精品解析：河南信阳市浉河区 2025-2026学年九年级下学期 学情自测数学试题

2025-2026学年河南省信阳市浉河区九年级（下）开学 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（　　） A. B. - C. D. - 2. 2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”，当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需200s．数据“5000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 汝瓷，始于唐朝中期，盛名于北宋，位居宋代“五大名瓷”之首．如图是故宫博物院收藏的宋汝窑天青釉圆洗，造型规整，胎质细腻．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图， ，则的度数为( ) A. B. C. D. 6. 按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个相等实数根 B. 方程没有实数根 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 无法判断 7. 现有背面完全相同，正面分别写有《九章算术》、《周髀算经》、《五经算术》、《数术记遗》的卡片4张，正面朝下放置在桌面上，将其混合后，甲、乙两人依次从中抽取一张，则甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，交于点，连接，若是的中点，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点沿折线匀速运动，到点时停止，过点作于点，作于点，设点运动的路程为，四边形的面积为，能大致表示与之间的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的x的值：______． 12. 不等式组的解集是______． 13. 如图，在中，D，E分别为，边的中点．若的面积为8，则的面积为___________． 14. 按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 15. 定义：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．如图，在中，于点E，若，，以为边构造“垂中平行四边形”，使点A落在“垂中平行四边形”的边上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过的中点时，则的长为______． . 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 17. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图； （2）表格中的S甲2______S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）； （3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由． 18. 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B． （1）求m的值； （2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标． 19. 如图，中，是边中点． （1）求作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； （2）交于点，连接，若，求的半径． 20. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）连接，求证：； （2）若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 21. 加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径，为此教育部等7部门于2025年10月29日印发了《关于加强中小学科技教育的意见》．某学校为了加强同学们的科技教育，计划购买A，B两种型号的科技教育设备，已知购买1台A型设备和2台B型设备需8000元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元． （1）求A，B两种型号的科技教育设备的单价分别是多少元？ （2）该校计划购买A，B两种型号的科技教育设备共60台，其中A种型号设备的数量不少于B种型号设备的数量，设购买A种型号设备台，购买A，B这两种型号设备的总费用为元，请写出与之间的关系式，并求出购买A，B这两种型号设备的总费用最少需要多少元． 22. 在平面直角坐标系中，已知点是抛物线图象上的一点，抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）将抛物线向上平移k个单位，当时，直接写出该二次函数y的取值范围； （3）若抛物线与直线有两个交点，求k的取值范围． 23. 已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． （1）当D为的中点时： ①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； （2）改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省信阳市浉河区九年级（下）开学 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（　　） A. B. - C. D. - 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的概念即可得到答案. 【详解】根据相反数的概念：和为0的两个数互为相反数，所以的相反数为，故答案选D. 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，解本题的要点在于熟知和为0的两个数互为相反数. 2. 2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”，当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需200s．数据“5000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，，为整数，解题的关键是准确判断的值以及的值． 先将“万”还原为普通整数，再根据科学记数法的规则写出结果，科学记数法要求，为整数，的值等于原数转化为时小数点移动的位数． 【详解】万， 将的小数点向左移动7位，得到符合的数， 万. 3. 汝瓷，始于唐朝中期，盛名于北宋，位居宋代“五大名瓷”之首．如图是故宫博物院收藏的宋汝窑天青釉圆洗，造型规整，胎质细腻．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图是一个圆，与主视图、左视图不相同， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简，幂的运算，整式除法及完全平方公式，准确计算是解题的关键． 对每个选项逐一计算验证即可得到结果． 【详解】对于选项，，，错误； 对于选项，根据积的乘方与幂的乘方法则，，错误； 对于选项，根据同底数幂的除法法则，，计算正确，正确； 对于选项，根据完全平方公式，，错误． 正确答案为． 5. 如图， ，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，， ∴， ∵ ∴． 6. 按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个相等实数根 B. 方程没有实数根 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】先根据如图所示的程序计算出时，输出的b值，再代入方程，然后根据根的判别式解答即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴方程为，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 7. 现有背面完全相同，正面分别写有《九章算术》、《周髀算经》、《五经算术》、《数术记遗》的卡片4张，正面朝下放置在桌面上，将其混合后，甲、乙两人依次从中抽取一张，则甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：用A，B，C，D分别代表写有《九章算术》、《周髀算经》、《五经算术》、《数术记遗》的四张卡片，由题意列表如下， A B C D A (B，A) (C，A) (D，A) B (A，B) (C，B) (D，B) C (A，C) (B，C) (D，C) D (A，D) (B，D) (C，D) 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的有2种， ∴甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率． 8. 如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，如下图： 由勾股定理得：，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解． 9. 如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，交于点，连接，若是的中点，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理可得，，证明是等腰三角形，从而得到，．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可计算出，利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在正方形中，点沿折线匀速运动，到点时停止，过点作于点，作于点，设点运动的路程为，四边形的面积为，能大致表示与之间的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，二次函数与一次函数的图像特征，动点问题的分段函数分析，将面积转化为关于的代数表达式是解题关键． 根据点在和上的不同位置分段建立面积函数，通过分析函数类型与增减性确定图像特征，进而得出答案． 【详解】解：设正方形边长为， 当点沿运动： 根据题意，， ，，， 四边形为矩形， 为正方形的对角线， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 函数图像为开口向下的抛物线； 当点沿运动： 四边形为矩形，， ， ， 函数图像为一次函数，随的增加而增加． 综上，表示与之间的函数关系的图象先是开口向下的抛物线，然后是随的增加而增加的一次函数． 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的x的值：______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数 ），熟练掌握该条件并据此列不等式求解是解题的关键．要使二次根式在实数范围内有意义，被开方数需是非负数，据此列出不等式求解，再取一个满足条件的值即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义 被开方数 解不等式，得， 那么取（只要是大于等于的数都可以 ），满足 故答案为：（答案不唯一，的数均可 ） 12. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可，正确求出每一个不等式的解集是解题的关键． 【详解】解： ∵解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， 故答案为：． 13. 如图，在中，D，E分别为，边的中点．若的面积为8，则的面积为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，利用相似三角形的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再利用相似比的平方等于面积比求解． 【详解】解：∵在中，D，E分别为，边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. 按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 【答案】33 【解析】 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 15. 定义：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．如图，在中，于点E，若，，以为边构造“垂中平行四边形”，使点A落在“垂中平行四边形”的边上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过的中点时，则的长为______． . 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分当时和当时这两种情况进行推导即可． 【详解】解：根据题意，分以下两种情况：①当时，此时点N与点A重合，以为边构造“垂中平行四边形”，使点A落在“垂中平行四边形”的边上， 如答案图①，延长交于点K，则K为的中点． ∵在中，于点E，，， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴ ； ②当时，如答案图②，则A为的中点． ∵ ，∴ ，∴ ． 在中，由勾股定理，得 ， ∴综上所述，的长为 或 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键； （1）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，然后进行计算即可求解． （2）先计算括号内的，同时将除法转化为乘法，根据分式的性质进行化简，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 ． ． 17. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图； （2）表格中的S甲2______S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）； （3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）＞ （3）选择乙公司，理由见解析 【解析】 【小问1详解】 解：由题可知，甲公司配送速度得分为9分的频数为， ∴补全频数分布直方图如答案图所示； 【小问2详解】 由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，乙公司的得分数据比甲公司的得分数据波动小， ∴． 【小问3详解】 综上，无论是配送速度还是服务质量得分，均是乙公司更好，因此我认为该农产品种植户应选择乙公司． 18. 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B． （1）求m的值； （2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标． 【答案】（1）24；（2）M点的坐标为 【解析】 【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可； （2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可. 【详解】解：（1）∵点P纵坐标为4， ∴，解得， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 设，则， 当M点在P点右侧， ∴M点的坐标为， ∴（6+2t）（4-t）=24， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴M点的坐标为， 当M点在P点的左侧， ∴M点的坐标为， ∴（6-2t）（4+t）=24， 解得：，，均舍去． 综上，M点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键． 19. 如图，中，是边中点． （1）求作的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）； （2）交于点，连接，若，求的半径． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作三角形外接圆，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）作出和的垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，首先得到，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是的直径． 中，D是边中点， ， ， ． 的半径为． 20. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）连接，求证：； （2）若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】（1）见解析 （2）小红的连衣裙会碰到地面，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用两边对应成比例及其夹角相等证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 21. 加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径，为此教育部等7部门于2025年10月29日印发了《关于加强中小学科技教育的意见》．某学校为了加强同学们的科技教育，计划购买A，B两种型号的科技教育设备，已知购买1台A型设备和2台B型设备需8000元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元． （1）求A，B两种型号的科技教育设备的单价分别是多少元？ （2）该校计划购买A，B两种型号的科技教育设备共60台，其中A种型号设备的数量不少于B种型号设备的数量，设购买A种型号设备台，购买A，B这两种型号设备的总费用为元，请写出与之间的关系式，并求出购买A，B这两种型号设备的总费用最少需要多少元． 【答案】（1）A，B两种型号的科技教育设备的单价分别是3000元，2500元 （2）w与之间的关系式为，购买A，B这两种型号设备的总费用最少需要165000元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的综合运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设，两种型号的科技教育设备的单价分别是元，元，根据题目中的数量关系列方程组求解即可； （2）设购买A种型号设备台，则购买B种型号设备台，根据题意列不等式得到，再根据总费用得到，结合一次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设，两种型号的科技教育设备的单价分别是元，元， 根据题意，得， 解这个方程组，得， ∴，两种型号的科技教育设备的单价分别是3000元，2500元． 【小问2详解】 解：设购买A种型号设备台，则购买B种型号设备台， ∴， 解得，， 购买A，B这两种型号设备的总费用为元， ∴，且， ， ∵， ∴随着的增大而增大， 又， ∴当时，最小，最小值为， ∴w与之间的关系式为，且， 购买，这两种型号设备的总费用最少需要165000元． 22. 在平面直角坐标系中，已知点是抛物线图象上的一点，抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）将抛物线向上平移k个单位，当时，直接写出该二次函数y的取值范围； （3）若抛物线与直线有两个交点，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法和对称轴公式代入即可求解； （2）求出新抛物线为，根据性质求出在时取最大值，最大值为，根据对称性求出时取最小值，最小值为，即可确定取值范围； （3）解方程，根据抛物线与直线有两个交点，得到，进而得到，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线向上平移k个单位后解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴为直线，并且在范围内， ∴在时取最大值，最大值为． ∵抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越小，， ∴在时取最小值，最小值为． ∴当时，直接写出该二次函数y的取值范围为； 【小问3详解】 解：设，整理得， ∵抛物线与直线有两个交点， ∴由根的判别式得， 即， ∴， 当时，， 当时，． ∴k的取值范围为或． 23. 已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． （1）当D为的中点时： ①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； （2）改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）①，是； ②，理由： 如图，过点作于点，作于点， 则， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ， 由①知，， ， 即． （2）的值为1或4 【解析】 【分析】（1）①证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可证明；证明，根据相似三角形的性质可得，即可得出答案； ②过点作于点，作于点，利用同角的余角相等得，则，可知，由①知，，即可证明； （2）过点作于点于点，根据，可得，再证明，得出，分为①当时，和②当时，分别计算即可； 【小问1详解】 解：①∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 则， 故答案为：，是； ②略 【小问2详解】 如图，过点作于点于点， ， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）②可得， ， ∵， ∴， ， ①当时， 则， ∴， ； ②当时， 则， ∴， ； 综上，的值为1或4． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $