精品解析：甘肃武威市凉州区河东中学、东河中学2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试试卷 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 关于的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在 中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图， 中，，将其绕点旋转得到，使点的对应点落在边上，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与双曲线在同一直角坐标系中没有交点，那么（   ） A. B. ， C. D. ， 8. 如图，线段相交于点，，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接．若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：① ；②为任意实数时，；③ ；④不等式的解集为．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 因式分解： _________ ． 12. 如图，菱形 的对角线，相交于点，，，与交于点F．若 ，，则菱形 的面积为_____． 13. 若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______． 14. 如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 15. 如图， 的半径为4，四边形 内接于 ，，点C是弧的中点，则弧的长为________． 16. 如图，的边 落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 17. 如图，在正方形 中，为对角线上一点， 与交于点，当时，则的值为__________． 18. 如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为_____． 三、解答题（共66分） 19. 如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． （1）画出关于所在直线对称的 ； （2）将 绕点逆时针旋转 得到，画出． 20. 计算、解方程： （1）计算：． （2）解方程：． 21. 目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计，该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售 辆．求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率． 22. 为丰富同学们的课外生活，某中学组织了书法比赛，由书法老师对每位同学的作品进行打分．校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩x（单位：分）作为样本，将其按如下四个等级分类统计，并绘制条形统计图和扇形统计图，如下（均不完整）： 成绩等级标准 A．优秀： B．良好： C．合格： D．不合格： 根据以上信息，解答下列各题： （1）抽取的学生人数为________人，并补全条形统计图； （2）D等级所在扇形的圆心角度数为________°，抽取的学生成绩的中位数落在________等级； （3）校学生会计划奖励A等级学生每人80元的书法用具，奖励B等级学生每人50元的书法用具．已知该校有600人参与了书法比赛，请你估计购买奖品所需的费用为多少元． 23. 、是 的直径， ，，垂足为，点是弧上一动点（不与重合），与交于点． （1）求的度数； （2）若点在弧的中点处，求证： ． 24. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求的值和反比例函数的表达式． （2）直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离． 25. 如图，已知 的直径为，平分 ，交 于点，过点作，垂足为． （1）判断与 的位置关系，并给出证明． （2）若，求 的半径． 26. 如图，在正方形 的边上取点，边的延长线上取点，使得． （1）求证： ； （2）连接与交于点，若，，求的长． 27. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标； ②如图2，直线 交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试试卷 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 关于的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式， 移项得， 系数化为1得； 解不等式， 去分母得， 移项得， ∴原不等式组的解集为 ， 数轴表示如下所示： ． 2. 如图，在 中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在 中，，，， ， 是斜边的中点， ． 3. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根，据此可得，再由二次项系数不为0可得 ，据此求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， 且 ， ∴ 解得， 且 ． 4. 如图， 中，，将其绕点旋转得到，使点的对应点落在边上，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质求出，则可得出答案． 【详解】解：∵， ， 绕点A旋转得到，使点落在边上， ∴，， ∴． 5. 如图，，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接和根据圆心角定理求出的度数，又知，即可求出，进而求出 ，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：连接和 ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 6. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式：概率等于所求事件的结果数除以所有等可能结果的总数即可计算． 【详解】解：∵从5位数学家中随机选取一位，所有等可能的结果共有5种， 其中赵爽被选中的结果只有1种， ∴赵爽被选中的概率为． 7. 若直线与双曲线在同一直角坐标系中没有交点，那么（   ） A. B. ， C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线和双曲线可得，根据没有交点可知方程无解，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：联立，则， 整理得：， 直线与双曲线在同一直角坐标系中没有交点， 方程无解，即， ． 8. 如图，线段相交于点，，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】首先由得到，得到，然后结合得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴． 9. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接．若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出 ，由作图知：，根据等边对等角得出，然后根据正切的定义求出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知：， ∴， ∴． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：① ；②为任意实数时，；③ ；④不等式的解集为．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线开口向上、对称轴、交y轴正半轴，得、、，故 、 ；顶点最小值为1，恒成立；将变为，结合图象即可判断四个结论． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，抛物线对称轴为，抛物线与轴交于正半轴， ∴，对称轴为 ，常数项， ∴ ， ∴； ∴ ，①正确； ∵抛物线顶点坐标为，即函数的最小值为，且抛物线开口向上， ∴对任意实数，都有，②正确； ∵ ∴ ，③正确； 由题意得， ， ∴二次函数值小于一次函数 的值， ∵二次函数过点和，这两个点也在直线 上， ∴两个函数的交点为和， 由图可得，在两个交点之间，抛物线在直线 的下方， ∴不等式成立的范围是，④正确． 综上所述，正确的个数有4个． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 因式分解： _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 12. 如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若 ，，则菱形的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线性质可得、 ，易证得四边形是矩形，进而得到 ，再利用勾股定理求出 的长，进而得到的长，从而计算菱形的面积． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点， 、 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：24． 13. 若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程整理为一般式得， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 14. 如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用平行四边形性质及关于原点对称的点坐标特点即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，， ∴C点与A点关于原点对称， ∴． 15. 如图，的半径为4，四边形内接于，，点C是弧的中点，则弧的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先求出，得到所对的圆周角为，进而求出，则弧的长为，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形内接于，， ∴， ∵点C是弧的中点， ∴所对的圆周角为， ∴， ∴弧的长为． 16. 如图，的边 落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】过A作 于D，设，根据三角形的面积公式得到，求得，求得，列方程即可得到结论． 【详解】解：过A作 于D， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴设，则有， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∴， ∴ ． 17. 如图，在正方形中，为对角线上一点， 与交于点，当时，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足分别为G、H，可证明四边形是正方形，得到，；再证明，得到，则可证明，进而可推出 ，证明，则． 【详解】解：如图，过点作，垂足分别为G、H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，； ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， ∵， ∴， ∴． 18. 如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为_____． 【答案】544 【解析】 【分析】本题考查了三视图，勾股定理，等腰三角形的性质，先认真分析和观察三视图得出这个几何体是倒放的三棱柱，再算出， （等腰三角形的三线合一），结合三棱柱的表面积等于两个三角形面积和三个长方形的面积，即可作答． 【详解】解：如图所示： 结合一个机器零件的三视图，得出这个几何体是倒放的三棱柱， 结合左视图得出主视图的等腰三角形的高是 ， 则，（等腰三角形的三线合一） ∴， 则， 故答案为：544． 三、解答题（共66分） 19. 如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． （1）画出关于所在直线对称的 ； （2）将 绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】（1） 解：过点作关于直线的对称点，连接和，如图所示， 即为所求； （2） 解：先画出点绕点逆时针旋转的对应点，再画出点绕点逆时针旋转的对应点，再连接，和， 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形，画旋转图形等． （1）根据题意过点作关于直线的对称点，连接和，即可得到本题答案； （2）根据题意将 绕点分别画出 的对应点，再连接，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 计算、解方程： （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质分别进行计算，再进行加减运算，即可解题； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 21. 目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计，该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售 辆．求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率． 【答案】该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为 【解析】 【分析】设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售 辆，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为， 依题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为． 22. 为丰富同学们的课外生活，某中学组织了书法比赛，由书法老师对每位同学的作品进行打分．校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩x（单位：分）作为样本，将其按如下四个等级分类统计，并绘制条形统计图和扇形统计图，如下（均不完整）： 成绩等级标准 A．优秀： B．良好： C．合格： D．不合格： 根据以上信息，解答下列各题： （1）抽取的学生人数为________人，并补全条形统计图； （2）D等级所在扇形的圆心角度数为________°，抽取的学生成绩的中位数落在________等级； （3）校学生会计划奖励A等级学生每人80元的书法用具，奖励B等级学生每人50元的书法用具．已知该校有600人参与了书法比赛，请你估计购买奖品所需的费用为多少元． 【答案】（1）60，补全条形统计图如答图． （2）36，B （3）估计购买奖品所需的费用为26400元． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数的计算，圆心角计算，样本容量的计算，样本估计总体，读懂统计图，熟练掌握圆心角，样本容量的计算是解题的关键． （1）利用C等级的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用样本容量的意义，根据计算补图即可． （2）根据圆心角等于所占百分比乘以 ，计算即可，根据中位数的定义计算解答即可； （3）先求出A等级和B等级人数，然后估计购买奖品所需的费用即可． 【小问1详解】 解： （人） 答：抽取的学生人数为 人． A等级人数： （人）， D等级人数： （人）， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：，B． D等级所在扇形的圆心角度数为 ， 一共抽取了 人，中位数是第、 人的平均成绩，将参赛同学的成绩按从小到大的顺序排列，A等级有 人，B等级有人， （人）， 所以排在第、 的两人的成绩均处于B等级，所以抽取的学生成绩的中位数落在B等级． 【小问3详解】 解： （人）， （人）． （元）． 答：估计购买奖品所需的费用为 元． 23. 、是的直径， ，，垂足为，点是弧上一动点（不与重合），与交于点． （1）求的度数； （2）若点在弧的中点处，求证： ． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，连接，， ∵点在弧的中点处， ∴， ∴， 由（）可知：， ∴， ∵， ， ∴， ∵ 是 的一个外角， ∴， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，如图所示，由是的直径，则，又，则，因为，所以，通过圆周角定理可得，再由角度和差即可求解； （）连接，，由点在弧的中点处，则，所以，由（）可知，可得，然后通过外角性质可得，则有 ，由等腰三角形判定得证． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 24. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求的值和反比例函数的表达式． （2）直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离． 【答案】（1）的值为；反比例函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】（1）将点的纵坐标代入直线解析式求出横坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求出系数，即可确定表达式； （2）先利用反比例函数解析式求出点坐标，再设平移距离为写出平移后的直线解析式，最后将点坐标代入解析式解方程求出． 【小问1详解】 解：把代入中，得，解得， 故点的坐标是； 把代入，得， 故反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线向下平移了个单位长度， 则平移后的直线表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， 令 ，解得， ∴点的坐标为， 将代入直线， 可得，解得， ∴直线向下平移的距离为． 25. 如图，已知的直径为，平分 ，交于点，过点作，垂足为． （1）判断与的位置关系，并给出证明． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接 ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵为半径 ∴直线是的切线 （2）4.5 【解析】 【分析】（1）连接，证明，则可证 ，进而证明，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 即的半径为4.5． 26. 如图，在正方形的边上取点，边的延长线上取点，使得． （1）求证： ； （2）连接与交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴ ； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，即可求证； （2）根据，．，可得 ，再根据正方形的性质可证得，从而得到，进而得到 ，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， 解得： ， 在正方形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得： ， ∴． 27. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标； ②如图2，直线 交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式、求点的坐标、四边形的周长、一次函数的表达式、菱形的判定与性质、分类讨论，熟练掌握二次函数的性质和几何图形的性质是解题的关键． （1）把点，点代入，即可求解； （2）过点C作于点Q，可得为等腰直角三角形，从而得到，设点，则，再由四边形为矩形，可得，，再根据，即可求解； ②过点作 轴，交轴于点，先求出直线的解析式，证得四边形为菱形，可得，然后根据，设点，则可得点的坐标，然后分三种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点Q， ∵点， ∴ ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点，则， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 解得 ，（舍去）， ∴点P的坐标为． 如图，过点作 轴，交轴于点， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为 ， 把点，点代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点E关于直线的对称点落在y轴上， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵ 轴， ∴， ∴， 设点，则， 当点在轴左侧时，则， 当时，， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴四边形的周长为； 当时，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴四边形的周长为； 当点在轴右侧时，如图，点关于直线的对称点不会落在y轴上， 综上所述，四边形的周长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $