精品解析：甘肃兰州市某校2025-2026学年九年级下学期学情测查数学试卷（四）

2025-2026学年度第二学期学情测查（四）九年级数学 一、单选题（共33分） 1. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线及直线外一点C，如图是小明利用尺规作图作出的痕迹，他判定两直线平行的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 为落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程，甲、乙两名同学从“园艺”、“厨艺”、“陶艺”、“木工”4门课程中随机选择一门学习，则甲、乙两人选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. 随的增大而减小 D. 当时， 9. 我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是菱形的对角线，点F在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点G，若，则的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 11. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点C运动，直到两点都到达终点．若点P的运动时间为，的面积为，则下列最能反映S与t之间函数关系的图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共12分） 12. 分解因式：_____． 13. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是________ ． ①第所用的时间最长； ②第的平均速度最大； ③第和第的平均速度相同； ④前的平均速度大于最后的平均速度． 14. 如图，为的直径，，为上的点，，若，则_________． 15. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是_____． 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解方程：． 19. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数（m为常数）的图象在第二象限交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 20. 某消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，能建立如图所示的平面直角坐标系进行表示．其中，，为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点．已知点与点的垂直距离与水平距离均为米，水流在与点水平距离为米处达到最高点． （1）求水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点所形成的抛物线解析式，并标出的取值范围； （2）若将水枪喷口从点处沿水平方向向左平移米到点处，其他条件不变，此时水流能否到达点正上方米处的着火点？请说明理由． 21. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 22. 为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试．该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x<60﹐60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）； b．八年级学生成绩在80≤x<90的这一组是： 80 81 82 83 83 83.5 83.5 84 84 85 86 86.5 87 88 89 89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.2 85 91 八年级 85.3 m 90 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为_______________________； （2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在___________年级抽样学生中排名更靠前，理由是_______________________； （3）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数． 23. 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题： 题目：已知正方形，利用尺规作一个正方形，使点E，F，G，H分别在，，，边上． 勤学小组展示了他们讨论并优化后的成果如图1．作法如下： ①作线段的垂直平分线分别交，于点H，F； ②作或或的垂直平分线分别交，于点E，G，连接，则四边形是所求的正方形． 任务： （1）如图1，勤学小组作法的第一步中，用尺规作出线段垂直平分线作法的依据是____________； （2）如图2，作线段的垂直平分线分别交，于点H，F；请在图2中，用不同于图1的方法作出满足条件的正方形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，点E是边上的一点，请你在图3中作出满足条件的正方形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 24. 如图，已知是的外接圆，是的直径，为外一点，于点，且平分． （1）求证：直线为的切线； （2）若，，求的半径． 25. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． （1）【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； （2）【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： （3）【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 26. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． （1）已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； （2）如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期学情测查（四）九年级数学 一、单选题（共33分） 1. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：陀螺玩具的主视图是： 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 3. 已知直线及直线外一点C，如图是小明利用尺规作图作出的痕迹，他判定两直线平行的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，尺规作图—作与已知角相等的角，由作图方法可知，，则由同位角相等，两直线平行可得，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故选：A． 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同分母分式减法，同分母分式相减，分母不变，分子相减，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 5. 体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 6. 为落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程，甲、乙两名同学从“园艺”、“厨艺”、“陶艺”、“木工”4门课程中随机选择一门学习，则甲、乙两人选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设“园艺”“厨艺”“陶艺”“木工”这四种课程分别为A、B、C、D． 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一门课程的结果有4种，即， ∴甲、乙两人选择同一门课程的概率是． 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与是以O为位似中心的位似图形，， ∴且相似比为， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标是，即， 故选：B． 8. 若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. 随的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：、由图象可知，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则有，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项符合题意； 、由图象可知，随的增大而增大，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项不符合题意． 9. 我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出等量关系是解题的关键．由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．慢马所需时间为，快马速度为，所需时间为．根据路程相等，建立方程，即可解答． 【详解】解：由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．依题意，得 ， 由①，得， 将③代入②，得 ， 化简后得： 即． 故选D． 10. 如图，是菱形的对角线，点F在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点G，若，则的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，，证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，四边形中，，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点C运动，直到两点都到达终点．若点P的运动时间为，的面积为，则下列最能反映S与t之间函数关系的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分两种情况：当点Q在线段上和点Q在线段上．分别根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，当点Q在线段上时，作交于点E， ∵， ∴ 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点Q在线段上时，此时， 作交于点F， 同理可得，， ∴， ∴， ∴综上所述，当时，；当时，． 二、填空题（共12分） 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法和平方差公式分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式对剩余部分进行因式分解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是________ ． ①第所用的时间最长； ②第的平均速度最大； ③第和第的平均速度相同； ④前的平均速度大于最后的平均速度． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数，根据折线统计图逐个判断即可求解，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：①由图可知，第所用的时间最长，该选项说法正确； ②由图可知，第所用的时间最短，所以它的平均速度最大，该选项说法正确； ③由图可知，第和第所用的时间相同，所以它们的平均速度相同，该选项说法正确； ④由图可知，前所用的时间分别为和，平均速度为；最后所用的时间分别为和，平均速度为，所以前的平均速度小于最后的平均速度，该选项说法错误； ∴说法中正确的是①②③， 故答案为：①②③． 14. 如图，为的直径，，为上的点，，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， 根据题意，得； ， ， ， ． 15. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】计算零指数幂，化简二次根式，绝对值，代入特殊三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，23 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据整式的去括号法则与合并同类项法则先化简式子，再代入给定的a，b值计算求值． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 18. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用因式分解法求出的值即可． 【详解】解： ， ， 或， ，． 19. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数（m为常数）的图象在第二象限交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）根据已知条件将点A代入一次函数解析式求得b的值，再将点C代入一次函数解析式中求得点C坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）过C点作轴于点H，从而得出的长，再令代入一次函数解析式求得点B的坐标，从而得出的长，最后通过三角形的面积公式即可求得结果． 【小问1详解】 解：把点代入中得， ∴， ∴一次函数解析式为， 把点代入中， 得， ∴点C的坐标为， 把代入中， 得，解得：， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过C点作轴于点H， ∵， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 20. 某消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，能建立如图所示的平面直角坐标系进行表示．其中，，为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点．已知点与点的垂直距离与水平距离均为米，水流在与点水平距离为米处达到最高点． （1）求水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点所形成的抛物线解析式，并标出的取值范围； （2）若将水枪喷口从点处沿水平方向向左平移米到点处，其他条件不变，此时水流能否到达点正上方米处的着火点？请说明理由． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： 根据题意可知，水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状与水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状相同，位置不同， 所以可得水枪喷口位于点处水流形成的抛物线的解析式为 ，即． 所以当时，，即水流正好到点处． 因为，． 所以水流不能到达点正上方米处的着火点． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）设抛物线的解析式为，抛物线经过点，，采用待定系数法，即可求得答案； （2）水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状与水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状相同，位置不同，所以可得水枪喷口位于点处水流形成的抛物线的解析式为． 【小问1详解】 设抛物线的解析式为． 由题意得抛物线经过点，，可得 解得 所以，水流所在抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 21. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，， ∴，， 设米，则米，米， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 22. 为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试．该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x<60﹐60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）； b．八年级学生成绩在80≤x<90的这一组是： 80 81 82 83 83 83.5 83.5 84 84 85 86 86.5 87 88 89 89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.2 85 91 八年级 85.3 m 90 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为_______________________； （2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在___________年级抽样学生中排名更靠前，理由是_______________________； （3）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数． 【答案】（1）83 （2）八，该学生的成绩大于八年级样本数据的中位数83，在八年级成绩中排名21名；该学生成绩小于七年级样本数据的中位数，在七年级排名在后25名 （3）120人 【解析】 【分析】(1)根据八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，83分，即可求出m的值； (2)根据八年级的中位数是83分，七年级的中位数是85分，可得该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论； (3)用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数． 【小问1详解】 解：八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，83分， ∴ (分)； 故答案为： 83； 【小问2详解】 解：在八年级排名更靠前，理由如下： ∵八年级的中位数是83分，七年级的中位数是85分， 根据已知条件，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，在八年级成绩中排名21名；小于七年级成绩的中位数，在七年级排名在后25名， ∴在八年级排名更靠前． 故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，在八年级成绩中排名21名；小于七年级成绩的中位数，在七年级排名在后25名． 【小问3详解】 解：∵八年级50名随机抽样的学生中，成绩85分及以上有20人，八年级共有300人， (人)， ∴估计八年级达到优秀的人数为120人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． 23. 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题： 题目：已知正方形，利用尺规作一个正方形，使点E，F，G，H分别在，，，边上． 勤学小组展示了他们讨论并优化后的成果如图1．作法如下： ①作线段的垂直平分线分别交，于点H，F； ②作或或的垂直平分线分别交，于点E，G，连接，则四边形是所求的正方形． 任务： （1）如图1，勤学小组作法的第一步中，用尺规作出线段垂直平分线作法的依据是____________； （2）如图2，作线段的垂直平分线分别交，于点H，F；请在图2中，用不同于图1的方法作出满足条件的正方形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，点E是边上的一点，请你在图3中作出满足条件的正方形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 （2） 如图，正方形即为所求． （3） 如图，正方形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定方法可得结论； （2）分别以点A和点D为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，连接、、、，则四边形是正方形； （3）分别截取，连接、、、，则四边形是正方形． 【小问1详解】 解：用尺规作出线段垂直平分线作法的依据是：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 【小问2详解】 解：由作图可得， ∴， ， ∴四个是全等的等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 【小问3详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴四个是全等的直角三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形． 24. 如图，已知是的外接圆，是的直径，为外一点，于点，且平分． （1）求证：直线为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴直线为的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接半径构造等腰三角形，通过角的等量代换证明，再结合垂直关系推导出，据此可判定为切线； （）利用直径所对圆周角为直角及角平分线的性质，证明，通过相似三角形对应边成比例求出直径，进而得到圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵是的外接圆，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径为． 25. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． （1）【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； （2）【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： （3）【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 【答案】（1） （2） （3）8或4 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； 故答案为： 【小问2详解】 解：结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为8或4； 故答案为：8或4． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 26. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． （1）已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； （2）如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，通过计算判断是否在或上，即可得出结论；②根据“赋能点”的定义可得直线与或有交点，再根据直线与、的位置关系讨论即可求解； （2）将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，根据“赋能点”的定义可得线段与或有交点，再根据线段与、的位置关系讨论即可求解． 【小问1详解】 解：①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， ，， 点在上，点在上， 点是的“赋能点”， ，， 点不在上，也不在上， 点不是的“赋能点”， 综上所述，的“赋能点”是． 故答案为：． ②直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， 直线上存在点，使点为的“赋能点”， 直线与或有交点， 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 连接、，则有， ， 又， ， ， ， ， 点在直线上， ， ； 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 同理可得，， 点在直线上， ， ； 的取值范围为． 【小问2详解】 解：将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， 线段上存在点，使点为的“赋能点”， 线段与或有交点， 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 结合图象得，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $