精品解析：重庆市第一中学校2026届高三下学期3月月考数学试卷

2026届重庆市第一中学高三3月月考（六） 数学试题卷 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上. 写在本试卷及草稿纸上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 如图 1， 这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶， 忽略花瓶的厚度， 该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线(焦距为)的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 3. 已知向量 ，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数满足，则（ ） A. 有最小值1 B. 有最大值1 C. 有最小值2 D. 有最大值2 5. 已知为偶函数，则实数（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 与曲线和圆都相切的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 二、多项选择题 (本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多个选项 是符合题目要求的， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 已知这四个数成等差数列，现有样本数据，则（ ） A. 的极差一定大于的极差 B. 的平均数一定等于的平均数 C. 的中位数一定小于的中位数 D. 的方差一定小于的方差 10. 已知定义在上的可导函数满足：，若单调递增数列满足：，则（ ） A. 的通项公式可能是 B. 的通项公式可能是 C. 函数是增函数 D. 若，则 11. 已知椭圆上任意一点到左焦点的距离为，到右焦点的距离为 (其中为椭圆的离心率). 若分别是椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于的任意一点，为椭圆所在平面上的动点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为3 B. 若点的横坐标为，则的角平分线与轴交点横坐标为 C. 若外接圆的圆心在外，则 D. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知正项等比数列满足，且，则公比为_____. 13. 若的展开式中的常数项为1，则_____. 14. 已知实数，函数，若，则取最大值时，点到直线的距离为_____. 四、解答题 (本题共5小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 在中，内角对边的边长分别是，已知. （1）若满足已知条件的恰有一个，求边长的取值范围； （2）若，求的面积. 16. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点. （1）求证: 平面； （2）若，且平面与平面的夹角余弦值为，求侧棱的长度. 17. 某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. （1）现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; （2）将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 18. 设抛物线的焦点为是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）过抛物线的焦点作与垂直的直线，若直线与抛物线相交于，两点， ①求的最小值； ②设，分别是，的中点，过焦点作直线的垂线，垂足为，求证：存在一个定点，使得为定值. 19. 已知函数. （1）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程的根为， ①求证: ； ②判断数列中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届重庆市第一中学高三3月月考（六） 数学试题卷 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上. 写在本试卷及草稿纸上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 如图 1， 这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶， 忽略花瓶的厚度， 该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线(焦距为)的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，该双曲线的焦距为，实轴长， 则， 所以该双曲线的离心率为. 2. 已知集合，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得或， 所以是的必要而不充分条件. 3. 已知向量 ，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，则， 所以. 4. 已知复数满足，则（ ） A. 有最小值1 B. 有最大值1 C. 有最小值2 D. 有最大值2 【答案】A 【解析】 【详解】设，则， 由，得，解得， 则，当且仅当时等号成立， 所以有最小值1，无最大值. 5. 已知为偶函数，则实数（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，函数为偶函数， 则，即， 则， 即， 因不恒为0，则，解得. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由， 而，， 则，又，则， 又，， 即，故， 所以. 7. 在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定球心O的位置，再利用几何法求出球心O到平面PBC的距离为，再利用等体积法求解即可. 【详解】设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE，则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的垂线， 取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线，则与的交点即为球心O， 在正中，，，得， 又，即， 则，，， 由余弦定理得，则， 过O作PE的垂线，垂足为G，由，， 因为，PA，平面，所以平面， 又平面PBC，则平面平面， 又平面平面，平面，因此平面PBC， 在中，， 所以球心O到平面PBC的距离为， 则三棱锥的体积为， 而，设点到平面的距离为， 由，得，解得， 则点到平面的距离为. 8. 与曲线和圆都相切的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义可得直线的方程为，再根据直线与圆相切，可得，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，则， 所以直线的方程为，即， 而圆，即的圆心为，半径， 由于直线与圆相切，则，即， 设， 则， 由于方程的根为，即一个根在内，另一个根在内， 因此，令，得，解得或， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则，， 又时，，时，， 根据零点存在性定理，可知函数在，，上分别有一个零点， 所以满足条件的直线有3条. 二、多项选择题 (本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多个选项 是符合题目要求的， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 已知这四个数成等差数列，现有样本数据，则（ ） A. 的极差一定大于的极差 B. 的平均数一定等于的平均数 C. 的中位数一定小于的中位数 D. 的方差一定小于的方差 【答案】AB 【解析】 【详解】由题意，的极差为， 的极差为， 而，则， 所以的极差一定大于的极差，故A正确； 而的平均数为， 的平均数为， 所以的平均数一定等于的平均数，故B正确； 而的中位数为，的中位数为， 由于，因此两者相等，故C错误； 由，且和的平均数相等， 相对来说比的数据更集中一些，因此的方差一定大于的方差，故D错误. 10. 已知定义在上的可导函数满足：，若单调递增数列满足：，则（ ） A. 的通项公式可能是 B. 的通项公式可能是 C. 函数是增函数 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB，直接代入解析式检验即可判断；对于C，结合导数的正负判断即可；对于D，结合C及题设分析可得，，进而利用累加法求解判断即可. 【详解】对于A，若，则， 则，即，与矛盾，故A错误； 对于B，若，则， 则，即，满足题意，故B正确； 对于C，由，则， 所以函数是增函数，故C正确； 对于D，由C知，函数是增函数，而数列为递增数列， 则，即， 则，， 所以，故D正确. 11. 已知椭圆上任意一点到左焦点的距离为，到右焦点的距离为 (其中为椭圆的离心率). 若分别是椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于的任意一点，为椭圆所在平面上的动点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为3 B. 若点的横坐标为，则的角平分线与轴交点横坐标为 C. 若外接圆的圆心在外，则 D. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，设，可得，其中，进而表示出即可求解判断；对于B，设的角平分线与轴交点横坐标，根据题设定义及角平分线性质可得，进而代值计算即可判断；对于C，分析可得最大为，先考虑圆的圆心在上的情况，此时为直角三角形，可求得，进而判断外接圆的圆心在外时的情况；对于D，设，先求出过点的圆的圆心，再得到，进而求解判断即可. 【详解】由椭圆，则，即. 对于A，设，则，即，其中， 则， 则时，的最小值为3，故A正确； 对于B，由题意，，，点的横坐标为， 设的角平分线与轴交点横坐标， 由角平分线性质知， 则，解得，故B正确； 对于C，当点在椭圆上顶点时，最大， 此时，则，即， 先考虑圆的圆心在上的情况，此时为直角三角形， 不妨设点在第一象限，则，即， 即， 若外接圆的圆心在外，则为钝角三角形， 此时，故C正确； 对于D，设过点的圆的方程为， 设，则，，即 则，又， 则，，解得， 则， 所以过点的圆的方程为，则圆心为， 而关于对称，则， 令，则， 代入得，，即， 所以点的轨迹方程为，故D错误. 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知正项等比数列满足，且，则公比为_____. 【答案】##0.6 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，且， 由，得，即， 由，得，即，解得或（舍去）， 所以等比数列的公比为. 13. 若的展开式中的常数项为1，则_____. 【答案】2 【解析】 【详解】由， 其展开式的通项为，， 而展开式的通项为，， 令，得或或， 因为的展开式中的常数项为1， 所以，则， 又，则. 14. 已知实数，函数，若，则取最大值时，点到直线的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，进而分与异号、与同号或其中一个为0，两种情况结合基本不等式讨论求解即可. 【详解】由， 则， 即， 则， 即， 则， 若与异号，则， 所以， 则，解得， 当且仅当，即时等号成立； 若与同号或其中一个为0时， ，解得. 综上所述，取最大值2时，， 则点到直线的距离为. 四、解答题 (本题共5小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 在中，内角对边的边长分别是，已知. （1）若满足已知条件的恰有一个，求边长的取值范围； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题设由正弦定理可得，再根据恰有一个可得或，进而求解即可； （2）由题设结合三角恒等变换公式化简可得，再分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，则， 即，要使满足已知条件的恰有一个， 则或，即或， 所以或， 则边长的取值范围为. 【小问2详解】 由， 则， 则 化简得， 当时，，因，则， 此时； 当时，，由正弦定理得①， 由余弦定理得，，即②， 由①②联立，解得，则， 此时. 综上所述，的面积为. 16. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点. （1）求证: 平面； （2）若，且平面与平面的夹角余弦值为，求侧棱的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形得，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）设，过点作平面，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，进而根据题意并结合平面与平面的法向量求得. 【小问1详解】 取的中点，连接， 在中，且， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 设，过点作直线垂直于平面， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，为的中点， 所以，易得， 设，由， 则，即， 所以， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 解得，则. 17. 某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. （1）现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; （2）将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【答案】（1） 0 1 2 （2）或40或41 【解析】 【分析】（1）由题意易得的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）先得到从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为，再由二项分布概率最大可列不等式求解. 【小问1详解】 由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为， 则， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. 【小问2详解】 （i）由已知 ，女生有 100 人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 60 人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， 令 ， 解得， 因为，所以或40或41. 18. 设抛物线的焦点为是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）过抛物线的焦点作与垂直的直线，若直线与抛物线相交于，两点， ①求的最小值； ②设，分别是，的中点，过焦点作直线的垂线，垂足为，求证：存在一个定点，使得为定值. 【答案】（1） （2）①16；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设可得，再根据抛物线的焦半径公式求解即可； （2）①设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，设，同理可得，进而表示出，再根据基本不等式求解即可； ②结合①可得，再分、两种情况讨论求证即可. 【小问1详解】 由，得， 则，即， 因为为抛物线上一点，所以，则，即， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）抛物线的方程为，则， 由题意，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 联立，得， 则， 由于，所以直线的斜率为， 设，同理可得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16. ②由①得，，， 则，同理， 因为，分别是，的中点，所以， 若，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 显然直线恒过定点， 由题意可知，为直角三角形，则为的中点，满足为定值，此时； 若，则直线的方程为，此时直线过点，也满足为定值1. 综上所述，存在一个定点，使得为定值1. 19. 已知函数. （1）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程的根为， ①求证: ； ②判断数列中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断. 【答案】（1） （2） ①由（1）知，当时，，， 即，，当且仅当时等号成立， 因为方程的根为，所以，且， 则，即， 当时，， 则, 当时，也满足，则. ②数列中不存在连续三项按某种顺序构成等比数列，证明如下： 由，，则， 当时，，则函数在上单调递增， 结合题意，方程有唯一的根为，即， 而， 则，即， 假设成等比数列，则其公比，且， 又，则，， 所以，则， 即，所以， 则，由于， 则，即， 则，则， 由，， 两式相减得， 则，即，这与矛盾， 故数列中不存在连续三项按某种顺序构成等比数列. 【解析】 【分析】（1）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （2）①结合（1）可得，，当且仅当时等号成立，进而得到，可得当时，，进而利用裂项相消法求证即可； ②先假设存在，先得到，再结合成等比数列，得到，再由，得到推出矛盾即可求证. 【小问1详解】 由，， 则对于恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $