重难拓展专题04 解三角形中的最值与范围问题讲义（知识梳理+6题型）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

重难拓展专题：解三角形中的最值与范围问题 讲义 知识梳理 1. 核心定理 正弦定理：（为△外接圆半径） 作用：边与角互化，实现“边化角”“角化边”。 余弦定理：、， 作用：已知三边求角、已知两边及夹角求第三边、求最值核心工具。 面积公式： 作用：与正余弦定理结合，转化为单变量函数求最值。 辅助角公式：，其中 作用：统一三角函数，求最值。 2. 约束条件（必记） 角约束：△中，，且. 边约束： 锐角三角形约束： 3. 三大解题方法 函数法：边化角 → 三角恒等变换 → 利用单调性/值域求最值 不等式法：余弦定理 + 基本不等式 几何法：定边定角 → 轨迹为圆 → 几何直观判断范围 技巧总结归纳 1.求范围/最值三步走 ① 统一变量（全角或全边） ② 确定定义域（角范围/边范围） ③ 用函数单调性或基本不等式求解 2.优先选择策略 求周长、边长范围：优先正弦定理+三角函数 求面积最值：优先余弦定理+基本不等式 锐角三角形：必须满足所有角为锐角 3.高频易错提醒 忽略角范围，直接用 基本不等式不验证等号成立条件 锐角三角形只看一个角，漏判另外两个角 典例精讲 题型1：利用余弦定理 + 基本不等式求最值 典例 1 在 中，。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 周长的最大值。 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求的最大值，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由， 得 . 由正弦定理，可得. 由余弦定理，， 又角为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，得 ， 即 . 又，所以， 所以 （当且仅当时取等号）. 所以当为正三角形时，周长取得最大值，为9. 【技巧点拨】定角 + 对边定值 → 用余弦定理+基本不等式求周长/面积最值。 变式 1 在中，A，B，C所对应的边为a，b，c，点D是的中点，且，． (1)求的值； (2)求a及周长的取值范围． 【分析】（1）根据平面向量线性运算可得，两边平方求解即可； （2）利用余弦定理可得：，结合基本不等式即可求出范围，从而得到周长范围. 【详解】（1）因为在中，点是的中点， 所以， 可得， 则， 即， 解得：； （2）由，可得：， 由余弦定理可得：，故， 由于，解得：， 所以，当且仅当时等号成立， 又因为 即， 所以， 则周长的取值范围为. 【易错提醒】求范围必须同时满足三角形三边关系，不能只看不等式。 题型2：正弦定理 + 三角函数求范围（锐角三角形必考） 典例 2 在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解. （2）由即可求解. （3）余弦定理可得，所以，令，则，即，即，所以，解得，即可得解. 【详解】（1）若则，由余弦定理得 （2），， 即：， 化简得：. （3）由余弦定理：且，， 可得，， 而， 令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，所以，解得. 所以最大值为. 【技巧点拨】面积出现 结构 → 用辅助角公式+有界性求最值。 变式 2 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)求A； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 【分析】（1）由题设及正弦定理可得，即，根据，可得角A； （2）由正弦定理可得，从而，由为锐角三角形，得，即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 因为B为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）由正弦定理可得， 所以， 故， 而因为为锐角三角形， 故，解得， 从而，所以， 故的取值范围是. 【易错提醒】锐角三角形三个角都必须是锐角，只看一个角会错。 题型3：已知一边及对角，求周长/面积范围 典例 3 在 中，，。求周长最大值。 【解析】 由 ： 周长 。 【技巧点拨】定角 + 定边 → 余弦定理+均值不等式是最快解法。 题型4：四边形面积最值 典例 4 已知平面四边形中，，若，的面积为． (1)求的长； (2)求四边形周长的最大值． 【分析】（1）由的面积求得，再由余弦定理求的长； （2）与已知，由余弦定理求的最大值，即可得四边形周长的最大值． 【详解】（1）在中，由题意有，解得， 又由余弦定理得， 所以 ． （2），，设， 四边形周长设为，则，由题可知，， 在中，由余弦定理得( ， 则 所以，即 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 ，即四边形周长的最大值为 【技巧点拨】四边形拆成两个三角形 → 用三角平方关系求最值。 题型5：内切圆/外接圆最值 典例 5 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，求的面积S的取值范围； (3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 【分析】（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式化简后可求得进而可求； （2）由三角形的面积，利用正弦䆙理求得，可求的面积S的取值范围； （3）利用正余弦定理求得，利用基本不等式可求得，利用三角形面积可求得，再结合的关系可求得的最大值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， ， ， ， 又， ．· （2）由，得． 由正弦定理得， 则． 又为锐角三角形， 得， 则，即， ，于是， 即的面积S的取值范围为．· （3）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r． 由（1）如，． 由余弦定理得，即， ， ．· ， （当且仅当时，等号成立）．· ， · （当且仅当时，等号成立）． 显然此时为等边三角形，满足题意， 故内切圆半径的最大值为． 课堂小结 1.求最值两条主线 边：余弦定理 + 基本不等式 角：正弦定理 + 三角函数值域 2.范围题关键 三角形内角和 三边关系 锐角三角形：三个角都为锐角 3.易错点 不验证等号成立条件 角范围扩大化 漏判锐角条件 题型一 已知边角关系求角或边的最值或取值范围 1．已知的内角的对应边分别为，，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据正弦定理得，再结合求解即可. 【详解】解： 由正弦定理得， 因为，所以， 所以当时，有最小值. 故选：C 2．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即A的最大值为． 故选：B． 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及余弦定理可得，再由及基本不等式求C的范围，进而求的最大值. 【详解】由余弦定理，，即， 而，当且仅当时等号成立， 又，则，故， 所以的最大值是. 故选：B 4．在中， 角A， B，C所对的边分别为a， b， c，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题设，根据正弦定理及同角三角函数的基本关系可得，进而根据两角差的正切公式及基本不等式求解即可. 【详解】由，显然，则均为锐角， 根据正弦定理得， 两边同时除以，得， 则，即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则时，取得最大值， 即取得最大值. 故选：A. 5．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换可得，由三角形形状得出角的取值范围可得结果. 【详解】由及正弦定理得， 所以，得， 所以或（舍去），所以， 因为是锐角三角形，故，解得， 故，， . 故选：D 6．（多选）在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由正弦定理将条件转化为角的关系，判断A，结合内角和定理和条件及余弦函数的性质判断B，C，由余弦定理将条件转化为边的关系，判断D. 【详解】因为，由正弦定理可得 ， 所以， 又为锐角三角形，所以，， 所以，正弦函数在上单调递增， 所以，所以，A正确； 因为为锐角三角形，所以，，， 所以，，， 所以，B正确； 因为，所以， 所以， 所以，因为， 所以，C错误； 因为，由余弦定理可得 ， 所以， 所以，D正确， 故选：ABD. 7．（多选）锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则（    ） A． B．的取值范围是 C． D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由正弦定理结合三角恒等变换得出，再由锐角三角形的定义得出，再由求解即可. 【详解】由正弦定理可知，，，，即，所以，，因为是锐角三角形，所以，解得， 故选：ABD 8．（多选）设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若的面积为，则以下结论中正确的是（    ） A．取不到最小值2 B．的最大值为4 C．角C的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据三角形得面积公式及余弦定理化简可得，再结合基本不等式即可判断AB；从而可求出得范围，即可判断C；利用正弦定理化边为角，再结合三角恒等变换即可判断D. 【详解】解：，∴， ，∴， ，∴， 因为，当且仅当，即时，取等号， 此时可取到，故A错； 当时，，∴，故B对； ∵，∴，∴，即角C的最大值为，故C对； ，其中，故可令， 由，得，且有解， 所以， 即的最小值为，故D对． 故选：BCD． 9．在中，已知，且，则的取值范围为 ． 解题思路：秒杀技巧:，最大值是等边 大题解法：由余弦定理得 解得，当且仅当时取等号，又（三角形两边之和大于第三边），因此 10.已知为锐角三角形，是角分别所对的边，若，且，则的取值范围是 ． 【答案】【详解】在锐角中，由，得，即，由正弦定理得，而，则，又，则有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，则，由，得，即，于是，所以的取值范围是.故答案为： 11．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用三角形面积相等，推得，再利用“乘1”法和基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，因，则可得， 即，化简得， 因，则 ， 当且仅当时，即时，取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由明确边上的高等于边的一半，做出边上的高，设，用表示出，再结合换元法和基本不等式，求的最大值. 【详解】如图： 过作于. 因为，所以. 设，则 设，则 若，则；若，则； 当时， （当且仅当即时取“”）. 所以 故答案为： 13．已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【分析】（1）利用辅助角公式求解即可； （2）先利用三角形的面积公式求出，再根据余弦定理结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 14．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 ，利用正弦定理角化边得，又，，则，又为锐角三角形，故. （2）由正弦定理得，，由于为锐角三角形，则，又，解得，所以，而，即，，故的取值范围为. 15．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角A的大小． (2)若，求c的取值范围． 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可得，结合余弦定理即可求解； （2）根据正弦定理结合两角和的正弦公式，即可由得，即可求解. 【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得， 即．整理得． 由余弦定理，得． 又因为，所以． （2）由正弦定理，得． 又，，所以． 因为为锐角三角形，所以 解得． 所以，则， 所以，即c的取值范围为 16．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）根据（1）的结论及三角的内角和定理，利用正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，结合锐角三角形求出角的范围及正切函数的性质即可求解. 【详解】（1）由及余弦定理，得， 由锐角，知， 所以． （2）由（1）知，得，故， 由正弦定理，得， 由为锐角三角形得解得， ∴， ∴．故的取值范围为. 17．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，再利用三角形的面积公式进行求解即可. （2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，再结合角的范围进行计算即可. 【详解】（1）根据题意，以及正弦定理可得， 因为 ，因为，所以， 所以，又，所以， 由余弦定理可得，可得， 即，因为，所以， 所以. （2）由正弦定理可得，因为，所以， 因为角为钝角，所以，可得，则，，即， 所以的取值范围为. 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求B． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后可利用余弦定理求得结果； （2）首先根据正弦定理表示，再结合三角函数恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1） 由正弦定理得： ， ，， （2）， 由正弦定理得， ， ， 所以的取值范围为 19．在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）结合是锐角三角形可得，进而根据正弦定理、两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系化简可得，进而根据正切函数的性质求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得， 则， 所以， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. （2）因为是锐角三角形，且由（1）知， 所以，即，解得， 由正弦定理得： ， 因为，所以， 又，则， 所以，则， 所以的范围为. 20．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由正弦定理可得，，进而化简可得，结合的范围，可得，设，进而利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，则， 则， 根据正弦定理得，， 因为，所以，则， 又，所以. （2）由正弦定理得，， 则，， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以， 设，， 则， 所以时，． 21．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)若，求出的值； (2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围． 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由立方差公式及余弦定理求出，由将弦化切，利用两角和的正弦公式求出，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得； （2）由正弦定理得到，再转化为角的三角函数，结合正切函数的性质求出的取值范围. 【详解】（1）因为由正弦定理可得， 即，因为，所以， 所以，因为，所以， 由，所以， 所以，所以， 即，所以，所以， 因为，所以， 所以 . （2）因为为锐角三角形，且，所以， 所以，解得， 又，由正弦定理， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 即边长的取值范围为. 22．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，______． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 【分析】（1）根据题意，选择①②③用正弦定理或余弦定理求得； （2）根据是锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦定理建立边与角的式子即可. 【详解】（1）若选条件①，由正弦定理得， 所以， 即， 因为，所以． 若选条件②，由余弦定理， 所以， 即，， 所以， 因为，所以． 若选条件③，由正弦定理得， 所以， 又因为, 所以，又， 所以，因为，所以． （2）因为是锐角三角形，， 所以，所以， 由正弦定理可得， ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为． 题型二 三角形周长的最值与取值范围问题（高频考点） 1．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D【详解】在中，由及正弦定理，得，而，则，而，整理得，又，解得，由余弦定理，得，解得，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为9.故选：D 2.在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为，根据正弦定理得，，因为为锐角，所以，所以，即，而A为锐角，所以，因为根据正弦定理，所以，因为三角形周长为，又因为，所以，所以，因为，即，所以，即，，所以.故选：C. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A= ，△ABC周长的最大值为 . 【答案】 9【详解】已知向量，，则，则，所以，则，所以，又，故且，所以，又，则；由余弦定理有：，则，由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即，所以，则，当且仅当且，即时等号成立，故三角形周长的最大值为故答案为：； 4．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据已知等式结合余弦定理从而得角的大小，再根据正弦定理边化角，将三角形周长转换为正弦型函数，根据三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，整理可得， 所以，因为，所以． 由正弦定理得，所以，， 所以的周长为 ， 因为，则，所以， 所以，即周长的取值范围为． 故答案为：． 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)设，求周长的最大值． 【详解】（1）在中，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以. （2）由（1）知，，，又，则，于是，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为. 6． 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，， 所以周长的最大值为． 7．已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 【详解】（1）∵，由正弦定理可得：，由余弦定理知：，，可得，则有，由，解得. （2）中由余弦定理知，又在中有，∴，化简得，∵，∴.又，由正弦定理得：，，，因在中，，，，所以，当时，等号成立，∴周长的取值范围是． 8．已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值； (2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值. 【分析】（1）由等差数列的性质把用表示，然后由余弦定理可求得； （2）设B＝θ，求出外接圆半径后由正弦定理把用表示，从而把三角形周长表示为的函数，由三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数后，利用正弦函数性质得最大值． 【详解】（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2， ∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4， ∵C＝，由余弦定理得 cos ＝＝＝－， 整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2， 又a＝c－4>0，则c>4，∴c＝7. （2）设B＝θ，外接圆的半径为R，则πR2＝π， 解得R＝1，由正弦定理可得 ＝＝＝2R＝2， ∴＝＝＝2， 可得b＝2sin θ，a＝2sin ，c＝， ∴△ABC的周长＝2sin θ＋2sin ＋ ＝2sin θ＋2sin cos θ－2cos sin θ＋ ＝sin θ＋cos θ＋＝2sin ＋， 又θ∈，∴<θ＋， ∴当θ＋＝，即θ＝时，△ABC的周长取得最大值2＋. 9．已知内角的对边为，点是的内心，若． (1)求角； (2)延长交于点，若，求的周长； (3)求的取值范围． 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，求出角的值. （2）利用三角形面积相等得到，然后利用余弦定理，通过化简可求得的值，从而得到三角形的周长. （3）首先根据三角形面积相等求出内切圆半径的表达式，然后利用余弦定理求出的关系，进而可得到与的表达式，最后利用基本不等式的性质求出范围进而求出的范围. 【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得， 化简得. 因为，所以. 所以，因为，所以. （2）如图，， 所以， 化简得：①. 根据余弦定理得②， ①②联立方程组解得：. 解得，又，所以. 所以的周长为. （3）令三角形内切圆半径为. 因为. . 所以，解得. 因为，所以. 根据余弦定理得：， 即，故‘ 又，解得， 故， 综上，的取值范围为. 题型三 三角形面积最值/范围（高频核心） 1．在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 【答案】C 【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由，由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以， 当，即时，取得最大值. 故选：C. 2．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理及两角和的正弦公式得，代入“三斜求积”公式，利用二次函数求解最值. 【详解】因为，所以， 所以， 由正弦定理得，又，所以 ， 所以当即时，面积的最大值为. 故选：B 3．在中，角，，的对边分别是，，，满足. (1)求角； (2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值. 【分析】（1）由余弦定理边角化即可求解， （2）由面积公式以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由可得：， 由余弦定理知，， 又，因此.- （2）∵ ，即 ， ∴ ≥ ∴ab≥，当且仅当b=2a，即a=，b=取等号 ∴=≥ ∴△ABC面积的最小值为 4．的内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【分析】（1）切化弦，利用正弦定理将已知等式统一用角表示，再利用两角和与差的正、余弦公式整理可得角. （2）把的面积表示为的形式，代入已知量利用正弦定理将面积统一用角、表示，再利用角、的关系消元转化为求一元函数的值域. 【详解】（1）解：根据题意， 由正弦定理得， ， ，故， . （2）因为是锐角三角形，由（1）知得到， 故，解得. 又由正弦定理得： 又， 故.故的取值范围是 5．在中，内角所对的边分别为，设， (1)求角； (2)若，且，求面积的最大值. 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，化简得到，得到，进而求得的大小； （2）解法一：由余弦定理化简得到，再根据，化简得到，两式联立，结合基本不等式，求得，进而的面积的最大值； 解法二：延长至，使，连，在中，由余弦定理和基本不等式求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 整理得， 可得， 即， 因为，则，所以， 可得，即， 又因为，可得，所以，所以. （2）解法一：在中，由余弦定理得，即，① 因为，所以且，即， 在和中，由余弦定理可得， 即，即，② 联立①②消去，可得， 因为，当且仅时，等号成立，所以，即， 所以的面积. 故面积最大值为. 解法二：延长至，使，连，则且， 可得， 在中，由余弦定理得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，所以的面积. 故面积最大值为.    6.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 在中，内角、、的对边分别是、、，且满足 （填条件序号）. (1)求角； (2)，求的最大值. 注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 【详解】（1）解：若选①，解题思路：看到既有边又有角，要统一为角或者边。 因此本题因为，由正弦定理可得，因为、，则，，所以，，所以，，故； 若选②，解题思路：都是正弦想到化为边即为边的平方的关系，再用余弦定理。 因此本题因为，由正弦定理可得，所以，，由余弦定理可得，因为，故； 若选③，解题思路：看到既有边又有角，要统一为角或者边，看到三个角的关系要想到化为两个角 因此本题，由正弦定理可得，所以，，因为、，则，则，即，可得，因为，则，所以，，故. （2）秒杀技巧：等边三角形面积最大， 大题解题步骤：因为，由余弦定理可得，由基本不等式可得，即，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 7.中角所对的边分别为，其面积为，且. (1)求； (2)已知，求的取值范围. 【详解】（1）因为三角形的面积为，则，所以，又，则； （2）由于，所以，即，取等号，故，故 8.已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 【详解】（1）解：因为，所以，，且，由正弦定理可得，即，因为，则，则，又因为，故. （2）解：由余弦定理，可得.当且仅当时取得等号，所以.所以，面积，所以，面积的最大值为． 9.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且． (1)求角A； (2)若，求面积的取值范围． 【详解】（1）因为，可得，由正弦定理得，又因为，可得，且，则，可得，则，又因为，则，可得，所以． （2）由正弦定理，可得，则面积 ，因为为锐角三角形，故，解得，所以，则，可得，所以的取值范围为． 10.已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 【详解】（1）函数，所以函数的最小正周期为，由，可得，即有函数的单调递增区间为. （2）若为锐角的内角，且，可得，由，可得，则，即.由正弦定理得，，所以，所以面积 ，又因为为锐角三角形，则，即，解得，所以，所以，所以.故面积的取值范围是. 11．如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.    (1)若为锐角三角形，求的取值范围； (2)若，，求面积的最大值. 【分析】（1）利用正弦定理得，又，进而得，即可求，由为锐角三角形，即可求解； （2）设得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，即，利用三角恒等变换即可得最大值，进而求解. 【详解】（1）由，由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，所以， 故，解得（舍）或， 因为，所以，得， 因为为锐角三角形，所以， 故，得， 所以的取值范围为. （2）因为， 所以当取得最大值时，的面积取得最大值， 设，因为， 所以， 在中，由正弦定理得，得， 在中，由正弦定理得，得， ， 其中， 所以当时，取得最大值， 所以面积的最大值为. 题型四 四角形面积最值/范围（压轴） 1．在平面四边形中，，则四边形的面积的最大值为 ． 【答案】6 【分析】在中，利用正弦定理可得，进而可求得的面积，在中，由余弦定理可得，进而可得的面积，即可得结果. 【详解】在中，由正弦定理，可得， 所以的面积； 在中，由余弦定理， 当且仅当时，等号成立， 即，且，则， 所以的面积； 显然当B、D位于直线AC的两侧时，四边形ABCD的面积较大， 此时四边形的面积. 所以四边形的面积的最大值为. 故答案为：6. 2．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【分析】（1）连接，在中与中分别使用余弦定理，从而可得的值，再根据三角形面积公式求解四边形的面积； （2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）连接BD，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，则， 从而， 因此四边形ABCD的面积为：． （2）连接BD．在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 因为，所以， 四边形ABCD的面积， 则①， 由，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值． 3．如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【分析】（1）先在用余弦定理求长度，再根据等腰三角形性质求，进而得，然后在用正弦定理求，结合几何情况确定大小. （2）把四边形面积拆成与面积之和，根据范围求面积最大值. 【详解】（1）由已知，，得， 所以，得. 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理得， 得， 因为，所以，所以， 所以. （2）由已知得，所以， 在中 所以， 又因为，得， 所以四边形面积 所以， 因为，所以， 当时，即时，. 4．如图，平面四边形中，，记. (1)用表示； (2)求四边形面积的范围； (3)当为何值时，. 【分析】（1）借助正弦定理可得，再借助四点共圆性质可得，从而可得，最后再用正弦定理即可得解； （2）法一：由，则可先借助面积公式计算出，再利用同弧所对的圆周角相等，结合面积公式，用表示出，再利用范围得到范围即可得解；法二：由，则可结合三角形面积公式用表示出从而得解； （3）法一：借助面积公式计算可得，则，解出即可得；法二：借助相交弦定理与三角形面积公式计算可得，则，即可得，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，有， 即，又，故， 又因为，所以四点共圆， 则， 由于，所以根据正弦定理， 有，即； （2）解法一：， 因为，所以， 因同弧所对的圆周角相等，， ， 由于，所以， 故； 解法二：， 因为是直径，所以， 又因为，所以， ， 由于，所以， 则； （3）法一：， ， ， ， 因为，所以， 又因为，所以， 从而，即时，； 法二：， 因为， 所以；根据相交弦定理，， 两式相除，得，即， 在中，，即，此时. 题型五 外接圆 / 内切圆最值（压轴） 1．的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【详解】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D 2．已知为锐角三角形，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，． (1)求角B； (2)求的内切圆半径r的最大值． 【分析】（1）整理题干中的等式，根据余弦定理，可得答案； （2）由题意明确内角的取值范围，利用正弦定理以及三角函数的恒等式，可得三角形的周长范围，根据三角形的面积计算，整理内切圆半径的函数解析式，可得答案. 【详解】（1）因为，则， 可得，由余弦定理可得， 因为为锐角，故， （2）因为为锐角三角形，则，解得， 因为 ， 因为，则，故， 故， 又，则，由， 得， 则当，即时，， 所以的内切圆半径的最大值． 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 (1)求A； (2)求周长的最大值. 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示得，代入已知等式，结合正余弦边角关系得，最后由三角形内角性质求角的大小； （2）由（1）得，，再由正弦定理可得，结合基本不等式求周长最大值，注意取值条件. 【详解】（1）已知向量， 则， 则， 所以， 则， 所以， 又， 故且， 所以， 又， 则； （2）由（1）知：， 则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为， 则， 即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 4.在锐角中，角的对边分别是，且. (1)求； (2)若外接圆的半径是1，求面积的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，则，因为是锐角三角形，所以，则，所以，所以； （2）因为外接圆的半径是1，所以，则，所以，因为是锐角三角形，所以，所以，则，故面积的取值范围是. 5.已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，又由余弦定理得，又因为，所以. （2）方法一：因为外接圆的直径为，由正弦定理得，则，由余弦定理得，因为，所以，即，由三角形性质知，当且仅当时，等号成立，所以，故周长的取值范围为.方法二：因为外接圆的直径为，由正弦定理得，则，因为，可得，所以，所以，故周长的取值范围为. 6.在△中，角所对的边分别为且． (1)求△的外接圆半径； (2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，由，可得：，即，又，所以，所以，，所以，所以△的外接圆半径为. （2）由（1）知，，由正弦定理有，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，所以，则，所以周长的取值范围为． 7．在中，角所对的边分别为. (1)若外接圆的半径为，求面积的最大值； (2)若内切圆的半径为，求面积的最小值. 【分析】（1）由条件可得角，用面积公式表示出面积，用余弦定理找到、的关系式，然后用基本不等式即可求解； （2）求得角后，由内切圆的半径为，可得边长的关系式，然后用基本不等式化和为积，进而解不等式即可求解. 【详解】（1）由得，， 所以，又，所以， 所以，因为，所以； 由外接圆的半径为，则得， 由余弦定理得，，即， 所以，解得 所以，故面积的最大值为. （2）如图，圆是的内切圆，切点分别是、、，    由，内切圆的半径为，所以， 则，， 所以， 即得， 而，所以， 所以，解得舍去）， 所以， 故面积的最小值为. 题型六 与实际问题有关的最值或取值范围问题 1．如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边. (1)若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离； (2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点，，（，，分别是，，中点）.设，，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，求甲乙之间的最小距离，并指出此时的值. 【分析】（1）先设乙出发后的第末甲在D处，乙在E处，得出，，由余弦定理可得答案. （2）先得出，，由正弦定理可以把表示为的函数，由三角函数的性质得出最值. 【详解】（1）在，，由，得， 设乙出发后的第末甲在D处，乙在E处，则，， 由余弦定理，得，解得， 所以乙出发后的第末甲乙之间的距离为. （2）由（1）知，，， 在中，，则， ，，则， 由，即，得， 因此，，所以当时，y取最小值. 2．（25-26高三上·上海·月考）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【详解】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即 ； （2）设，由， 故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 3．为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为2千米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为2千米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园成四边形OACB，如图所示．    (1)若OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少千米？ (2)B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？并求出公园OACB的面积最大值. 【分析】（1）根据题意得到,，，利用两角差的余弦得到，再利用余弦定理求解即可. （2）首先根据面积公式得到，，从而得到，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）连接，如图所示：    因为,，则. 又因为为等腰直角三角形，为直角，所以, 所以，. . , 所以千米. （2）， ，所以. . 所以. 当时，即，时，. 4．如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 【分析】（1）根据平面几何的知识求解即可； （2）①利用余弦定理及基本不等式求解面积的最大值即可；②运用正弦定理将表示出来，求其范围，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）（1）在 中, , 所以 ， 因为 , 所以 即 是直角三角形, 所以 （2）①在 中, 由余弦定理知, 所以 即 ，当且仅当 时，等号成立, 所以 面积 故 面积的最大值为 . ②在 中, 由正弦定理知 所以 因为 为锐角三角形, 所以 , 解得 , 所以 , 所以 , 所以 面积 故 面积的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难拓展专题：解三角形中的最值与范围问题 讲义 知识梳理 1. 核心定理 正弦定理：（为△外接圆半径） 作用：边与角互化，实现“边化角”“角化边”。 余弦定理：、， 作用：已知三边求角、已知两边及夹角求第三边、求最值核心工具。 面积公式： 作用：与正余弦定理结合，转化为单变量函数求最值。 辅助角公式：，其中 作用：统一三角函数，求最值。 2. 约束条件（必记） 角约束：△中，，且. 边约束： 锐角三角形约束： 3. 三大解题方法 函数法：边化角 → 三角恒等变换 → 利用单调性/值域求最值 不等式法：余弦定理 + 基本不等式 几何法：定边定角 → 轨迹为圆 → 几何直观判断范围 技巧总结归纳 1.求范围/最值三步走 ① 统一变量（全角或全边） ② 确定定义域（角范围/边范围） ③ 用函数单调性或基本不等式求解 2.优先选择策略 求周长、边长范围：优先正弦定理+三角函数 求面积最值：优先余弦定理+基本不等式 锐角三角形：必须满足所有角为锐角 3.高频易错提醒 忽略角范围，直接用 基本不等式不验证等号成立条件 锐角三角形只看一个角，漏判另外两个角 典例精讲 题型1：利用余弦定理 + 基本不等式求最值 典例 1 在 中，。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 周长的最大值。 变式 1 在中，A，B，C所对应的边为a，b，c，点D是的中点，且，． (1)求的值； (2)求a及周长的取值范围． 题型2：正弦定理 + 三角函数求范围（锐角三角形必考） 典例 2 在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 变式 2 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)求A； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 题型3：已知一边及对角，求周长/面积范围 典例 3 在 中，，。求周长最大值。 题型4：四边形面积最值 典例 4 已知平面四边形中，，若，的面积为． (1)求的长； (2)求四边形周长的最大值． 题型5：内切圆/外接圆最值 典例 5 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，求的面积S的取值范围； (3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 课堂小结 1.求最值两条主线 边：余弦定理 + 基本不等式 角：正弦定理 + 三角函数值域 2.范围题关键 三角形内角和 三边关系 锐角三角形：三个角都为锐角 3.易错点 不验证等号成立条件 角范围扩大化 漏判锐角条件 题型一 已知边角关系求角或边的最值或取值范围 1．已知的内角的对应边分别为，，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．6 2．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 4．在中， 角A， B，C所对的边分别为a， b， c，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则（    ） A． B．的取值范围是 C． D．的取值范围是 8．（多选）设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若的面积为，则以下结论中正确的是（    ） A．取不到最小值2 B．的最大值为4 C．角C的最大值为 D．的最小值为 9．在中，已知，且，则的取值范围为 ． 10.已知为锐角三角形，是角分别所对的边，若，且，则的取值范围是 ． 11．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 . 13．已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 14．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 15．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角A的大小． (2)若，求c的取值范围． 16．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 17．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求B． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 19．在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 20．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 21．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)若，求出的值； (2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围． 22．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，______． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 题型二 三角形周长的最值与取值范围问题（高频考点） 1．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．9 2.在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A= ，△ABC周长的最大值为 . 4．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为 ． 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)设，求周长的最大值． 6． 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 7．已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 8．已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值； (2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值. 9．已知内角的对边为，点是的内心，若． (1)求角； (2)延长交于点，若，求的周长； (3)求的取值范围． 题型三 三角形面积最值/范围（高频核心） 1．在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 2．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．6 D． 3．在中，角，，的对边分别是，，，满足. (1)求角； (2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值. 4．的内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 5．在中，内角所对的边分别为，设， (1)求角； (2)若，且，求面积的最大值. 6.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 在中，内角、、的对边分别是、、，且满足 （填条件序号）. (1)求角； (2)，求的最大值. 注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 7.中角所对的边分别为，其面积为，且. (1)求； (2)已知，求的取值范围. 8.已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 9.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且． (1)求角A； (2)若，求面积的取值范围． 10.已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 11．如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.    (1)若为锐角三角形，求的取值范围； (2)若，，求面积的最大值. 题型四 四角形面积最值/范围（压轴） 1．在平面四边形中，，则四边形的面积的最大值为 ． 2．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 3．如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 4．如图，平面四边形中，，记. (1)用表示； (2)求四边形面积的范围； (3)当为何值时，. 题型五 外接圆 / 内切圆最值（压轴） 1．的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 2．已知为锐角三角形，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，． (1)求角B； (2)求的内切圆半径r的最大值． 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 (1)求A； (2)求周长的最大值. 4.在锐角中，角的对边分别是，且. (1)求； (2)若外接圆的半径是1，求面积的取值范围. 5.已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 6.在△中，角所对的边分别为且． (1)求△的外接圆半径； (2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围． 7．在中，角所对的边分别为. (1)若外接圆的半径为，求面积的最大值； (2)若内切圆的半径为，求面积的最小值. 题型六 与实际问题有关的最值或取值范围问题 1．如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边. (1)若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离； (2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点，，（，，分别是，，中点）.设，，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，求甲乙之间的最小距离，并指出此时的值. 2．（25-26高三上·上海·月考）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 3．为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为2千米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为2千米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园成四边形OACB，如图所示．    (1)若OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少千米？ (2)B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？并求出公园OACB的面积最大值. 4．如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $