精品解析：重庆市育才中学校2026届高三下学期3月月考数学试题

重庆育才中学高2026届高三（下）三月月考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5mm黑色签字笔答题. 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得， 当时，即； 当时，即，解得， 综上不等式的解集为或，故或， 又，根据交集的定义即可得. 2. 设i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设， . 3. 某科技实验室采用分层抽样的方法，从AI训练、AI测试、AI运维三个小组抽取20名技术员，调查每月完成的项目数．其中训练组抽取6人，平均每月完成10个项目；测试组抽取8人，平均每月完成15个项目；运维组抽取6人，平均每月完成20个项目．则该样本的平均每月完成项目数是（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【详解】该样本的平均每月完成项目数是： . 4. 过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】抛物线，则，准线方程为， 又过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，设， 则， 根据抛物线的定义可得. 5. 已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列定义、数列单调性意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若等比数列是递增数列，则或，则必有； 取，数列的公比，而数列是递减数列， 所以“数列是递增数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 设<<1，随机变量X的分布列是 X 1 P b 则当a在内增大时，（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，则，故，， 所以， 故当a在时，增大减小；当a在时，增大增大. 7. 一条直线分别与曲线和圆相切于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，设曲线的切点为， 所以切线方程为， 由题意可知也是圆的的切线， 所以，或， 因为， 所以，或， 当时，切点方程为， 由， 此时， 当时，切点，切线方程为， 由， ， 综上所述：. 8. 如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以5个球的表面积之和为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ） A. > B. > C. ≥ D. > 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，故A正确. 对于B，，故B正确. 对于C，举反例，时，，故C错误. 对于D，，由于，所以，即，故D正确. 10. 杨辉三角是第1行为1，第n行的元素是组合数按k依次增大排列的一个三角数阵，它具有对称性、递推性．关于杨辉三角与组合数的下列结论正确的有（ ） A. 第10行所有数字之和为512 B. 对任意正整数， C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：第10行所有数字之和为，正确； B：由二项式展开式中二项式系数的性质可知： ，正确； C：令，则，而， 显然不成立，不正确； D： 在中，的系数为， 在中， 的系数为， 所以，正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 图象关于直线对称 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】用特值法验证A的真假；根据与的关系判断B的真假；分析和的最大值和最小值，可判断CD的真假. 【详解】对A：因为， ，， 所以不是函数的一个周期，故选项A不正确； 对B：，所以函数图象关于直线对称，故B选项正确； 对C：因为在，时取得最大值，在，时取得最小值，所以在，时取得最大值.故C选项正确； 对D：因为，，所以，当，时取等号. 但当时，或，，此时不是的整数倍，故不成立，所以函数的最小值不是，故选项D不正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用模型拟合一组数据，设，其变换后的线性回归方程为，若，，为自然对数底数，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据线性回归方程必过样本中心点求参数. 【详解】因为， ， 由线性回归方程过点可得：. 13. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果. 【详解】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 14. 平面向量为两个相互垂直的单位向量．满足，，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【详解】为两个相互垂直的单位向量，故设平面向量分别在平面 坐标系的轴和轴上，且起点均为坐标原点， 设，则可表示点，可表示点，可表示点， 由椭圆的定义可知，点在椭圆上， 由圆的定义知，点在圆上， 其中点到圆心的距离为，最大值为， 而，. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）点是边上一点，且，若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算求解； （2）应用向量的数乘运算及数量积公式，再结合余弦定理及基本不等式计算求解. 【小问1详解】 由结合正弦定理得：，即， 由余弦定理：， 因为，所以； 【小问2详解】 ，， 即， 两边同时平方： ， ≥， ，当且仅当即时，取等号． ， 即的最大值为． 16. 已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． （1）求的方程； （2）过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1） （2）由（1）知，设，． 因为不与重合，所以可设直线． 联立，消得：， 故，，，， ，， 可得， ． 【解析】 【分析】（1）先设点，再应用斜率公式结合点在双曲线上计算得出即可求解双曲线方程； （2）设直线，再联立方程得出韦达定理，再应用斜率公式计算求解. 【小问1详解】 设，，，且， 则． 又焦距为，则，， 双曲线的标准方程为：． 【小问2详解】 略 17. 已知斜三棱柱，侧面是边长为2的菱形，．平面平面，，为棱的中点，，且． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图连接． 由于侧面是边长为2的菱形，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 又因为，所以． 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为，，且、平面，所以平面． 因为平面，所以． 由，设，则，得， 即，得，即，所以，则， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先应用面面垂直性质定理得出平面，再应用线面垂直判定定理得出所以平面，最后应用勾股定理证明线线垂直； （2）先建系，再求出平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，因为、平面，所以，，又因为， 故以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 取，可得， 设平面与平面所成的角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知（为自然对数底数，，）． （1）若在R上单调递减，求a的取值范围. （2）若存在两个极值点，（<），，求证：. （3）试探究：对，是否存在不为1的正整数a使得恒成立． 【答案】（1） （2） 由若存在两个极值点，， 结合（1）知时，时， 则且，为的两根，． 有，则． 则，． 记，则，， ． 因为，即，所以，所以，所以． （3）存在 【解析】 【分析】（1）根据函数单调递减得出恒成立，转化为求解最值即可； （2）根据题意得出，为的两根，有，令，得即可求出； （3）根据题意得出，分类讨论，再令求导判断单调性，最后借助即可求出. 【小问1详解】 ，由在R上单调递减，则恒成立， 令，则，令，得；令，得． 故在单调递增，在单调递减． 则． 则． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式即，即． 当时，且均成立． 当时，．记． 则． 记，则． 因，则恒成立，则在单调递增． 则，由得；由得． 则在单调递减，在单调递增． ，故． 记，则，则在单调递减，在单调递增． 且，时；时． 同时观察到，． 故存在使得，由可知． 则存在正整数使得不等式成立． 19. 现有编号为≥N*的个二进制码元，对应数字通信系统中待传输的离散信息序列，每个码元仅包含或两种基带信号状态．在高斯白噪声信道的实际传输场景中，信号会因信道噪声干扰产生随机畸变：设单个码元传输正确（即接收端收到的信号与发送端原始码元一致）的概率为，发生比特翻转（误码）的概率为，．且不同码元的传输相互独立． 定义随机变量为编号为奇数的码元中，传输正确的码元个数，随机变量为编号为偶数的码元中，发生比特翻转（误码）的码元个数．记，<．(参考公式：设为n个随机变量，则有) （1）若，计算的值； （2）若，求； （3）证明：对任意奇数n(n≥3)，． 【答案】（1）， （2） （3）设原不等式等价于 ． 一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况： ； ， ． 下面证明，： i) ， 由于，，，所以． ii) ， ． 另一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况： ≥ ； ； ． 下面证明，： i) ， 由于，，，所以． ii) ， ，证毕． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的表达式，再把代入即可； （2）法1：写出， ， ，，，，再求出即可判断； 法2：写出，再根据公式求出即可判断； （3）设，原不等式等价于，一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况，另一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况证明即可. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 法1：由题意知：可以取，可以取，可以取， ， ， ， ． 可以取，可以取，可以取， ， ， ， ， ． ， 解得． 法2．由题意， ， ， ， 解得． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学高2026届高三（下）三月月考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5mm黑色签字笔答题. 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 某科技实验室采用分层抽样的方法，从AI训练、AI测试、AI运维三个小组抽取20名技术员，调查每月完成的项目数．其中训练组抽取6人，平均每月完成10个项目；测试组抽取8人，平均每月完成15个项目；运维组抽取6人，平均每月完成20个项目．则该样本的平均每月完成项目数是（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 4. 过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设<<1，随机变量X的分布列是 X 1 P b 则当a在内增大时，（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 7. 一条直线分别与曲线和圆相切于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ） A. > B. > C. ≥ D. > 10. 杨辉三角是第1行为1，第n行的元素是组合数按k依次增大排列的一个三角数阵，它具有对称性、递推性．关于杨辉三角与组合数的下列结论正确的有（ ） A. 第10行所有数字之和为512 B. 对任意正整数， C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 图象关于直线对称 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用模型拟合一组数据，设，其变换后的线性回归方程为，若，，为自然对数底数，则________． 13. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是___________ 14. 平面向量为两个相互垂直的单位向量．满足，，则的最大值是________． 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）点是边上一点，且，若，求面积的最大值． 16. 已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． （1）求的方程； （2）过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值． 17. 已知斜三棱柱，侧面是边长为2的菱形，．平面平面，，为棱的中点，，且． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知（为自然对数底数，，）． （1）若在R上单调递减，求a的取值范围. （2）若存在两个极值点，（<），，求证：. （3）试探究：对，是否存在不为1的正整数a使得恒成立． 19. 现有编号为≥N*的个二进制码元，对应数字通信系统中待传输的离散信息序列，每个码元仅包含或两种基带信号状态．在高斯白噪声信道的实际传输场景中，信号会因信道噪声干扰产生随机畸变：设单个码元传输正确（即接收端收到的信号与发送端原始码元一致）的概率为，发生比特翻转（误码）的概率为，．且不同码元的传输相互独立． 定义随机变量为编号为奇数的码元中，传输正确的码元个数，随机变量为编号为偶数的码元中，发生比特翻转（误码）的码元个数．记，<．(参考公式：设为n个随机变量，则有) （1）若，计算的值； （2）若，求； （3）证明：对任意奇数n(n≥3)，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $