数的解析式求抛物线的对称轴与坐标轴的交点以及顶点坐标． 22. 小星在学习中遇到这样一个问题：如图（1），Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点E在线段CB上，且EC＝2cm，点P是线段BE上一动点，连接AP，以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q，连接PQ，当BP是△PQE中某条边的1.5倍时，求BP的长． 小星的探究过程如下： （1）小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当BP＝1.5PE时，通过推理计算可得BP的长为_____cm．但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到BP的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题． （2）小星将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，并分别对函数y1，y2随着自变量x的变化规律进行探究．小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值： x/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y1/cm 4.59 3.71 2.91 2.15 1.42 0.71 0 y2/cm ？ 2.40 2.16 1.78 1.27 0.68 0 在探究过程中，小星发现当BP＝0时，无需测量可以求出QE的长，此时QE的长约为_____cm（结果精确到0.01．参考数据：≈1.414）． ②利用表格中的数据，小星已经在如图（2）所示的平面直角坐标系中画出了y1关于x的函数图象，请你根据上文中y2和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出y2关于x的函数图象 （3）小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式：____，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象． （4）请结合图象直接写出：当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为____（结果精确到0.1cm）． 【答案】（1）3.6； （2）①2.48；②见解析； （3），函数图象见解析； （4）2.8cm或3.1cm． 【解析】 【分析】（1）先通过勾股定理求出BC的长度，根据EC＝2cm，即可求出BE的长度，最后通过BP＝1．5PE即可求出BP的长度； （2）①根据题意可知AP=AQ，当BP＝0时则点P与点B重合，此时勾股定理求出AE的长度，用AE-AQ即可求出QE的长度；②根据表格中的数据描点画图即可； （3）根据BP是△PQE中某条边的1.5倍，可得到BP=1.5PQ或BP=1.5QE，即PQ=BP或QE=BP；将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，直接写出y与x的函数表达式再画出该函数的图象即可； （4）结合图象，分别找出与（2）中的两个函数图象的交点，找出交点的横坐标即可． 【小问1详解】 在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC=（cm） ∵EC＝2cm， ∴BE=BC-EC=8-2=6（cm）， ∵BP＝1.5PE， ∴设PE=m，则BP=1.5m， 列出方程得：m+1.5m=6，解得：m=2.4， ∴BP=1.5m=1.5×2．4=3.6（cm）， 故答案为：3.6； 【小问2详解】 ①∵以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q， ∴AP=AQ， 当BP=0时，点P与点B重合，此时AP=AB=6cm， ∴AQ=6cm， 由（1）可得：BE=6cm， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE=（cm）， ∴QE=AE-AQ=≈2.48（cm）， 故答案为：2.48； ②如图： 【小问3详解】 ∵BP是△PQE中某条边的1.5倍， ∴BP=1.5PQ或BP=1.5QE，即PQ=BP或QE=BP； 将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2， ∴，， 故还需要画出的函数图象， 如图： 【小问4详解】 由图可知，与两函数的交点分别为点M和点N， ∵点M的横坐标约为2.8；点N的横坐标约为3.1； ∴当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为2.8cm或3.1cm， 故答案为：2.8cm或3.1cm 【点睛】本题主要考查了函数图象的画法，函数图象交点的意义以及勾股定理，仔细体会题意运用数形结合的思想来解决问题是解题的关键． 23. 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）． （1）如图1，当α＝0°时，＝ ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 ． （2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）当△A1B1C绕点C逆时针旋转至A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长． 【答案】（1）2；60° （2）成立，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出BC，AA1＝A1C，再求出B1C，进而求出BB1，即可得出结论； （2）先判断出△ACA1∽△BCB1，得出，∠CAA1＝∠CBB1，进而求出∠ABD+∠BAD＝120°，即可得出结论； （3）分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出A1B，即可得出结论． 【小问1详解】 解：在Rt△ABC中，AC＝2，∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC＝4， ∵点A1为边AC的中点，B1为边BC的中点， ∴AA1＝A1C＝AC＝1，BB1＝B1C＝BC＝2，A1B1是△ABC的中位线， ∴， ∴∠B1A1C＝∠BAC＝90°， ∴， ∵∠ACB＝60°， ∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB＝60°， 故答案为2，60°； 【小问2详解】 解：（1）中结论仍然成立， 证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2， 由旋转知，∠ACA1＝∠BCB1， A1C＝1，B1C＝2， ∵AC＝2，BC＝4， ∴，， ∴， ∴△ACA1∽△BCB1， ∴，∠CAA1＝∠CBB1， ∴∠ABD+∠BAD＝∠ABC+∠CBB1+∠BAC﹣∠CAA1＝∠ABC+∠BAC＝30°+90°＝120°， ∴∠D＝180°﹣（∠ABD+∠BAD）＝60°； 故(1)的结论仍成立； 【小问3详解】 解：在图1中，在Rt△A1B1C中，A1B1＝A1C＝， ①当点B1在BA1的延长线上时，如图3， ∵A1，B1，B三点共线， ∴∠BA1C＝∠B1A1C＝90°， 在Rt△A1BC中，， ∴； ②当点B1在线段A1B上时，如图4， 同①的方法得，A1B＝， ∴， 即线段BB1的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，分类讨论计算是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $