精品解析：广西壮族自治区贵港市平南县桃李中学2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试题

2025-2026学年九年级下学期3月月考数学试题 一．单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 2. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解并掌握一元二次方程的根的计算是关键． 根据题意，把，代入计算即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， 解得，， 故选：A ． 3. 若a，b为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，熟悉，是解题的关键．根据方程的根的定义以及一元二次方程的根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 4. 如图是一个小山坡的剖面图，现在要在这个山坡上植树，植树的工作人员发现，沿着山坡每走3米，垂直高度就上升1米，则这个小山坡的坡度为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及坡度的知识，理解并掌握坡度的定义是解题关键．坡面的垂直高度（）和水平宽度（）的比叫做坡度，公式为．首先根据勾股定理解得，再根据坡度公式求解即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，米，米， 则， 所以，这个小山坡的坡度为． 故选：C． 5. 从鱼塘中捕得120条鱼，把他们作上记号后，再放回池中．经过一段时间后，再从池中捕得100条鱼，发现其中有记号的鱼10条，可以估计鱼塘中鱼的数量．（ ） A. 1000 B. 1200 C. 800 D. 2400 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，条鱼里有条作标记的，则作标记的所占的比例是，即所占比例为．而有标记的共有条，据此比例即可解答． 【详解】解：(条)， 故选：B． 6. 如图，在中，弦所对的圆周角，，则的直径为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理可得，可得到是等腰直角三角形，即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为1， ∴的直径为2． 7. 二次函数的图象在这一段位于x轴的上方，在这一段位于轴的下方，则的值为（　　） A. B. C. D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】先确定二次函数的对称轴，利用二次函数的轴对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，再代入解析式计算的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为 ∴对称轴为直线 ∵ 关于对称轴 对称的区间为 又∵ 位于轴上方，根据二次函数对称性， 也位于轴上方 ∵ 位于轴下方 ∴抛物线过点 将 代入解析式得 整理得 解得 ． 8. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得AC，再根据正弦的定义求解即可； 【详解】∵在中，，,， ∴， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键． 9. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的内接四边形，掌握知识点是解题的关键． 根据圆的内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． 故选：D． 10. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】∵， , , ∵, ∴． 11. 抛物线可由抛物线平移得到，那么平移的步骤是（ ） A. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到答案． 【详解】解：， 根据“左加右减，上加下减”的平移规律得到， 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度可得． 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移规律，理解“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 12. 如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（ ） A. 矩形的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 的面积 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形对应边成比例是解题关键．根据矩形相似，得出，再结合三角形面积公式，即可得到答案． 【详解】解：矩形矩形， ， ， ， 知道的面积，即可求出的面积， 故选：D． 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 已知，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求分式拆分变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 14. 如图，点D，E分别在边，上，且，，，则的值是 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】证明，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵,, ∴, ∵， ∴,, ∴， ∴, ． 15. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转到；使的对应边恰好在上，若，则旋转过程中C点经过的路径是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，图形的旋转，直角三角形的性质．根据旋转的性质可得，再由直角三角形的性质可得，再由弧长公式计算，即可． 【详解】解：由旋转的性质得：， ∵中，，，， ∴， ∴旋转过程中C点经过的路径是． 故答案为： 16. 如图，顶点A落在轴上，斜边上的中线轴于点D、O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点，若的面积为，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形中线的性质，面积法，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形的性质是解决问题的关键． 连接，依题意得，再根据和的公共边上的高相等得，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，据此可得的值． 【详解】解：连接，如下图所示： 在中，斜边上的中线轴于点，的面积为5， ，轴， 和的公共边上的高相等， ， 反比例函数经过直角顶点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 反比例函数的图象在第一象限， ． 故答案为：10． 三．解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或浣算步骤．） 17. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解下列方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂、算术平方根的意义进行计算，然后再加减； （2）因式分解解一元二次方程． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 则或， ，． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）在y轴上有一动点E，当最小时，求点E的坐标； （3）将一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值． 【答案】（1） （2） （3）或9 【解析】 【分析】（1）由一次函数过，利用待定系数法求出m的值，则得出A点坐标，由反比例函数（k为常数且）过A点，求出k值，即可得反比例函数解析式； （2）根据一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点，则，求出B点坐标，得到B关于x轴对称点，连接交y轴与E点，此时最小，求出的解析式即可求出结果； （3）设一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（）后为，与联立转化为一元二次方程，当时，只有一个交点，即可求b的值． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点， ∴当时，， ， ， 反比例函数解析式：； 【小问2详解】 根据题意可得：， 解得：， 则， 即， 关于x轴对称点， 连接交y轴与E点，此时最小， 设直线为：， 则， 解得：， 直线为：， 当时，， ； 【小问3详解】 设一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（）后为， 平移后的图象与反比例函数只有一个交点， ， 则， ， 解得：或， 故或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数交点的问题以及利用待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称求最小值的问题，函数图象的平移问题，理解题意是解决问题的关键． 19. 4月24日，2023年“中国航天日”主题展在滨湖国际会展中心主展馆举行，掀起了一股航天热．展后，某校在七、八年级举行了“航天点亮梦想”知识比赛．从七、八年级各随机抽取了10名学生的比赛成绩（百分制），成绩整理、描述和分析如下：（八年级成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 七年级10名学生的成绩数据是：96，83，96，87，99，96，90，100，89，84． 八年级10名学生成绩数据中，在C组中的是：94，90，92． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 96 34.4 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生成绩扇形统计 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次比赛中哪个年级成绩更稳定，并说明理由； （2）求出统计图中a的值以及表格中b的值； （3）该校七年级共680人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的七年级学生人数是多少？ 【答案】（1）七年级成绩更稳定，说明见解析 （2）， （3）人 【解析】 【分析】（1）根据方差的意义求解即可； （2）先求出八年级学生成绩落在组人数所占百分比，再根据百分比之和为求解可得的值，然后根据中位数的概念求的值即可； （3）用总人数乘以样本中成绩优秀的七年级学生人数对应的百分比即可． 【小问1详解】 解：∵七年级成绩的方差为，八年级成绩的方差为， ∴八年级成绩的方差大于七年级成绩的方差， ∴七年级成绩更稳定； 【小问2详解】 解：∵八年级学生成绩落在组人数所占百分比为， ，即； 八年级、组人数共有（人）， ∴八年级成绩的第、个数据分别为、， 所以八年级成绩的中位数； 【小问3详解】 解：根据样本中七年级优秀人数占比为， 估计名参加此次比赛成绩优秀的七年级学生人数是（人）． 【点睛】本题考查方差、中位数的意义和计算方法、扇形统计图，从统计图中获取数量之间的关系是解决问题的关键． 20. 如图，内接于，交于点D，交于点E，交于点F，连接，，． （1）求证：直线是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理以及角度和差关系即可求解； （2）连接并且延长交于点H，可得四边形是平行四边形，然后可证明，得出，根据三角形外角的性质得，再根据勾股定理可求和． 【小问1详解】 证明：连接、， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径，且， ∴直线是的切线． 【小问2详解】 解：连接并延长交于点H，则， ∵交于点D，交于点E，交于点F， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 在和 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴AC的长为． 21. 为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学年投资万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，年投资万元． （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从年到年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？ 【答案】（1）该学校为新增电脑投资的年平均增长率为% （2）该中学三年为新增电脑共投资万元 【解析】 【分析】（1）设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为，根据以后每年以相同的增长率进行投资，年投资万元，列出方程，求出方程的解即可． （2）根据（1）求出的增长率，就可求出年的投资金额，再把年，年和年三年的投资相加，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为，根据题意得： 解得：， (不合题意，舍去)． 答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为%． 【小问2详解】 解：年投资万元， 年投资：%万元． 该中学三年为新增电脑共投资：万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意把不合题意的解舍去． 22. 如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上． （1）求证：； （2）连接，若，F是的中点，求的长； （3）在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）先求出的长，再利用正方形的对角线求出； （3）过点作于点，先证明，可得，从而可得，再证明，即可得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∵由（1）可知，， 在中，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 23. 拓展探究 如图①，在中，，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴②， ∴． 请完成填空：① ；② ； （2）如图②，为线段上一点，连接并延长至点，使，连接，求证：； （3）学以致用：如图③，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用角的等量代换可解出①，利用相似三角形的比值关系可解出②； （2）证出得到，由（1）可得，推出，判定出即可求解； （3）证出得到，以点为圆心，为半径作，则，都在上，延长到，使，交于，证出，得到，即可推出点在过点且与垂直的直线上运动，过点作垂足为，即为最短的，连接，再利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ②∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，以点为圆心，为半径作，则，都在上，延长到，使，交于， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作垂足为，即为最短的，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期3月月考数学试题 一．单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 2. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 若a，b为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 4. 如图是一个小山坡的剖面图，现在要在这个山坡上植树，植树的工作人员发现，沿着山坡每走3米，垂直高度就上升1米，则这个小山坡的坡度为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 从鱼塘中捕得120条鱼，把他们作上记号后，再放回池中．经过一段时间后，再从池中捕得100条鱼，发现其中有记号的鱼10条，可以估计鱼塘中鱼的数量．（ ） A. 1000 B. 1200 C. 800 D. 2400 6. 如图，在中，弦所对的圆周角，，则的直径为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 二次函数的图象在这一段位于x轴的上方，在这一段位于轴的下方，则的值为（　　） A. B. C. D. ﹣1 8. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11. 抛物线可由抛物线平移得到，那么平移的步骤是（ ） A. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 12. 如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（ ） A. 矩形的面积 B. 四边形的面积 C. 的面积 D. 的面积 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 已知，那么__________． 14. 如图，点D，E分别在边，上，且，，，则的值是 ______ ． 15. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转到；使的对应边恰好在上，若，则旋转过程中C点经过的路径是______． 16. 如图，顶点A落在轴上，斜边上的中线轴于点D、O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点，若的面积为，则的值为______． 三．解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或浣算步骤．） 17. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解下列方程：． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）在y轴上有一动点E，当最小时，求点E的坐标； （3）将一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值． 19. 4月24日，2023年“中国航天日”主题展在滨湖国际会展中心主展馆举行，掀起了一股航天热．展后，某校在七、八年级举行了“航天点亮梦想”知识比赛．从七、八年级各随机抽取了10名学生的比赛成绩（百分制），成绩整理、描述和分析如下：（八年级成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 七年级10名学生的成绩数据是：96，83，96，87，99，96，90，100，89，84． 八年级10名学生成绩数据中，在C组中的是：94，90，92． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 96 34.4 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生成绩扇形统计 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次比赛中哪个年级成绩更稳定，并说明理由； （2）求出统计图中a的值以及表格中b的值； （3）该校七年级共680人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的七年级学生人数是多少？ 20. 如图，内接于，交于点D，交于点E，交于点F，连接，，． （1）求证：直线是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 21. 为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学年投资万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，年投资万元． （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从年到年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？ 22. 如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上． （1）求证：； （2）连接，若，F是的中点，求的长； （3）在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由． 23. 拓展探究 如图①，在中，，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴②， ∴． 请完成填空：① ；② ； （2）如图②，为线段上一点，连接并延长至点，使，连接，求证：； （3）学以致用：如图③，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $