精品解析：广西壮族自治区崇左市扶绥县金英学校2025-2026学年下学期 九年级数学3月学情自测

2026年扶绥县金英学校3月份九年级数学下册月考卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分．） 1. 如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的轴对称 C. 图形的相似 D. 图形的旋转 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的相似，根据把图形进行放大或缩小可判断出是图形的相似即可. 【详解】解：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似. 故选：C. 2. 在下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，注意掌握判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断.根据反比例函数的定义，（为常数，）进行判断． 【详解】解：∵ 反比例函数的形式为（为常数，）， A、，符合定义，故此选项符合题意； B、，是一次函数，故此选项不符合题意； C、，是正比例函数，故此选项不符合题意； D、，分母不是，不是反比例函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 若函数为反比例函数，则m的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义进行解答即可． 【详解】解：是反比例函数， 解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键． 4. 在反比例函数中，当x＝1时，y的值为（ ） A. B. C. 1 D. －1 【答案】A 【解析】 分析】x＝1时代入计算即可． 【详解】中，当x＝1时，． 故选A 【点睛】此题考查反比例函数，掌握自变量和因变量的关系式解题的关键． 5. 如果反比例函数的图象如图所示，那么二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据反比例函数的图象在一、三象限可得，再根据二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置即可作出判断． 由题意得，则可得二次函数的图象的开口向上，且对称轴． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系．本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，即可完成. 6. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数图象性质，当位于二、四象限时，，解不等式得解． 【详解】解：由题意， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质，一元一次不等式求解，由图象位置得出关于参数的不等式是解题的关键． 7. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边的比值，余弦等于邻边比斜边的比值，正切等于对边比邻边的比值是解题的关键． 根据正弦的定义解得即可． 【详解】解：． 故选：C 8. 如图，是的外接圆，为的直径，若，，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理，得， 则，求解即可； 【详解】解：连接， ∵与都对， ∴， ∵为的直径， ∴ 在中，，， 根据勾股定理得：， 则； 9. 如图，以坐标原点为圆心，半径为2弧交坐标轴于两点，是上－点（不与点重合），连接，已知，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】本题主要了解直角三角形，坐标与图形，作于点，解得到，，据此可得答案． 【详解】解：如图，作于点， 在中，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选D． 10. 圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A. 2πm2 B. 3πm2 C. 6πm2 D. 12πm2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′＝1m，再由圆环的面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵AC⊥OB，BD⊥OB， ∴△AOC∽△BOD， ∴，即， 解得：BD＝2m， 同理可得：AC′＝0.5m，则BD′＝1m， ∴S圆环形阴影＝22π﹣12π＝3π（m2）． 故选B． 【点睛】考查的是相似三角形的应用以及中心投影，利用相似三角形的对应边成比例得出阴影部分的半径是解题关键． 11. 如图，的半径等于6，其内接正六边形中，交于点交于点，则四边形的面积是（ ） A. 36 B. C. D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了内接于圆的正六边形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理和含的直角三角形的性质，熟练运用以上知识点是解决本题的关键． 如图，连接，根据内接正六边形的性质可得，是等边三角形，则，进而根据含的直角三角形的性质可得，最后结合菱形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 六边形是正六边形， ，，， 是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ， ， ， ， 同法可得， 四边形是菱形， 四边形的面积． 故选：C． 12. 如图，位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数的图象与有交点，则k的最大值是（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设直线y=x与BC交于E点，分别过A， E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M，求出A，E点坐标，即可求出k的取值范围，进一步可知k的最大值． 【详解】解：如图，设直线y=x与BC交于E点，分别过A. E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M， ∵A点的横坐标为1，A点在直线y=x上， ∴A(1,1)， 又∵AB=AC=2，轴，轴， ∴B(3,1)，C(1,3)，且为等腰直角三角形， BC的中点坐标为， 即为(2,2)， ∵点(22)满足直线y=x， ∴点(2,2)即为E点坐标，E点坐标为(2,2)， ∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4， 当双曲线与△ABC有交点时，1⩽k⩽4，即k的最大值为：4 故选：B 【点睛】本题考查一次函数与双曲线函数的综合，等腰直角三角形性质，中点坐标表示方法，解题的关键是求出E点坐标为(2,2)，利用点A，E坐标求出k的取值范围． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. ____（选填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数； 根据，锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可． 【详解】解：， ∵锐角的正弦值随着角度的增大而增大， ∴，即， 故答案为：＞． 14. 如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查位似的性质变换和相似三角形的性质，熟练掌握位似的相似变换和相似三角形面积的性质是解题的关键．先利用位似的性质得到，，推出，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于x的不等式的解集是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，关于原点对称的坐标特点，以及利用函数图象解不等式，根据一次函数图象和反比例反比例函数图象都是关于原点对称的，得出A和B关于原点对称，从而求出B点坐标，观察图象找出直线在双曲线的下方时x的范围即可解答． 【详解】解∶∵一次函数图象和反比例函数图象都是关于原点对称的， ∴A和B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为， 由图象可得，当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是或， ∴不等式的解集是或， 故答案为∶ 或． 16. 如图是带支架功能的某品牌手机壳，将其侧面抽象为如图所示的几何图形，已知，，，则点到的距离为__________（结果精确到，） 【答案】3.5 【解析】 【分析】作BF⊥AC于F，根据等腰三角形的性质和∠ABC=75°，求出∠ABF的度数，根据三角函数和AC=5.46cm求出BF的长，即点B到AC的距离． 【详解】解：作BF⊥AC于F， ∵∠C=45°， ∴∠CBF=45°， ∴BF=CF， ∵∠ABC=75°， ∴∠ABF=30°， ∴AF=BF， ∵AC=5.46cm， ∴BF+BF=5.46， 解得BF≈3.5cm． 即点B到AC的距离大约为3.5cm． 故答案为3.5． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，零指数幂，实数的运算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 当时，原式． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数中，求出m，再将点A代入反比例函数即可； （2）联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组即可解答． 【详解】解：（1）将代入一次函数中得： ， ∴，代入反比例函数中得：， 解得：k=4， ∴反比例函数解析式为； （2）联立一次函数与反比例函数解析式得： 解得：或， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 19. 如图，公路某地段安装了一个测速仪器，检测点在公路上方10的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用时间为0．9秒，已知，．（参考数据：，） （1）求、之间的距离； （2）如果此地段限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由． 【答案】（1）27m；（2）这辆汽车超速，见解析 【解析】 【分析】（1）根据AD⊥BC于D．则AD＝10m，求出CD、BD即可解决问题． （2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位； 【详解】（1）在中，∵, ， 在中，, , ， （2）结论：这辆汽车超速. 理由：， ∴汽车速度. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 20. 如图所示，和中，，，且平分． （1）求证：； （2）点是边的中点，连接和，和交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、直角三角形的性质、等腰三角形的性质． （1）根据角平分线的性质可知，根据，可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据等边对等角，可知，根据内错角相等，两直线平行，可证，从而可证，根据相似三角形的性质可以求出． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：点是边的中点，，， ， ， ， ， ， ． 21. 我国《道路交通安全法》第四十七条规定“机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人通过人行横道，应当停车让行”．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到行人时刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑马线的宽度是AB＝3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？ 【答案】0.7米 【解析】 【分析】直接利用已知得出∠BAC=∠BCA，则BC=AB，再得出BF的长，求出x的值即可． 【详解】解：如图所示：延长AB， ∵CDAB， ∴∠CAB=30°，∠CBF=60°， ∴∠BCA=60°﹣30°=30°，即∠BAC=∠BCA， ∴BC=AB=3m， 在Rt△BCF中，BC=3m，∠CBF=60°， ∴BF=BC=1.5m， 故x=BF﹣EF=1.5﹣0.8=0.7（m）， 答：这时汽车车头与斑马线的距离x是0.7m． 【点睛】考查了含30度角的直角三角形，正确得出BF的长是解题关键． 22. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米， （1）求大坝横截面的面积； （2）求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值） 【答案】（1）2800 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）首先根据坡度的概念求出米，米，进而求解即可； （2）首先根据勾股定理求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵迎水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米； ∵背水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米 ∴大坝横截面的面积为； 【小问2详解】 ∵，米，米， ∴米 ∵，米，米 ∴米 ∴周长为米． 23. 如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是将轴所在的直线绕着原点按逆时针方向旋转度角后得到的图形．若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点，，已知点，． （1）无论取何值，四边形的形状一定是_____． （2）当点的坐标为，四边形是矩形时，试求和的值． （3）试探究：四边形能不能是菱形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）平行四边形 （2）， （3）四边形不能是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形、菱形的性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像是一个中心对称图形． （1）由于反比例函数的图像是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图像的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则，又，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形的形状； （2）把点代入的图像上，即可求出p，根据矩形对角线相等，可求出m的值； （3）假设四边形为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知，且与互相平分，又在x轴上，所以应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，即可得答案． 【小问1详解】 解：点B与点D关于点O成中心对称，则，又， 四边形的形状一定是平行四边形； 【小问2详解】 点在的图像上， ， ， ， 又点B、D是正比例函数与反比例函数图像的交点， 点B、 D关于原点O成中心对称， ， 四边形为矩形，且， ， ； 【小问3详解】 点A、C的坐标分别为， 四边形的对角线在x轴上， 又点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点， 对角线与不可能垂直， 四边形不能是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年扶绥县金英学校3月份九年级数学下册月考卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分．） 1. 如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的轴对称 C. 图形的相似 D. 图形的旋转 2. 在下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数为反比例函数，则m的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 4. 在反比例函数中，当x＝1时，y的值为（ ） A. B. C. 1 D. －1 5. 如果反比例函数的图象如图所示，那么二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的外接圆，为的直径，若，，则等于（   ） A. B. C. D. 9. 如图，以坐标原点为圆心，半径为2的弧交坐标轴于两点，是上－点（不与点重合），连接，已知，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A. 2πm2 B. 3πm2 C. 6πm2 D. 12πm2 11. 如图，的半径等于6，其内接正六边形中，交于点交于点，则四边形的面积是（ ） A. 36 B. C. D. 24 12. 如图，位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数的图象与有交点，则k的最大值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. ____（选填“＞”或“＝”或“＜”） 14. 如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为___________． 15. 如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A坐标是，则关于x的不等式的解集是_______． 16. 如图是带支架功能某品牌手机壳，将其侧面抽象为如图所示的几何图形，已知，，，则点到的距离为__________（结果精确到，） 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标． 19. 如图，公路某地段安装了一个测速仪器，检测点在公路上方10的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用时间为0．9秒，已知，．（参考数据：，） （1）求、之间的距离； （2）如果此地段限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由． 20. 如图所示，和中，，，且平分． （1）求证：； （2）点是边的中点，连接和，和交于点，若，，求的长． 21. 我国《道路交通安全法》第四十七条规定“机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人通过人行横道，应当停车让行”．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到行人时刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑马线的宽度是AB＝3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？ 22. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米， （1）求大坝横截面的面积； （2）求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值） 23. 如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数图象可以看作是将轴所在的直线绕着原点按逆时针方向旋转度角后得到的图形．若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点，，已知点，． （1）无论取何值，四边形的形状一定是_____． （2）当点坐标为，四边形是矩形时，试求和的值． （3）试探究：四边形能不能是菱形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $