专题3.2～3.3 图形的旋转、简单的图案设计 同步讲义 （题型导航+知识梳理+过关小练）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

3.2～3.3 图形的旋转、简单的图案设计 同步讲义 （北师大版） 题型导航 题型1判断生活中的旋转现象 题型2判断由一个图形旋转而成的图案 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 题型4选择的性质及辨析 题型5根据旋转的性质说明线段或角相等 题型6旋转中的规律性问题 题型7画旋转图形 题型8坐标系中的旋转 题型9求绕原点旋转90度的点的坐标 题型10求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型11坐标与旋转规律问题 题型12面积问题（旋转综合题） 题型13角度问题（旋转综合题） 题型14成中心对称 题型15画已知图形关于某点对称的图形 题型16画两个图形的对称中心 题型17根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型18中心对称图形的识别 题型19在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型20中心对称图形规律问题 题型21求关于原点对称的点的坐标 题型22已知两点关于原点对称求参数 题型23判断两个点是否关于原点对称 题型24利用旋转设计图案 题型25过关小练（7解答题） 知识梳理 知识点一、旋转的定义 1.在平面内，将一个图形绕着一个固定的点（旋转中心），按某个方向（顺时针或逆时针）转动一个固定的角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。 补充说明：旋转的前提是“平面内”； 旋转中心是固定不动的点，可以在图形上，也可以在图形外； 旋转角是“转动的角度”，取值范围是0°＜旋转角≤360°. 知识点二、旋转的三要素 1.旋转中心：固定的点，用字母O表示（通常标注），是旋转的“中心点”，旋转过程中始终不动； 2.旋转方向：只有两种——顺时针（与钟表指针转动方向一致）和逆时针（与钟表指针转动方向相反），未说明时，默认按逆时针方向旋转； 3.旋转角：图形绕旋转中心转动的角度，即“任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角”，同一个旋转图形中，所有旋转角都相等。 提示：旋转的三要素是判断图形旋转、进行旋转作图的核心，三者必须同时明确，否则无法确定旋转后的图形。 易错点：旋转角不是“图形转动时的夹角”，而是“对应点与旋转中心连线的夹角” 知识点三、旋转的性质 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，也不改变图形中线段的长度、角的度数； 2.旋转前后的两个图形是全等图形（对应边相等、对应角相等）； 3.对应点到旋转中心的距离相等； 4.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角，都等于旋转角，且所有旋转角都相等； 5.对应线段相等，对应角相等；对应线段的夹角、对应角的夹角，都等于旋转角（或与旋转角互补，具体看图形位置）； 6.旋转前后，图形的方向会发生改变（与平移不同，平移不改变方向，旋转会改变方向）。 知识点四、旋转作图的步骤 (1) 定要素：明确题目给出的旋转中心、旋转方向和旋转角 (2)找关键点：找出原图形的所有关键点——多边形找顶点，线段找端点，圆找圆心和半径端点，不规则图形找能确定图形形状的关键点（如拐点）； (3)作对应点：将每个关键点与旋转中心连接，以旋转中心为顶点，按旋转方向，用量角器画出等于旋转角的角，在角的另一边上截取与原关键点到旋转中心距离相等的线段，端点即为该关键点的对应点； (4)连图形：按原图形的顺序，顺次连接所有对应点，得到旋转后的图形； (5)标说明：标注旋转中心、旋转方向和旋转角，确保作图规范。 易错点：作对应点时，需同时满足“旋转角相等”和“对应点到旋转中心距离相等”，缺一不可；顺次连接对应点时，不能打乱原图形的顺序，否则会得到错误图形。 知识点五、中心对称 1. 定义:在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称.这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。 补充说明：中心对称是“两个图形”之间的关系，旋转角固定为180°，对称中心是两个图形的公共中心。 2.中心对称的性质 (1)两个图形关于某点成中心对称，对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分（核心性质，判断中心对称的关键）； (2)对应边相等、对应角相等，两个图形全等； (3)对应线段平行（或在同一直线上）且相等； (4)绕对称中心旋转180°后，两个图形完全重合，方向相反。 3.中心对称的判定方法 若两个图形的对应点所连线段都经过同一个点，且被这个点平分，则这两个图形关于这个点成中心对称。 知识点六、中心对称图形 1.定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°后，能与它自身完全重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 补充说明：中心对称图形是“一个图形”自身的性质，旋转角固定为180°，对称中心是图形自身的中心点。 2.常见的中心对称图形 四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形； 圆形、正偶数边形（正四边形、正六边形等）； 知识点七、中心对称与中心对称图形的区别与联系 类别 中心对称 中心对称图形 本质 两个图形之间的位置关系 一个图形自身的性质 对称中心 两个图形的公共中心 图形自身的中心点 旋转要求 一个图形绕对称中心旋转180°，与另一个图形重合 图形绕自身对称中心旋转180°，与自身重合 联系 都属于旋转（旋转角为180°）；中心对称的两个图形，整体可看作一个中心对称图形；中心对称图形中，过对称中心的直线将图形分成两个关于对称中心成中心对称的部分。 知识点八、旋转的常见应用 1.作图题：根据旋转三要素，画出旋转后的图形； 2.求角度、边长：利用旋转的性质（对应边、对应角、旋转角相等），求未知角的度数、未知线段的长度； 3.证明题：利用旋转构造全等三角形，证明线段相等、角相等（几何综合题常用技巧）； 4.实际应用：设计旋转图案（如剪纸、logo设计）、解决路径问题、解释生活中的旋转现象（如风车转动、钟表指针转动）。 题型解读 题型1.判断生活中的旋转现象 1．数学来源于生活．下列生活中的现象属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．球场上奔跑的运动员 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带上运输的东西 2．在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着_________（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转_________度． 3．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号） 题型2判断由一个图形旋转而成的图案 1．下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 3．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 2．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 题型4旋转的性质及辨析 1．平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 2．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 3．平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 题型5根据旋转的性质说明线段或角相等 1.．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 3．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 题型6旋转中的规律性问题 1．如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理⋯；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 3．已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________． 题型7画旋转图形 1．如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕着原点O顺时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将图形按顺时针方向旋转后的图形是（  ） A． B． C． D． 3．如图，可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论中：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．所有正确结论的序号是_________． 题型8坐标系中的旋转 1．如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为_______． 题型9求绕原点旋转90度的点的坐标 1．若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，第一次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第二次作点关于轴的对称点，第三次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第四次作点关于轴的对称点，……．按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则点坐标为 _______ ． 题型10求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1．线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点A旋转，得到线段，则点B1的坐标是______． 题型11坐标与旋转规律问题 1．如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……依此类推，经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 3．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型12面积问题（旋转综合题） 1．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 2．如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADB≤+mn．其中错误的结论个数为（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________．    题型13角度问题（旋转综合题） 1．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．将，按如图所示摆放，边重合，其中，，，保持不动，将绕点A顺时针旋转，在旋转过程中，当_____时，的边与的某一边平行． 题型14成中心对称 1．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．若点与点关于点中心对称．则___________． 题型15画已知图形关于某点对称的图形 1．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点_______，且_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______. 题型16画两个图形的对称中心 1．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 2．关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过_____． 3．如图，和关于点E成中心对称，则点E坐标是（    ） A． B． C． D． 题型17根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 3．如图，直线互相垂直且相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对应点是，于点，于点若，，则阴影部分的面积之和为______． 题型18中心对称图形的识别 1．博物馆是承载中华文脉的殿堂，其标志设计既蕴藏传统美学，又含着几何智慧．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是_____．（填序号） 3．线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 题型19在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 1．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有______个． 题型20中心对称图形规律问题 1．甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界．规定谁在桌面上放下最后一枚硬币，谁就获胜．获胜的策略是（　　） A．先放者获胜 B．后放者获胜 C．先放者将硬币放到桌面的圆心处 D．后放者将硬币放到桌面的圆心处 2．已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 3．如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是________． 题型21求关于原点对称的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，直线经过点，点与点关于原点对称，将直线向上平移个单位经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 题型22已知两点关于原点对称求参数 1．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，且点的坐标为（m，n），将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 题型23判断两个点是否关于原点对称 1．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 3．和点关于______对称． 题型24利用旋转设计图案 1．冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将甲图经图形变换到乙图，下列说法错误的是(    )    A．可以通过平移和旋转实现 B．可以通过轴对称和旋转实现 C．必须通过旋转才能实现 D．不必通过旋转就能实现 3．如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ____________． 过关小练 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，等边经过平移或旋转都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是_______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转的角度是______； (2)连接，交于点，求的度数． 2．如图，已知点、、的坐标分别为、、． (1)将沿着轴向左平移5个单位后得到，请画出；并写出的对应点的坐标______ (2)将绕着O顺时针旋转90°后得到，请画出；并写出A的对应点坐标______ (3)将线段绕着某个定点旋转180°后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点），则这个定点的坐标是______ 3．如图，已知和． (1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 4．已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，构造，请按照要求作图并解答． (1)若与关于x轴对称，请画出，并写出点、的坐标； (2)请仅用无刻度的直尺作图，在第二象限找一格点P，使得．（保留作图痕迹） 6．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 7．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2～3.3 图形的旋转、简单的图案设计 同步讲义 （北师大版） 题型导航 题型1判断生活中的旋转现象 题型2判断由一个图形旋转而成的图案 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 题型4选择的性质及辨析 题型5根据旋转的性质说明线段或角相等 题型6旋转中的规律性问题 题型7画旋转图形 题型8坐标系中的旋转 题型9求绕原点旋转90度的点的坐标 题型10求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型11坐标与旋转规律问题 题型12面积问题（旋转综合题） 题型13角度问题（旋转综合题） 题型14成中心对称 题型15画已知图形关于某点对称的图形 题型16画两个图形的对称中心 题型17根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型18中心对称图形的识别 题型19在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型20中心对称图形规律问题 题型21求关于原点对称的点的坐标 题型22已知两点关于原点对称求参数 题型23判断两个点是否关于原点对称 题型24利用旋转设计图案 题型25过关小练（7解答题） 知识梳理 知识点一、旋转的定义 1.在平面内，将一个图形绕着一个固定的点（旋转中心），按某个方向（顺时针或逆时针）转动一个固定的角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。 补充说明：旋转的前提是“平面内”； 旋转中心是固定不动的点，可以在图形上，也可以在图形外； 旋转角是“转动的角度”，取值范围是0°＜旋转角≤360°. 知识点二、旋转的三要素 1.旋转中心：固定的点，用字母O表示（通常标注），是旋转的“中心点”，旋转过程中始终不动； 2.旋转方向：只有两种——顺时针（与钟表指针转动方向一致）和逆时针（与钟表指针转动方向相反），未说明时，默认按逆时针方向旋转； 3.旋转角：图形绕旋转中心转动的角度，即“任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角”，同一个旋转图形中，所有旋转角都相等。 提示：旋转的三要素是判断图形旋转、进行旋转作图的核心，三者必须同时明确，否则无法确定旋转后的图形。 易错点：旋转角不是“图形转动时的夹角”，而是“对应点与旋转中心连线的夹角” 知识点三、旋转的性质 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，也不改变图形中线段的长度、角的度数； 2.旋转前后的两个图形是全等图形（对应边相等、对应角相等）； 3.对应点到旋转中心的距离相等； 4.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角，都等于旋转角，且所有旋转角都相等； 5.对应线段相等，对应角相等；对应线段的夹角、对应角的夹角，都等于旋转角（或与旋转角互补，具体看图形位置）； 6.旋转前后，图形的方向会发生改变（与平移不同，平移不改变方向，旋转会改变方向）。 知识点四、旋转作图的步骤 1.定要素：明确题目给出的旋转中心、旋转方向和旋转角 2.找关键点：找出原图形的所有关键点——多边形找顶点，线段找端点，圆找圆心和半径端点，不规则图形找能确定图形形状的关键点（如拐点）； 3.作对应点：将每个关键点与旋转中心连接，以旋转中心为顶点，按旋转方向，用量角器画出等于旋转角的角，在角的另一边上截取与原关键点到旋转中心距离相等的线段，端点即为该关键点的对应点； 4.连图形：按原图形的顺序，顺次连接所有对应点，得到旋转后的图形； 5.标说明：标注旋转中心、旋转方向和旋转角，确保作图规范。 易错点：作对应点时，需同时满足“旋转角相等”和“对应点到旋转中心距离相等”，缺一不可；顺次连接对应点时，不能打乱原图形的顺序，否则会得到错误图形。 知识点五、中心对称 1. 定义:在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称.这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。 补充说明：中心对称是“两个图形”之间的关系，旋转角固定为180°，对称中心是两个图形的公共中心。 2.中心对称的性质 （1）.两个图形关于某点成中心对称，对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分（核心性质，判断中心对称的关键）； （2）.对应边相等、对应角相等，两个图形全等； （3）.对应线段平行（或在同一直线上）且相等； （4）.绕对称中心旋转180°后，两个图形完全重合，方向相反。 3.中心对称的判定方法 若两个图形的对应点所连线段都经过同一个点，且被这个点平分，则这两个图形关于这个点成中心对称。 知识点六、中心对称图形 1.定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°后，能与它自身完全重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 补充说明：中心对称图形是“一个图形”自身的性质，旋转角固定为180°，对称中心是图形自身的中心点。 2.常见的中心对称图形 （1）四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形； 圆形、正偶数边形（正四边形、正六边形等）； 知识点七、中心对称与中心对称图形的区别与联系 类别 中心对称 中心对称图形 本质 两个图形之间的位置关系 一个图形自身的性质 对称中心 两个图形的公共中心 图形自身的中心点 旋转要求 一个图形绕对称中心旋转180°，与另一个图形重合 图形绕自身对称中心旋转180°，与自身重合 联系 都属于旋转（旋转角为180°）；中心对称的两个图形，整体可看作一个中心对称图形；中心对称图形中，过对称中心的直线将图形分成两个关于对称中心成中心对称的部分。 知识点八、旋转的常见应用 1.作图题：根据旋转三要素，画出旋转后的图形； 2.求角度、边长：利用旋转的性质（对应边、角、旋转角相等），求未知角的度数、未知线段的长度； 3.证明题：利用旋转构造全等三角形，证明线段相等、角相等（几何综合题常用技巧）； 4.实际应用：设计旋转图案（如剪纸、logo设计）、解决路径问题、解释生活中的旋转现象（如风车转动、钟表指针转动）。 题型解读 题型1.判断生活中的旋转现象 1．数学来源于生活．下列生活中的现象属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．球场上奔跑的运动员 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带上运输的东西 【答案】C 【分析】旋转是指物体围绕一个点或一个轴做圆周运动。我们需要根据这个定义来判断每个选项是否属于旋转现象． 【详解】解：A、国旗上升的过程，是沿着直线进行的平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意； B、球场上奔跑的运动员，是在平面上的平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，围绕中心轴做圆周运动，符合旋转的定义，符合题意； D、传输带上运输的东西，是沿着传输带做直线平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了知识点旋转的定义，解题关键是明确旋转是物体围绕一个点或轴做圆周运动，平移是物体沿直线移动，以此来区分两种运动现象． 2．在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着_________（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转_________度． 【答案】 逆时针 90 【分析】本题考查旋转的基本概念，解题的关键是结合生活实际理解“向左转”这一旋转动作的旋转方向和旋转角度． 根据生活中“向左转”的动作实际情况，确定旋转方向和角度． 【详解】解：在体育课上，“向左转”的动作是以左脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度． 故答案为：逆时针，90． 3．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了旋转,平移的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据旋转，平移的定义进行判断即可． 【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求； ②翻动书页，是旋转，故符合要求； ③方向盘的转动，是旋转，故符合要求； ④传送带的移动，是平移，故不符合要求． 故答案为：②③． 题型2判断由一个图形旋转而成的图案 1．下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 2．如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、旋转，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 平移变换是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，据此可判断给出的图形中哪些图可由平移变换得到； 旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点按同一方向，转动同一个角度，据此可判断给出的图形中哪些图可由旋转变换得到； 最后，根据上面判断的结果，找出符合平移变换、旋转变换的图形填空即可． 【详解】可以通过平移换，但不可以通过旋转变换得到的图案是：； 可以通过旋转变换，但不可以通过平移变换得到的图案是：； 既可以由平移，也可以由旋转变换得到的图案是：. 故答案为:． 3．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④． 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 2．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 3．如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【点睛】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 题型4旋转的性质及辨析 1．平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 【答案】D 【分析】本题考查几何变换的类型，平行线的性质，利用平移，轴对称，旋转的性质一一判断即可． 【详解】解：平移、轴对称、旋转所具有的共同性质：变换前后两个图形重合，对应线段相等，对应角相等， 故选：D． 2．如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【答案】B 【分析】本题考查旋转和轴对称，理解旋转和轴对称的概念是解题的关键． 2次旋转就可以与原图重合，2次轴对称就可以与原图重合，据此判定即可． 【详解】图①每次旋转，2次旋转后可以得到图②，变换方式①可行； 图①沿竖直方向的直线，2次轴对称可以得到图②，变换方式②可行； 故选：B． 3．平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了旋转变换与平移变换，根据旋转变换与平移变换都是只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小即可求解，掌握旋转变换与平移变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移和旋转都不改变图形的形状和大小， ∴平移和旋转前后的两个图形形状不变，且大小相等， 故选：． 题型5根据旋转的性质说明线段或角相等 1.．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数. 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 2．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 直接利用旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：． 故选：B． 3．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 题型6旋转中的规律性问题 1．如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理⋯；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查图形规律，解题的关键是读懂题干整理规律，写出几种变换得到重复规律．根据题干信息得到整理规律，按照规律将接下来的几次整理罗列出来，找到重复规律，即可得到答案； 【详解】解：用12345分别表示语文、数学、英语、理综、文综， 12345第一次：14253，第二次：15432，第三次：13524，第四次：12345（与图一相同)， ∴经4次整理后可得到的顺序与图1相同， ∴n的值应为4的倍数， 故选：A． 2．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． 根据题意，发现规律第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，令，解出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题知， 第1次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为4， 第2次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为8， 第3次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为9， 第4次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为13， 第5次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为14， 第6次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为18， 依此类推， 所以第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为， 当，即时， ， 即第99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为249， 故选：B． 3．已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意得到滚动1，2，3，4，5次后，骰子朝上一面的点数，可得每滚动4次为一个循环，再由，即可求解． 【详解】解： 滚动1次后，骰子朝上一面的点数是5， 滚动2次后，骰子朝上一面的点数是4， 滚动3次后，骰子朝上一面的点数是2， 滚动4次后，骰子朝上一面的点数是3， 滚动5次后，骰子朝上一面的点数是5， …… ∴每滚动4次为一个循环， ∵， ∴连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是4． 故答案为：4 题型7画旋转图形 1．如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕着原点O顺时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转作图，旋转性质，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，画出绕着原点O顺时针旋转得到的，再读取A的对应点的坐标，即可作答． 【详解】解：依题意，画出绕着原点O顺时针旋转得到的，如图所示： ∴A的对应点的坐标为， 故选：D 2．如图，将图形按顺时针方向旋转后的图形是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的定义，理解其定义是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：形状发生了改变，不是旋转，故该选项不合题意； B：符合原图形顺时针旋转后的形状、图案和方向，故该选项符合题意； C：是原图形的镜像或旋转后的图案，故该选项不合题意； D：是原图形逆时针旋转后的图案，故该选项不合题意． 故选：B． 3．如图，可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论中：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．所有正确结论的序号是_________． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和翻折，可以看作是绕与的交点旋转得到，可以看作是沿垂直于且过中点的直线翻折，再沿直线向下翻折得到，不可以由经过1次平移和1次翻折得到，据此可得答案． 【详解】解：可以看作是绕与的交点旋转得到，①正确． 可以看作是沿垂直于且过中点的直线翻折，再沿直线向下翻折得到，②正确； 不可以由经过1次平移和1次翻折得到，③错误． 故答案为：①②． 题型8坐标系中的旋转 1．如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是是解题的关键．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作轴，根据原点O是等边三角形的中心，得出，即可得重合，，求出，，得出点的坐标，即可解答． 【详解】解：连接，过点作轴， ∵原点O是等边三角形的中心， ∴， ∴重合，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形综合，解题的关键是掌握以上知识点． 3．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于C点， 是等边三角形， ， 由旋转可知：， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 题型9求绕原点旋转90度的点的坐标 1．若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，根据点绕原点逆时针旋转，坐标变换规则为求解即可． 【详解】解：∵点绕原点O逆时针旋转， ∴对应点的坐标为． 故选：B． 2．如图，第一次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第二次作点关于轴的对称点，第三次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第四次作点关于轴的对称点，……．按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点的初始坐标，再依次计算每次变换后的坐标，找出坐标变换的周期规律，最后根据周期计算第次变换后的坐标． 【详解】解：如图， 点的初始坐标为． 第一次变换：绕原点逆时针旋转，旋转后的坐标为； 第二次变换：作关于轴的对称点，对称后的坐标为； 第三次变换：绕原点逆时针旋转，旋转后的坐标为； 第四次变换：作关于轴的对称点，对称后的坐标为，即回到点的初始坐标． 由此可知，坐标变换周期为． ． 余数为，说明的坐标与的坐标相同，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的旋转对称变换和周期规律，解题关键是通过计算前几次变换的坐标，找出周期规律，再利用周期求解最终坐标． 3．如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则点坐标为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化． 利用旋转的性质得，，，，然后利用第二象限内点的坐标特征写出点坐标． 【详解】解：∵， ∴，， ∵绕点O逆时针方向旋转，得到， ∴，，，， ∴点坐标为． 故答案为：． 题型10求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1．线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据旋转后的图形即可解题． 【详解】解：如图： ∴点N的对应点的坐标为． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键． 过C作轴于M，则，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 如图，过C作轴于M，则， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点A旋转，得到线段，则点B1的坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将线段绕点A逆时针旋转时，得到线段，过点作轴于，过点作轴于，证明，得到，将线段绕点A顺时针旋转时，同理可得答案． 【详解】解：将线段绕点A逆时针旋转时，如图所示，得到线段，过点作轴于，过点作轴于， ∴，， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 将线段绕点A顺时针旋转时，如图， 同理可得； 故答案为：或． 题型11坐标与旋转规律问题 1．如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……依此类推，经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是正确求得前几个点的坐标，找出规律．求得前几个点的坐标，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：如图所示：    点经过一次翻滚后，再经过一次翻滚后，，再经过一次翻滚后，再经过一次翻滚后， 可得：经过4次翻滚后点对应点一循环， ， ∵，矩形的周长为， ∴经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为，即 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转以及解含有特殊角的直角三角形，正确作图分析是解题的关键．先通过已知条件求出点B的坐标，再由旋转的定义，作图找到第2次旋转后点B的位置，求出该点坐标即可． 【详解】解：如图1，过B作轴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转， 设旋转两次后，B点的对应点为， 如图2，点在x轴负半轴，， ∵在中， ，，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 3．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形性质与判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据题意得到，结合旋转的性质推出绕原点逆时针旋转，每旋转次为一个循环，进而得到第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同，记第4次旋转结束时，点的对应点记为，过点，作轴于点，证明，利用全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：， ， 顶点的坐标为， ， 绕原点逆时针旋转，每次旋转，且， 即每旋转次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同， 如图，记第4次旋转结束时，点的对应点记为， 过点，作轴于点， ， 由旋转的性质可知，， ， ， 即第4次旋转结束时，点的对应点的坐标为， 第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为； 故选：A． 题型12面积问题（旋转综合题） 1．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 2．如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADB≤+mn．其中错误的结论个数为（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】①将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，可证得△AC′D是等边三角形，再运用三角形三边关系即可判断①正确； ②过点C作CH⊥BD于H，则∠BHC＝90°，根据S△BDC＝BD•CH，由垂线段最短判断出②正确； ③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，由旋转的性质可证得△BDK是等边三角形，分K落在△ABD的边上、内部、外部讨论即可判断③正确． 【详解】解：①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′， 则△ABC′≌△ACD， ∴AC′＝AD，BC′＝CD， ∵∠DAC′＝60°， ∴△AC′D是等边三角形， ∴C′D＝AD， 在△BC′D中，BC′+BD＞C′D， ∴CD+BD＞AD， 当∠ADC＝60°，即∠AC′B＝60°时，C′、B、D三点共线， ∴CD+BD＝AD， 故①正确； ②如图2，过点C作CH⊥BD于H， 则∠BHC＝90°， ∴S△BDC＝BD•CH， 由垂线段最短知，CH≤CD， ∴S△BDC≤BD•CD， 故②正确； ③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK， 由旋转得：BD＝BK，∠DBK＝60°， ∴△BDK是等边三角形， （推导等边三角形的面积公式如下： S△ABC=） ∴S△BDK＝， ∵△ABK≌△BDC（根据旋转的性质）， 当K落在△ABD外部时，S△ABK＝S△BDC≤BD•CD， 即S△ABK≤mn， ∴S△ABD<S△ABK+S△BDK≤+mn， 当K落在AD边上时， S△ABD= S△ABK+S△BDK≤+mn， 当K落在△ABD内部时， 过点B、D分别作BN⊥AK于N，DM⊥AK于M，设AK与BD交于点O， S△ABD=S△BDK+S△ABK+S△ADK =m2+AK·BN+AK·DM=m2+AK（BN+DM） ∵BO≥BN，OD≥DM， ∴S△ABD≤m2+AK（OB+OD）=m2+mn 故③正确； 综上所述，正确的结论为3个，错误的结论为0个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，三角形面积等知识点，解题关键是利用旋转变换构造全等三角形． 3．如图，是等边内的一点，．若的面积为，则边的长为________．    【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，首先证明出是等边三角形，然后设，则，得到，根据求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，作交的延长线于点F，    ∴，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得（负值舍去）， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转综合题，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型13角度问题（旋转综合题） 1．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单． 3．将，按如图所示摆放，边重合，其中，，，保持不动，将绕点A顺时针旋转，在旋转过程中，当_____时，的边与的某一边平行． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转问题，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据所给旋转方式，画出示意图，再结合平行线的性质，分 ，，三种情况讨论即可解答． 【详解】解：， 是等边三角形， ∠DAC=60°． ．， ． 当旋转后的边与平行时，如图所示， 令与的交点为M， 由旋转可知， ， ， ， ， ， 即． 当旋转后的边与平行时，如图所示， ， ， ， 即． 当旋转后的边与平行时，如图所示， ， ， ， 即． 综上所述，当或或时，的边与的某一边平行． 故答案为：或或． 题型14成中心对称 1．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 2．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解． 利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标． 【详解】设点B坐标为， 点与点B关于点成中心对称， ，， 解得， ． 故选B． 3．若点与点关于点中心对称．则___________． 【答案】 【分析】本题考查了成中心对称的点的坐标特征，掌握中心对称的性质是解题的关键．根据成中心对称的两个点之间的坐标关系即可解决问题． 【详解】解：点与点关于点中心对称， ，， 解得，， ． 故答案为：． 题型15画已知图形关于某点对称的图形 1．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中心对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 3．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点_______，且_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______. 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 题型16画两个图形的对称中心 1．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称，确定两个图形的对称中心，结合与关于某点对称，故连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心，即可作答． 【详解】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 2．关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过_____． 【答案】对称中心 【分析】根据中心对称图形的性质可进行求解． 【详解】解：由中心对称图形的性质可知：关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过对称中心； 故答案为对称中心． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 3．如图，和关于点E成中心对称，则点E坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线的交点就是对称中心，可确定出点E的位置，观察可得点E的坐标． 【详解】解：连接， ∵和关于点E成中心对称 ， ∴交于点E， ∴点． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了坐标与图象变化-旋转，解决本题的关键是熟练掌握图形旋转对称的性质． 题型17根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质，中心对称的性质： 1．对称中心是连接对称点的线段的中点； 2．两个中心对称图形全等； 3．对应线段平行（或共线）且相等； 4．对称点的连线必过对称中心且被对称中心平分．掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ∴，，故C选项成立，不符合题意， ，，故B， D选项成立，不符合题意， 不一定成立，故A选项结论不一定成立．符合题意 故选：A． 2．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 3．如图，直线互相垂直且相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对应点是，于点，于点若，，则阴影部分的面积之和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 阴影部分的面积矩形的面积的面积， ， 阴影部分的面积为 故答案为：． 题型18中心对称图形的识别 1．博物馆是承载中华文脉的殿堂，其标志设计既蕴藏传统美学，又含着几何智慧．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕某点旋转，判断是否能与自身重合即可解答． 【详解】解：选项 A、B、D绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形．选项C：绕某点旋转后，能与自身重合，是中心对称图形．即C选项符合题意． 2．在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是_____．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是①④． 故答案为：①④． 3．线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 【答案】线段，正方形，圆，正六边形，正八边形 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断每个图形是否符合条件，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：线段是轴对称图形（有对称轴）和中心对称图形（绕中点旋转180度重合）； 正方形是轴对称图形（有4条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 圆是轴对称图形（有无数条对称轴）和中心对称图形（绕圆心旋转180度重合）； 正六边形是轴对称图形（有6条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 正八边形是轴对称图形（有8条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）． 等腰三角形、等腰梯形、、等边三角形、正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故它们不符合题意． 故既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段，正方形，圆，正六边形，正八边形， 故答案为：线段，正方形，圆，正六边形，正八边形． 题型19在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 1．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得出结果． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②． 2．如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查设计中心对称图形，根据中心对称图形的定义，进行设计，即可得出结果． 【详解】解：由题意，选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形的涂法只有如图所示的一种方法： 故选：A． 3．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故答案为：3． 题型20中心对称图形规律问题 1．甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界．规定谁在桌面上放下最后一枚硬币，谁就获胜．获胜的策略是（　　） A．先放者获胜 B．后放者获胜 C．先放者将硬币放到桌面的圆心处 D．后放者将硬币放到桌面的圆心处 【答案】C 【分析】本题考查逻辑推理能力，解题的关键是理解圆桌的中心对称性质．根据圆桌的中心对称性质来探讨放置硬币的策略以及获胜情况． 【详解】解：先放者把第一枚硬币放在桌面的圆心处． 因为圆桌是中心对称图形，圆心是其对称中心，这一放置具有关键意义．此后，无论后放者将硬币放在桌面的哪个位置，先放者都能依据中心对称的原理，在以圆心为对称中心的对称位置放置硬币．由于按照这样的放置方式，每次后放者放置后，先放者都能找到对应的对称位置放置，随着放置过程的持续，最终必然是先放者能够在桌面上放下最后一枚硬币， 所以先放者获胜． 故选：C． 2．已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质：对称中心是对称点连线的中点即可得到答案； 【详解】解：∵点与点关于对称， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称的性质，解题的关键是对称中心是对称点连线的中点． 3．如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是________． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质．根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次减少， ∴， ∴， ∴， ∵， 当时，，即， ∴， 故答案为：． 题型21求关于原点对称的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标性质求解，即可得到结果． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标分别互为相反数，点， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，直线经过点，点与点关于原点对称，将直线向上平移个单位经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用点在直线上求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到点坐标，最后根据直线平移规律得到平移后解析式，代入点坐标即可求出的值． 【详解】解：∵点在直线上， ∴把代入，得， 即点坐标为， ∵点与点关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数， ∴点坐标为， ∵将直线向上平移个单位，平移后直线解析式为， 又∵平移后直线经过点， ∴把代入，得， 解得． 3．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 题型22已知两点关于原点对称求参数 1．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标互为相反数，先求出和的值，再代入代数式计算结果即可． 【详解】解：点，关于原点对称， ，， 将，，代入， 可得：． 2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，且点的坐标为（m，n），将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征与点的平移规律，解决本题的关键是需牢记“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”及“右加左减，上加下减”的平移规则． 本题先根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求出m、n的值，得到点Q的坐标，再利用点的平移规律求出的坐标，最后判断其所在象限即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴两点的横、纵坐标分别互为相反数， 即， 解第一个方程：，解得， 解第二个方程：，解得， ∴点的坐标为， ∵点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 根据“右加左减，上加下减”的平移规律， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即， ∵，， ∴点在第四象限． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的坐标符号规律，根据点在第三象限，结合原点对称的坐标特征确定点所在象限，进而列出不等式组求解的取值范围． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且点在第三象限， ∴根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，以及第三象限内点的横、纵坐标均为负数，可知点在第一象限， ∴点的横、纵坐标均为正数，由此列出不等式组： ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是． 题型23判断两个点是否关于原点对称 1．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 2．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 3．和点关于______对称． 【答案】原点 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握两个点关于原点对称，则横纵坐标均互为相反数． 根据和点横纵坐标均互为相反数，即可确定和点关于原点对称． 【详解】解：∵和点横纵坐标均互为相反数， ∴和点关于原点对称， 故答案为：原点． 题型24利用旋转设计图案 1．冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的定义判断即可. 【详解】解：选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形. 故选：A 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握旋转的定义，属于中考常考题型. 2．如图，将甲图经图形变换到乙图，下列说法错误的是(    )    A．可以通过平移和旋转实现 B．可以通过轴对称和旋转实现 C．必须通过旋转才能实现 D．不必通过旋转就能实现 【答案】D 【分析】结合图形特点可得甲图形变为乙图形可以经过旋转、平移或旋转、轴对称实现，从而可得出答案． 【详解】甲图形变为乙图形必须通过旋转变换， 所以D选项错误， 故选D． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，属于基础题，掌握各几何变换的特点是解答本题的关键． 3．如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ____________． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．依据旋转变换以及轴对称变换，即可使与重合． 【详解】解：先将绕着的中点旋转，再将所得的三角形绕着的中点旋转°，即可得到； 先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着过点与垂直的直线翻折，即可得到； 故答案为：③④． 过关小练 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，等边经过平移或旋转都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是_______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转的角度是______； (2)连接，交于点，求的度数． 【答案】(1)2，轴， (2) 【分析】（1）平移的距离为对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小，据此判断即可； （2）可得顶角为的等腰三角形，进而根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵等边， ∴， ∴沿x轴向右平移得到，平移的距离是2个单位长度； 与关于直线对称，根据线段被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴； 绕原点顺时针旋转得到，根据可知，旋转角度可以是； 故答案为：2；y轴；； （2）解：由旋转，得，． 为等边三角形， ， ， ． 又， ， ． 2．如图，已知点、、的坐标分别为、、． (1)将沿着轴向左平移5个单位后得到，请画出；并写出的对应点的坐标______ (2)将绕着O顺时针旋转90°后得到，请画出；并写出A的对应点坐标______ (3)将线段绕着某个定点旋转180°后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点），则这个定点的坐标是______ 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， (3) 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，△即为所求； ∴； （2）解：如图，△即为所求； ∴； （3）解：将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点，则这个定点的坐标． 故答案为：． 3．如图，已知和． (1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为18 【分析】本题考查中心对称的性质，找对称中心． （1）连接，，交点即为点O； （2）由和中心对称，可得，，，三条边长度相加即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长为. 4．已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【答案】(1)， (2)图见解析， 【分析】（1）利用关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数的性质，列方程求解、； （2）先根据坐标平移与轴对称规则确定各点坐标，再将四边形分割为两个三角形，用面积公式计算总面积． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ，， ，． （2）解：，， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∵将点向右移动个单位长度得到点， ∴点的坐标是， ∵点关于轴的对称点为点， ∴点的坐标是， ∴四边形的形状如下图所示， ，，， ∴四边形的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，构造，请按照要求作图并解答． (1)若与关于x轴对称，请画出，并写出点、的坐标； (2)请仅用无刻度的直尺作图，在第二象限找一格点P，使得．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点、的坐标即可； （2）将绕点逆时针旋转90度，即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，点即为所求； 6．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析， 【分析】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点， ，， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示：   点即为所求，． 【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 如图： 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 如图： 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $