河南信阳市浉河区 2025-2026学年九年级下学期 学情自测数学试题

2025-2026学年河南省信阳市浉河区九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的相反数是(    ) A. B. C. D. 2.2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”，当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需数据“5000万”用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.汝瓷，始于唐朝中期，盛名于北宋，位居宋代“五大名瓷”之首.如图是故宫博物院收藏的宋汝窑天青釉圆洗，造型规整，胎质细腻.关于它的三视图，下列说法正确的是(    ) A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是(    ) A. 方程有两个相等实数根 B. 方程没有实数根 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 无法判断 7.现有背面完全相同，正面分别写有《九章算术》、《周髀算经》、《五经算术》、《数术记遗》的卡片4张，正面朝下放置在桌面上，将其混合后，甲、乙两人依次从中抽取一张，则甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率是(    ) A. B. C. D. 8.如图，正方形网格中，每一小格的边长为网格内有，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，以AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，连接OE，若D是的中点，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在正方形ABCD中，点P沿折线匀速运动，到点A时停止，过点P作于点E，作于点F，设点P运动的路程为x，四边形PECF的面积为y，能大致表示y与x之间的函数关系的图象是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的x的值：          . 12.不等式组的解集是______. 13.如图，在中，D，E分别为AB，AC边的中点，若的面积为8，则的面积为        . 14.按规律排列的一组数：3，，，12，…，则这组数的第9个数是      . 15.定义：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”，如图，在中，于点E，若，，以BC为边构造“垂中平行四边形”BCMN，使点A落在“垂中平行四边形”BCMN的边MN上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过MN的中点时，则CM的长为        . 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 计算： 计算：； 化简： 17.本小题9分 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配选速度和服务质量得分统计表： 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7 乙 8 8 7 补全频数分布直方图； 表格中的______填“>”“<”或“=”； 综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由. 18.本小题9分 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点 求m的值； 点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标. 19.本小题9分 如图，中，D是BC边中点. 求作的外接圆保留作图痕迹，不写画法； 交AB于点E，连接ED，若，，求的半径. 20.本小题9分 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动. 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B、D两点置于地面上，现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链EF成一条直线起稳固作用，且 数据信息 过点O作于点G，交EF于点H，经测量与比对，有，，，， 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： 连接AC，求证：； 若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到126cm，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明. 21.本小题9分 加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径，为此教育部等7部门于2025年10月29日印发了《关于加强中小学科技教育的意见》.某学校为了加强同学们的科技教育，计划购买A，B两种型号的科技教育设备，已知购买1台A型设备和2台B型设备需8000元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元. 求A，B两种型号的科技教育设备的单价分别是多少元？ 该校计划购买A，B两种型号的科技教育设备共60台，其中A种型号设备的数量不少于B种型号设备的数量，设购买A种型号设备a台，购买A，B这两种型号设备的总费用为w元，请写出w与a之间的关系式，并求出购买A，B这两种型号设备的总费用最少需要多少元. 22.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，已知点是抛物线图象上的一点，抛物线对称轴为直线 求抛物线解析式； 若抛物线与直线有两个交点，求k的取值范围； 将抛物线向上平移k个单位，当时，直接写出该二次函数y的取值范围. 23.本小题10分 已知在中，，，，D为BC边上的一点.过点D作射线，分别交边AB、AC于点E、 当D为BC的中点时： ①如图1，若，，DE与DF的数量关系是______； EF与AD是否相等？______填“是”或“否”； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中DE与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； 改变点D的位置，当点D是BC的三等分点时，直接写出的值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：根据相反数的定义，得的相反数是 故选： 求一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号． 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号； 一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是 2.【答案】C  【解析】解：5000万 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.【答案】A  【解析】解：根据三视图的定义可得： 这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图是一个圆，与主视图、左视图不相同． 故选： 根据三视图的定义求解即可． 此题主要考查了简单几何体的三视图，正确记忆相关知识点解题关键． 4.【答案】C  【解析】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，计算正确，选项计算正确，符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意． 故选： 对每个选项逐一计算验证即可得到结果． 本题考查了二次根式的加减法，整式的混合运算，掌握相应的运算法则是关键． 5.【答案】A  【解析】解：， ， ， 故选： 由平行线的性质推出， 本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 6.【答案】C  【解析】解：当时，， ， 方程为， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选： 先根据如图所示的程序计算出时，输出的b值，再代入方程，然后根据根的判别式解答即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 7.【答案】B  【解析】解：用A，B，C，D分别代表写有《九章算术》、《周髀算经》、《五经算术》、《数术记遗》的四张卡片，由题意列表如下， A B C D A B C D 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的有2种， 甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率， 故选： 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 本题主要考查了概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：延长AP到点C，连接BC，如右图所示， 由图可得，，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故选： 根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到CP、CB、PB的值，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求得的度数，再根据，即可求得的值． 本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 9.【答案】D  【解析】解：如图：连接OD， ，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： 连接OD，由等边对等角可得，求出，再由圆周角定理可得，从而得出，再根据，得出，从而得出，得出，从而求出，再由扇形面积公式计算即可得解． 本题考查了圆周角定理、扇形的面积公式、等边对等角，关键是求出扇形BOE的圆心角和半径． 10.【答案】D  【解析】解：当P点在BD上运动时， ，且四边形ABCD为正方形， ， ， 四边形PECF的面积为； 当P点在AD上运动时，四边形PECF的面积为 故选： 根据函数解析式求函数图象． 本题考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 11.【答案】答案不唯一，满足即可  【解析】解：由题可知， ， 解得 故答案为：答案不唯一，满足即可 根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故答案为： 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13.【答案】2  【解析】解：在中，D，E分别为AB，AC边的中点， ，， ∽， ， 的面积为8， ， ， 故答案为： 先证明∽，再利用相似比的平方等于面积比求解． 本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，利用相似三角形的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 14.【答案】33  【解析】解：第1个数：， 第2个数：， 第3个数：， 第4个数：， 第5个数：， …， 第9个数是， 故答案为： 根据题干中的已知数总结规律后即可求得答案． 本题考查数式规律问题，算术平方根，结合已知条件总结出正确的规律是解题的关键． 15.【答案】或  【解析】解：分以下两种情况： ①当时，如图1，此时点N与点A重合，以BC为边构造“垂中平行四边形”BCMN，使点A落在“垂中平行四边形”BCMN的边MN上，延长BE交MN于点K，则K为MN的中点． 在中，于点E，，， ， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：， ； ②当时，如图2，则A为MN的中点． ，， ， ， 在中，由勾股定理，得：， 综上所述，CM的长为或 ， 故答案为：或  根据题意分当时和当时这两种情况进行推导即可． 本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 16.【答案】4   【解析】解：原式 原式 根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，然后进行计算即可求解； 先计算括号内的，同时将除法转化为乘法，根据分式的性质进行化简，即可求解． 本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 17.【答案】  >  选择乙公司，理由：无论是配送速度还是服务质量得分，均是乙公司更好，且乙公司的得分数据比甲公司的得分数据波动小，更稳定，因此我认为该农产品种植户应选择乙公司  【解析】解：由题可知，甲公司配送速度得分为9分的频数为， 补全频数分布直方图如答案图所示； 由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，乙公司的得分数据比甲公司的得分数据波动小， 选择乙公司，理由如下： 无论是配送速度还是服务质量得分，均是乙公司更好，且乙公司的得分数据比甲公司的得分数据波动小，更稳定，因此我认为该农产品种植户应选择乙公司． 求出样本中甲快递公司配送速度得分为9分的频数即可补全频数分布直方图； 根据折线统计图判断即可； 根据方差、平均数、中位数的大小进行判断即可． 本题考查平均数、中位数、频数分布直方图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的关键． 18.【答案】解：点P为函数图象上的点，点P的纵坐标为4， ，解得：， 点， 点P为函数与函数图象的交点， ， ； 设点M的坐标为， ， ， ①点M在点P右侧，如图， 点， ，， ， ， ， ，解得：或8， 点M在点P右侧， ， ， 点M的坐标为； ②点M在点P左侧， 点， ，， ， ， ， ，解得：或8， 点M在点P左侧， 此种情况不存在； 点M的坐标为  【解析】根据点P为函数图象上的点，点P的纵坐标为4，可以求得点P的坐标，进而求得m的值； 设点M的坐标为，分两种情况：点M在点P右侧，点M在点P左侧，根据得，根据点P的坐标求出x、y的值，即可得出答案． 本题考查一次函数和反比例函数的图象和性质；熟练掌握用待定系数法求函数的表达式，利用三角函数解题是关键． 19.【答案】   【解析】解：如图所示，即为所求； 连接EC， 是的直径． 是BC边中点， ， ， 的半径为 作出AC和DC的垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OC为半径画圆即可； 连接EC，首先得到，求出，然后利用勾股定理求解即可． 本题考查了尺规作图-作三角形外接圆，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 20.【答案】，， ， ， ， ， ∽， ，   小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ， ∽， ， ，， ， ， ， 设点O到AC的距离为h， 由可知：∽， ， ， ， 小红的连衣裙会碰到地面  【解析】证明：，， ， ， ， ， ∽， ， ； 解：小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ， ∽， ， ，， ， ， ， 设点O到AC的距离为h， 由可知：∽， ， ， ， 小红的连衣裙会碰到地面． 利用两边对应成比例及其夹角相等证明∽，得到，即可得证； 证明∽，求出OG的长，设点O到AC的距离为h，根据∽，求出h的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 21.【答案】A，B两种型号的科技教育设备的单价分别是3000元，2500元  w与a之间的关系式为，购买A，B这两种型号设备的总费用最少需要165000元  【解析】解：设A，B两种型号的科技教育设备的单价分别是x元，y元， 根据题意，得， 解这个方程组，得， ，B两种型号的科技教育设备的单价分别是3000元，2500元． 设购买A种型号设备a台，则购买B种型号设备台， ， 解得，， 购买A，B这两种型号设备的总费用为w元， ，且， ， ， 随着a的增大而增大， 又， 当时，w最小，最小值为， 与a之间的关系式为，且， 购买A，B这两种型号设备的总费用最少需要165000元． 设A，B两种型号的科技教育设备的单价分别是x元，y元，根据题目中的数量关系列方程组求解即可； 设购买A种型号设备a台，则购买B种型号设备台，根据题意列不等式得到，再根据总费用得到，结合一次函数图象的性质即可求解． 本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的综合运用，理解数量关系，正确列式是关键． 22.【答案】抛物线解析式为  或   【解析】解：抛物线过点，对称轴为直线， ， 解得， 抛物线解析式为； 设， 整理得， 抛物线与直线有两个交点， 由根的判别式得， 即， ， 当，时，， 当，时， 的取值范围为或； 抛物线向上平移k个单位后解析式为， ， 抛物线开口向下． 抛物线的对称轴为直线，并且在范围内， 在时取最大值，最大值为 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越小，， 在时取最小值，最小值为 当时，二次函数y的取值范围为 利用待定系数法和对称轴公式代入即可求解； 解方程，根据抛物线与直线有两个交点，得到，进而得到，分类讨论即可求解； 求出新抛物线为根据性质求出在时取最大值，最大值为，根据对称性求出时取最小值，最小值为，即可确定取值范围； 本题主要考查了二次函数的解析式、二次函数的几何变换、二次函数的最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23.【答案】①；是； ②仍然成立，理由： 如图2，过D作于点M，于点N， 同①理，四边形AMDN是矩形， ， ， ， ∽， ； 或  【解析】解①如图1，连接AD，EF， ，， ， 四边形AEDF是矩形， ，，， ∽， ， 为BC的中点， ， ， ， 同理：， ，即 故答案为：；是； ②仍然成立，理由： 如图2，过D作于点M，于点N， 同①理，四边形AMDN是矩形， ， ， ， ∽， ； 如图3，当时，过D作于点M，于点N， 同①理，四边形AMDN是矩形， ，， ∽， ， 为BC的三等分点， ， ， ， 同理：， ，即； 如图4，当时，过D作于点M，于点N， 同理：，， ， 综上可知：或 ①利用矩形的性质和中位线定理即可求解； ②过D作于点M，于点N，同①即可求解； 分当和时，过D作于点M，于点N，利用相似三角形的判定和性质即可求解． 此题考查了矩形的性质和相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $