2.3 轴对称和平移的坐标表示 第2课时课件2025-2026学年湘教版数学八年级下册

2.3 轴对称和平移的坐标表示 第2章 图形与坐标 湘教版 八年级下册 第2课时 简单平移的坐标表示 知识回顾 平移的定义：在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移. 1. 新图形与原图形形状和大小不变，但位置改变； 2. 对应点的连线平行 (或在同一条直线上) 且相等. 平移的性质： 做一做 1 3 5 -1 -3 O 3 -1 5 -3 -5 7 1 1. 将点 A向右平移 4个单位长度，像为点 A1； 2. 将点 A向左平移3 个单位长度，像为点 A2； A1 A2 y x A 如图，在平面直角坐标系中，A(1,2)分别沿坐标轴方向作以下变换，试作点A的像，并写出像的坐标. A3 A4 3. 将点 A 向上平移 个单位长度，像为点 A3； 4. 将点 A(-2，-3) 向下平移4个单位长度，像为点 A4 . 原像 平移方向与距离 像 坐标变化 横坐标 纵坐标 A(1,2) 向右平移4个单位长度 A1(5,2) 加4 不变 向左平移3个单位长度 A2(-2,2) 减3 不变 向上平移2个单位长度 A3(1,4) 不变 加2 向下平移4个单位长度 A4(1,-2) 不变 减4 知识讲解 点的平移规律: 向左平移 k 个单位长度对应点P2(a-k，b) 向右平移k 个单位长度对应点 P1(a+k，b) 向上平移 k 个单位长度对应点 P3(a，b + k) 向下平移 k 个单位长度对应点 P4(a，b - k) 图形上的点P(a，b) 一般地，在平面直角坐标系中，将点P（a，b）向右或向左平移 k 个单位长度，其像的坐标为（a+k，b）或（a-k，b）；将点P（a，b）向上或向下平移 k 个单位长度，其像的坐标为（a，b+k）或（a，b-k）. 知识归纳 O x y 1 1 -1 -1 B A 7 5 3 3 5 7 -3 思考 问题1：将线段 AB 向上平移 2个单位长度，作出它的像 A′B′，并写出点 A′，B′ 的坐标. B´ A´ 将线段AB向上平移2个单位长度，则线段AB上每一个点都向上平移2个单位长度，由点A，B的坐标可知其像的坐标是A'(1,3)，B'(4,6).连接点A'，B'，所得线段A'B'即为所求作的像，如图. 如图，线段 AB 的两个端点坐标分别为A(1，1)，B(4，4). 问题2：若点C(x,y)是平面内的任一点，在上述平移下，像点C'(x,y)与点C(x,y)的坐标之间有什么关系? 同理可求出，像点C'与点C的坐标关系为 如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,3)，B(2,1)，C(5,1). (1)将△ABC向下平移5个单位长度，作出它的像，并写出像的顶点坐标； (2)将△ABC向左平移7个单位长度，作出它的像，并写出像的顶点坐标. 例2 O x y 1 1 -1 -1 5 3 3 5 7 -3 -3 -5 -5 -7 A B C 典例精析 O x y 1 1 -1 -1 5 3 3 5 7 -3 -3 -5 -5 -7 A B C 解：(1)将△ABC向下平移5个单位长度，则横坐标不变，纵坐标减5.由点A，B，C的坐标可知，其像的坐标分别是A1(3,-2)，B1(2,-4)，C1(5,-4)，依次连接点A1，B1，C1，即可得△ABC的像△A1B1C1，如右图. (2)将△ABC向左平移7个单位长度，则横坐标减7，纵坐标不变.由点A，B，C的坐标可知，其像的坐标分别是A2(-4,3)，B2(-5,1)，C2(-2,1)，依次连接点A2，B2，C2，即可得△ABC的像△A2B2C2，如右图. A1 B1 C1 A2 B2 C2 知识讲解 图形的平移规律: (1)原图形向左或右平移 k (k > 0) 个单位长度： 向左平移 k 个单位 (2)原图形向上或下平移 k (k > 0) 个单位长度： 原图形上的点 P(a，b) 　　　　　　　　　 向右平移 k 个单位 原图形上的点 P(a，b) 　　　　　　　　　 P1(a - k，b) P2(a + k，b) 向上平移k个单位 原图形上的点 P(a，b) 　　　　　　　　　　 向下平移k个单位 原图形上的点 P(a，b) 　　　　　　　　　　 P3(a，b + k) P4(a，b - k) 点的平移的坐标表示 沿 x 轴平移 沿 y 轴平移 纵坐标不变 横坐标加上一个正数，向右平移 横坐标减去一个正数，向左平移 横坐标不变 纵坐标加上一个正数，向上平移 纵坐标减去一个正数，向下平移 课堂小结 在坐标系中，将点P(－3，2)向右平移3个单位长度到P1处，则点P1的坐标为(　　) A．(－6，2) B．(0，2) C．(－3，5) D．(－3，－1) B 1． 随堂练习 C 2． 将点A(－2，3)平移到点B(1，－2)处，下列平移方法正确的是(　　) A．向右平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 B．向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度 C．向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度 D．向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 C 3． 在直角坐标系中，把点A(m，2)先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4． A 如图，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在平面直角坐标系中的坐标分别为(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1).30秒后，飞机P飞到P′(4，3)位置，则飞机Q飞到的位置Q′的坐标为(　　) A．(2，3) B．(3，2) C．(2，2) D．(3，3) 5． 2 如图，A，B两点的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a＋b＝________. 6． (5，3)　 已知坐标平面内的点A(2，－1)，现在把原点先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点A在新坐标系中的坐标为________． 7． (x－4，y＋6) 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点分别为A(4，0)，B(5，－3)，C(1,－5)，D(2，－1)．将四边形ABCD平移得到四边形A1B1C1D1，此时点A的对应点为A1(0，6)． (1)若BC边上一点P(x，y)经过上述平移后的对应点为P1，用含x，y的式子表示点P1的坐标为_______________； (2)画出平移后的四边形A1B1C1D1. 【解】如图，四边形A1B1C1D1即为所求． 在平面直角坐标系中，将点A(m＋1，n－2)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A′.若点A′位于第二象限，则m，n的取值范围分别是(　　) A．m>1，n<－2 B．m>1，n>－2 C．m<1，n<－2 D．m<1，n>－2 8． D 9． 如图，四盏灯笼A，B，C，D的坐标分别是(－1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是(　　) A．将D向左平移4.5个单位长度 B．将C向左平移5.5个单位长度 C．将D向左平移3.5个单位长度 D．将C向左平移3.5个单位长度 B 10． 11.4 如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC， CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位长度后，点B恰好和原点O重合，则m的值是________． 11． 有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai(xi，yi)，其中i＝1，2，3，…，n，…，且xi，yi是整数．记an＝xn＋yn.如A1(0，0)，即a1＝0；A2(1，0)，即a2＝1；A3(1，－1)，即a3＝0；…，以此类推，则 A24(______，______)，a24＝________， A36(______，______)，a36＝________， a(2n－1)2＝________. 1 2 3 －2 －3 －5 2n－2 12． 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(－4，－1)，C(0，2)，△ABC经一次平移后得到△DEF，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，其中点D的坐标为(－1，－2)． (1)平移的距离为________； (2)请画出平移后的△DEF； 【解】如图，△DEF即为所求． (3)若P(a，b)为△ABC边上的一个点，平移后点P的对应点Q的坐标为____________； (4)求平移过程中，边AB扫过的面积． (a＋2，b－3) 13． (2，14) 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，若点Q的坐标为(ax＋y，x＋ay)，则称点Q是点P的“a阶华益点”(其中a为常数，且a≠0)． (1)若点P的坐标为(－1，5)，则它的“3阶华益点”的坐标为________． (2)若点P(c＋1，2c－1)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“－3阶华益点”P2位于坐标轴上，请直接写出点P2的坐标． (3)已知A(2，0)，B(0，2)，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点P(x，y)，它的“m阶华益点(m为正整数)”Q使得四边形AOBQ的面积为6？如果存在，请求出m的值和点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解】存在．由题易得点P(x，y)的“m阶华益点”Q的坐标为(mx＋y，x＋my)．因为点P(x，y)在第一象限，m为正整数，所以点Q在第一象限．连接AB，过点Q作MN∥AB，分别交x轴、y轴于点N，M，连接AM，BN，OQ，如图． 数学家高斯推动了数学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1＋2＋3＋4＋…＋100时，将首尾两个数相加，进而得到1＋2＋3＋4＋…＋100＝.人们借助于这样的方法，得到1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n是正整数)． 【解】平移过程中，边AB扫过的面积为 3×5－×2×3－×1×2－×2×3－×2×1＝7. 【解】点P2的坐标为(0，－16)或. 因为S四边形AOBQ＝S△ABO＋S△ABQ＝6， 所以S△ABQ＝6－×2×2＝4. 因为MN∥AB，所以易得S△ABM＝S△ABN＝S△ABQ＝4. 所以易得AN＝4，BM＝4. 所以M(0，6)，N(6，0)．所以S△OMN＝6×6×＝18. 因为S△OQM＋S△OQN＝S△OMN， 所以×6(mx＋y)＋×6(x＋my)＝18，整理，得(m＋1)(x＋y)＝6. 又因为m，x，y均为正整数，所以①当m＋1＝2，即m＝1时，x＋y＝3，则 或 所以点P的坐标为(1，2)或(2，1)． ②当m＋1＝3，即m＝2时，x＋y＝2，则 所以点P的坐标为(1，1)． 综上所述，当m＝1时，点P的坐标为(1，2)或(2，1)，当m＝2时，点P的坐标为(1，1)． $