精品解析：江西省九江第一中学2025-2026学年九年级下学期数学第一次阶段学情自测

江西省九江第一中学2025—2026年度下学期第一次模拟考试 初三年级（数学）试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 高足碗是中国传统碗式样，造型与高足杯相似，由上方的碗和下方的高足组成，如图是它的主视图，则图中高足碗的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（   ）． A. B. C. D. 3. 据中国旅游研究院大数据监测，2026年春节假期期间庐山游客量215.5万人次，接待量稳居全国山岳型景区第一、全国重点景区第八．将215.5万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 去年我市有5.6万学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（ ） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 5.6万学生是总体 C. 2000是样本容量 D. 2000名考生的数学成绩是总体的一个样本 5. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫作这种物质在这种溶剂中的溶解度，甲、乙两种蔗糖的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 甲、乙两种蔗糖的溶解度均随着温度的升高而增大 B. 当温度升高至时，甲蔗糖溶解度与乙的溶解度一样 C. 当温度为时，甲、乙蔗糖溶解度都小于 D. 当温度小于时，同等温度下甲蔗糖溶解度大于乙的溶解度 6. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的倒数是______． 8. 因式分解：2a2﹣8=_____． 9. 如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 10. 盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一家服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B ，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），且恰好配套．求多少米布料做玩偶A，多少米布料做玩偶B．设用米布料做玩偶A，用米布料做玩偶B，可列方程组为______． 11. 如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为_______． 12. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，，，点是折线上一动点（点除外），连接，点关于的对称点为点，若点落在矩形的边上，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、证明 （1）计算：； （2）如图，在四边形中，，点为对角线上一点，且，．求证：． 14. 先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 15. 如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出边的高； （2）在图2中作出的垂心． 16. 校园数学文化艺术节，某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C、D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． （1）请写出小明第一次抽，抽到卡片恰好为数学家祖冲之的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．（用树状图或列表的方式说明） 17. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的周长结果保留 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． （1）求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ （2）若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 19. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的关系式． （2）点是反比例函数图象上的一点，若是以为直角顶点的直角三角形，求点的坐标． 20. 桑梯——登以采桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．（参考数据：，，，，，结果精确到米） （1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度；（结果保留根号） （2）当时，求桑梯顶端到地面距离的范围． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 7 乙 7 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中______，______． 请根据信息处理速度评分，哪款AI软件更受欢迎． （2）根据信息识别准确度得分统计图，估计500位用户最喜爱乙软件的人数． （3）经过调查发现，用户对信息处理速度和信息识别准确度的关注度占比为2∶8，现按照这个占比计算两款软件的综合得分，结合数据分析，哪款软件胜出． （4）若用户对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲AI软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，该公司准备了针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的平均数将______，方差将______（填“增大，减小”或“不变”）． 22. 在平面直角坐标系中，若点横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“相反点”，如点，都是“相反点”． （1）探究1 下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有“相反点”都在直线上． （2）若一次函数（）的图像上存在相反点，请直接写出，应满足的条件． （3）探究2 小亮在研究抛物线（）时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． （4）探究3 如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点，在轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． （1）【操作探究】如图1，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转到矩形的位置，当经过点时，连接，线段的长度为______； （2）如图2，菱形绕点逆时针旋转到菱形的位置，与共线，与交于点，与交于点，延长、交于点．判断四边形的形状，并说明理由； （3）【问题解决】如图3，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点，小华猜想此时点应落在边上，王老师提供了如图4所示思路，请填空： （4）【拓展提升】如图5，在中，，，（），将绕着中点顺时针旋转到的位置，当点为一次落在边上时，边与边相交于点． ①猜想、、是否在同一直线上，并说明理由； ②求的长．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江第一中学2025—2026年度下学期第一次模拟考试 初三年级（数学）试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 高足碗是中国传统碗式样，造型与高足杯相似，由上方的碗和下方的高足组成，如图是它的主视图，则图中高足碗的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上往下看到图形，进行判断即可，注意看不见的线用虚线表示． 【详解】解：俯视图为： 故选D． 2. 下列运算正确的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据同底数幂的除法运算，合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方运算的法则，需根据各运算法则逐一判断选项的正误． 【详解】解：，故A选项正确． ，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项错误． 故选：A． 3. 据中国旅游研究院大数据监测，2026年春节假期期间庐山游客量215.5万人次，接待量稳居全国山岳型景区第一、全国重点景区第八．将215.5万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：215.5万． 4. 去年我市有5.6万学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（ ） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 5.6万学生是总体 C. 2000是样本容量 D. 2000名考生的数学成绩是总体的一个样本 【答案】B 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体． 【详解】解：A、为了了解这5．6万名考生的数学成绩，从中抽取了2000名考生的数学成绩进行统计分析，这种调查采用了抽样调查的方式，故说法正确； B、5.6万名考生的数学成绩是总体，故说法错误； C、2000是样本容量，故说法正确； D、2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故说法正确； 故选：B． 【点睛】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 5. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫作这种物质在这种溶剂中的溶解度，甲、乙两种蔗糖的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 甲、乙两种蔗糖的溶解度均随着温度的升高而增大 B. 当温度升高至时，甲蔗糖的溶解度与乙的溶解度一样 C. 当温度为时，甲、乙蔗糖的溶解度都小于 D. 当温度小于时，同等温度下甲蔗糖的溶解度大于乙的溶解度 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可． 【详解】A：甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大，故此选项说法正确，不符合题意； B：当温度升高至时，甲的溶解度与乙的溶解度一样，故此选项说法正确，不符合题意； C：当温度为时，甲、乙的溶解度都小于，故此选项说法正确，不符合题意； D：当温度小于时，同等温度下甲蔗糖的溶解度小于乙的溶解度，故此选项说法错误，符合题意． 故选：D． 6. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是看懂图形．根据题意对应上图1和图2中七巧板，过点E作交的延长线于点H，只要算出，，再根据勾股定理即可求解； 【详解】解：如图，图1和图2中七巧板对应如下， ∵正方形的边长为4， ∴，，，，， ∴，则， 过点E作交的延长线于点H， 则， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的倒数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，利用有理数除法运算即可求解． 【详解】设的倒数为x， ∴ 解得： 8. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 9. 如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ，， ， ， 10. 盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一家服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B ，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），且恰好配套．求多少米布料做玩偶A，多少米布料做玩偶B．设用米布料做玩偶A，用米布料做玩偶B，可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据总布料长度为135米，以及恰好配套时玩偶B的数量是玩偶A数量的2倍，即可列出相应的二元一次方程组． 【详解】解：设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶， 由总布料长度为135米，可得， 由题意可知，生产玩偶数量为个，生产玩偶的数量为个，因为恰好配套，一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶， ∴玩偶B的数量是玩偶A数量的2倍，可得， 因此所列方程组为． 11. 如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，，，点是折线上一动点（点除外），连接，点关于的对称点为点，若点落在矩形的边上，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到，分当点在上，在上时，当在上时，当在上，在上时，结合勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点，，，， ∴，，， ∴， 由折叠性质可得：，， 当点在上，在上时，过作于点，则， 设，其中，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形，是平行四边形， ∵， ∴四边形，是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 当在上时，如图，过作于点， 同理可得：四边形，是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在上，在上时，如图， 设，则， ∵点关于对称点为点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∴，解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、证明 （1）计算：； （2）如图，在四边形中，，点为对角线上一点，且，．求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂，零指数幂以及全等三角形的判定，熟练掌握运算法则以及全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据负指数幂，零指数幂，绝对值的运算法则进行计算即可； （2）根据得到，根据进行证明即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 证明：， 在和中， ， ． 14. 先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后从，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，0，1，2中，只有符合题意， 当时，原式． 15. 如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出边的高； （2）在图2中作出的垂心． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格的特征，取格点，连接并延长交于点即可； （2）同理（1）作出边的垂线，交边的垂线于点，点即为垂心． 【小问1详解】 解：如图所示，为所作； 【小问2详解】 解：如图所示，点为所作； 16. 校园数学文化艺术节，某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C、D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． （1）请写出小明第一次抽，抽到卡片恰好为数学家祖冲之的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．（用树状图或列表的方式说明） 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类即可解答；． （2）根据题意列表格，由表格可得所有等可能的结果数以及小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：小明第一次抽，抽到卡片恰好为数学家祖冲之的事件是随机事件； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 17. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的周长结果保留 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明与相切； （2）先根据，，求出，再根据半径相等得到最后根据弧长公式求出的长，加上和的长，得到阴影部分的周长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； 【小问2详解】 解：，， ， ， △是等边三角形， ， 的长度， 阴影部分的周长为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． （1）求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ （2）若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 【答案】（1）每件A款人形机器人售价为20万元.每件B款人形机器人售价为18万元 （2）最少预约销售了A款人形机器人10件 【解析】 【分析】（1）设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，再根据相同销售额下销量差为5件列分式方程求解即可； （2）设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据总销售额的要求列一元一次不等式，求解得到最小销售数量． 【小问1详解】 解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得 ， 解得 ， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 则， 答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元； 【小问2详解】 解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得 ， 解得， 答：最少预约销售了A款人形机器人10件． 19. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的关系式． （2）点是反比例函数图象上的一点，若是以为直角顶点的直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）设，利用勾股定理列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ，解得， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：设， 由题意得，则， 即， 整理得，，即， ∴或， 当时，与点B重合，舍去； 当时，，符合题意； 综上，点的坐标为． 20. 桑梯——登以采桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．（参考数据：，，，，，结果精确到米） （1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度；（结果保留根号） （2）当时，求桑梯顶端到地面距离的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． （1）过作于点，由题意易得，然后问题可求解； （2）过点作于点，，然后分当时和当时，进而分类求解即可． 【小问1详解】 解：过作于点， ∵，， ∴， ∵点为的中点，米， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 当时，； ∴， 即； ∴D与地面的距离范围为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 7 乙 7 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中______，______． 请根据信息处理速度评分，哪款AI软件更受欢迎． （2）根据信息识别准确度得分统计图，估计500位用户最喜爱乙软件的人数． （3）经过调查发现，用户对信息处理速度和信息识别准确度的关注度占比为2∶8，现按照这个占比计算两款软件的综合得分，结合数据分析，哪款软件胜出． （4）若用户对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲AI软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，该公司准备了针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的平均数将______，方差将______（填“增大，减小”或“不变”）． 【答案】（1）；；乙 （2）人 （3）甲软件 （4）增大；减小 【解析】 【分析】本题主要考查众数，中位数，平均数，方差，概率，统计图的知识，熟练掌握统计图是解题的关键． （1）根据信息处理速度得分统计图中的数据进行计算即可； （2）根据信息识别准确度得分统计图，人中给乙打分更高或等于的有名用户，即可得到答案； （3）根据加权平均数进行计算即可； （4）根据平均数和方差的计算方法和定义分析即可． 【小问1详解】 解：根据信息处理速度评分可知，甲软件信息处理速度得分的人数最多，有人，故； 根据中位数的定义，乙软件信息处理速度的中位数是第个数据的平均数，第个是分，第个是分， 故； 由于，故乙软件更受欢迎； 【小问2详解】 解：根据信息识别准确度得分统计图，人中给乙打分更高或等于的有名用户， 故500位用户最喜爱乙软件的人数人； 【小问3详解】 解：甲：， 乙：， ， 故甲软件胜出； 【小问4详解】 解：低用户加分后，总分增加、数据个数不变，故平均数增大；低分数据向平均数靠近，离散程度降低，方差减小． 故答案：增大；减小． 22. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“相反点”，如点，都是“相反点”． （1）探究1 下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． （2）若一次函数（）的图像上存在相反点，请直接写出，应满足的条件． （3）探究2 小亮在研究抛物线（）时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． （4）探究3 如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点，在轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 【答案】（1）③ （2）或且 （3） （4）水位超过了警戒线．理由见解析 【解析】 【分析】（1）先设出直线上的参数坐标，再根据“相反点”的定义得到方程求解判断即可； （2）根据题意，令，得到，即可解答； （3）把代入得：①．再根据“相反点”的定义关于x的方程有两个相等的实数根，则②，再联立①②解方程组即可； （4）先确定，，设抛物线解析式为，再代入求出函数解析式，然后根据“相反点”的定义得到方程当，再解方程即可判断． 【小问1详解】 解：①设直线上任意一点为， 由题意得，，方程无解，故①错误； ②设直线上任意一点为， 由题意得，，该方程无解 ∴一次函数的图象上不存在“相反点”，故②错误； ③直线上任意一点可设为，满足“相反点”定义， ∴所有的“相反点”都在直线上，故③正确； 【小问2详解】 解：根据题意，令，得到， 当时，即，此时，，方程有解，符合题意； 当时，即，此时，，方程有无数解，符合题意； 综上，当一次函数（）的图像上存在相反点，或且； 【小问3详解】 解：把代入得：①． ∵抛物线有且只有一个“相反点”， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴②． 由①②可得，． ∴抛物线的解析式为； 【小问4详解】 解：水位超过了警戒线． 理由如下：由题意得：，， 设抛物线解析式为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 当，得，（舍去）， ∴． ∵， ∴水位已超过警戒线． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． （1）【操作探究】如图1，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转到矩形的位置，当经过点时，连接，线段的长度为______； （2）如图2，菱形绕点逆时针旋转到菱形的位置，与共线，与交于点，与交于点，延长、交于点．判断四边形的形状，并说明理由； （3）【问题解决】如图3，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点，小华猜想此时点应落在边上，王老师提供了如图4所示思路，请填空： （4）【拓展提升】如图5，在中，，，（），将绕着中点顺时针旋转到的位置，当点为一次落在边上时，边与边相交于点． ①猜想、、是否在同一直线上，并说明理由； ②求的长．（用含的式子表示） 【答案】（1） （2）四边形是菱形，理由见解析 （3）， （4）①点、、在同一直线上，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，，，再由旋转的性质得，，，， ，然后由勾股定理得，则，即可解决问题； （2）先证四边形是平行四边形，再证，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （3）①连接，证明，可得，结合四边形是平行四边形，得，再证、、共线，即可得出结论； ②先证明，可得，，如图，过作，则，证明，，可得，，进一步即可解决问题． （4）①如图，连接，，，，证明四边形是矩形，可得，，而，可得在的延长线上；②求解，再证明，从而可得答案. 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形是矩形， ，，， 由旋转的性质得：，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：； 小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 菱形绕点旋转，与共线， ，，，，， 四边形平行四边形， ，即， 在和中，， ∴， ， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由旋转的性质得：，，， 和都是等腰三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形由四边形旋转而成， 四边形是平行四边形， ， 又， 、、共线， 图中两空分别为：，； 【小问4详解】 解：①点、、在同一直线上， ∵在中，，，（），将绕着中点O顺时针旋转到的位置， ∴，，，， 如图，连接，，，， ∵为的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，而， ∴，在的延长线上， ∴点、、在同一直线上； ②由①得， ∵四边形，四边形都是平行四边形，结合旋转， ∴，而， ∴， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $