专题3.1图形的平移 同步讲义 （题型导航+知识梳理+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

3.1图形的平移 同步讲义 （北师大版） 题型导航 题型1生活中的平移现象 题型2图形的平移 题型3利用平移的性质求解 题型4利用平移解决实际问题 题型5平移（作图） 题型6求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型7由平移方式确定点的坐标 题型8已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型9已知图形的平移，求点的坐标 题型10已知平移后的坐标求原坐标 题型11平移综合题（几何变换） 题型12坐标系中的平移 题型13巩固提升 知识梳理 知识点一、平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 例如：把△ABC沿直线EF的方向平移，得到△A’B’C’ 对应点：点A与点A’，点B与点B’，点C与点C’ 对应线段：AB与A’B’，AC与A’C’，BC与B’C’ 对应角：∠A与∠A’，∠B与∠B’，∠C与∠C’ 重点提示：1.图形的平移是一种位置变换，它只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小． 2.平移可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定方向的平移，只要是直线方向即可． 知识点二、平移的两个要素 1.平移方向（如：水平向左、向右，竖直向上、向下等） 2.平移距离（对应点之间线段的长度） 知识点三、平移的性质(如下图) 1.平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小。 2.平移前后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.平移前后，对应角相等。 4.连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。 知识点四、平移作图步骤 知识点五、坐标系中的平移规律（点的平移） 设点坐标为 (x,y)： 1.向右平移 a 个单位 →(x+a, y) 2.向左平移 a 个单位 →(x−a, y) 3.向上平移 b 个单位 →(x, y+b) 4.向下平移 b 个单位 →(x, y−b) 知识点六、平移的常见应用 1.利用平移性质求周长、面积， 2.设计平移图案，解决实际路径问题等。 题型解读 题型1.生活中的平移现象 1．下列图案中，不能用其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义判断即可． 【详解】解：由平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．根据定义可知A、B、D选项均可以用其中一部分经过平移得到，不符合题意，C选项不能用其中一部分经过平移得到，符合题意，故选C． 2．如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【答案】540 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为，宽为的长方形面积即可． 【详解】解：由平移可得到图，其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为． 3．如图是小欣利用滑轮把物块M抬高的场景，则物块M上升的过程可以看作数学上的__________运动．    【答案】平移 【详解】解：由题意得，物块M上升的过程可以看作数学上的平移运动 ． 题型2.图形的平移 1．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：由平移可知，得到的图形可能是． 故选：C． 2．如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 【答案】 【详解】解：由题意，线段与线段是一组对应线段，与是一组对应角. 3．如图，是由沿射线方向平移得到的，若的周长为，则四边形的周长为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，可得出等于的长度，则四边形的周长可转化为的周长与和的长度和，据此可解决问题． 【详解】解：由平移可知， ，， 的周长为16cm， ， ， 即四边形的周长为． 故答案为：． 题型3.利用平移的性质求解 1.如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 2.如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． 3.如图，将沿水平方向向右平移到的位置，已知点A、D之间的距离为1，，则的长为___________． 【答案】5 【分析】根据平移的性质和线段的和差求解即可． 【详解】解：∵沿水平方向向右平移到，点A、D之间的距离为1，， ∴， ∴． 题型4.利用平移解决实际问题 1．如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 【答案】D 【分析】2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到，根据平移的性质，作答即可 ． 【详解】解：由题意，2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到， 故三个散热片所用管道一样长 ． 2．如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移在实际问题中的应用，解题的关键是理解台阶上铺地毯的长度与台阶水平方向总长度和垂直方向总长度的关系． 明确台阶的水平部分总长度等于底边的长度，垂直部分总长度等于高的长度；地毯的长度为水平部分总长度与垂直部分总长度之和，代入数值计算即可． 【详解】由题意可知，台阶的水平底边即所有台阶水平部分的总长度为台阶高即所有台阶垂直部分的总长度为． 在台阶上铺地毯，地毯的长度至少需要覆盖所有水平部分和垂直部分，因此地毯长度水平部分总长度垂直部分总长度． 故选：C． 3．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 【答案】44 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为，宽为， ∴阴影部分的面积． 故答案为：44． 题型5.平移（作图） 1．如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题，熟练掌握轴对称最短路径中的“造桥选址问题”的方法是解题的关键．“造桥选址问题”是先利用平移的思想转化为常见的最值问题，再利用“两点之间线段最短”即可解决． 【详解】解：由于河岸是固定的，桥与河的两岸相互垂直 所以桥的长度是固定的， 因此当最小时，即最小， 将沿河岸垂直的方向平移，点移动到点，点移动到点， 则，， 则，其中点，位置固定， 则当点，，共线时，最短， 则最小， 故C选项符合题意， 故选：C． 2．如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∵，向右平移距离为，点的对应点为点， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的性质是解题的关键． 3．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型6.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质与平移规律，熟练掌握关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征及点的平移规律是解题的关键。根据平面直角坐标系中关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征，以及点的平移规律，逐一判断每个选项的正确性，从而选出正确答案。 【详解】∵关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 又∵点，的横坐标相同，纵坐标与互为相反数． ∴与关于轴对称，选项正确． ∵关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵将点向右平移个单位长度，横坐标为，得到的点为，不是点． ∴选项错误． 故选：A． 2．已知点，把A点向右平移3个单位，向下平移2个单位后的坐标为________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，点的平移规律为：向右平移横坐标加，向左平移横坐标减；向上平移纵坐标加，向下平移纵坐标减．根据平移规律计算平移后点的横纵坐标即可得到结果． 【详解】解：点，把A点向右平移3个单位，向下平移2个单位后的坐标为，即． 3．若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，熟练掌握坐标平移的特征是解题的关键． 点向上平移后纵坐标增加3，平移后的点在x轴上，纵坐标为0，据此列方程求解． 【详解】解：已知点向上平移3个单位后，． 点在x轴上， 纵坐标， 解得． 故答案为：． 题型7.由平移方式确定点的坐标 1．已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 2．已知点满足，将点P向右平移2个单位长度后得到点Q，则点Q的坐标是 __________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的被开方数不小于零的条件求出x与y，再根据题意求出Q的坐标即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得， 把代入， 解得， 则点P的坐标为， 当点P向右平移2个单位长度后得到点Q， 则Q的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据平移后点的对应点D的坐标为，得出是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，再由坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”得出点C的坐标即可． 【详解】解：∵将平移后得到，平移后点的对应点D的坐标为， ∴是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， ∴点是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到点C， ∴点C的坐标为，即． 题型8.已知点平移前后的坐标，判断平移方式 1．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】B 【分析】平面直角坐标系平移中点的变化规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，根据坐标变化判断平移方法即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，平移后点B的坐标为， ∴两点纵坐标相等，没有发生上下平移，故排除C、D选项； 又∵，横坐标减少4，符合左移减的规律， ∴平移方法为向左平移4个单位长度． 2．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点，连接，根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，结合已知可得出C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，根据中点坐标公式求出点C的坐标，然后根据平移规律求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵将线段沿射线方向平移得到线段， ∴C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵，，点为中点， ∴，即， ∴，即． 3．如图，点，的坐标分别为，，将线段平移至线段，点，的坐标分别为，，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查点平移的规律：纵坐标上加下减，横坐标左减右加，根据题意可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，对应的点，的坐标分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型9.已知图形的平移，求点的坐标 1．如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的规律进行求解即可． 【详解】解：由题意得，线段平移到的横坐标变化为：（向右平移4个单位）； 纵坐标变化：（向上平移2个单位）， ∴平移后的横坐标：； 纵坐标：． ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平移求点的坐标，根据点的平移规则，向右平移横坐标增加，向上平移纵坐标增加，按顺序计算即可． 【详解】解：点向右平移3个单位，则坐标为，再向上平移2个单位，则坐标为， 故， 故选A． 3．如图，已知点，．将线段平移后得到线段，点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形的面积为9，则点C的坐标为________． 【答案】或 【分析】先求的长度，再根据平行四边形面积公式求点的坐标，最后根据平移的性质求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点，， ∴， 设点的纵坐标为． ∵四边形的面积为， ∴， 解得， ∴点的坐标为或， 当点的坐标为：时： 点的坐标为 故点坐标为： 当点的坐标为：时： 点的坐标为 故点坐标为： 故答案为：或． 题型10.已知平移后的坐标求原坐标 1．点A沿x轴的正方向平移3个单位长度得到点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由平移后的坐标点求原坐标点，根据平移方式以及平移后的坐标求出原坐标即可． 【详解】解：将沿x轴的负方向平移3个单位长度得到， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标确定平移规则，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移后，点的对应点为， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∵点的坐标为， ∴，即； 故答案为：． 3．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为__________． 【答案】（4，8） 【分析】设A（x，y），根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列方程求解，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：设A（x，y）， ∵点A向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（−2，5）， ∴x＋2＝−2，y−3＝5， 解得x＝−4，y＝8， ∴点A的坐标为（−4，8）， ∴A点关于y轴的对称点坐标为（4，8）． 故答案为：（4，8）． 【点睛】本题考查了坐标的平移规律，以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 题型11.平移综合题（几何变换） 1．在直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（    ） A．横、纵坐标分别乘以2 B．横坐标不变，纵坐标分别加2 C．横坐标不变，纵坐标变成原来的2 倍 D．横坐标加2，纵坐标乘以2 【答案】B 【分析】本题主要考查了学生对图形的平移等有关知识的掌握情况，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度可得答案． 【详解】解：．横坐标、纵坐标分别乘2，横、纵坐标分别乘以2，这种变换会使五边形各边在横纵方向上都拉伸为原来的2倍那么五边形的大小会改变，故该选项不符合题意； ．横坐标不变，纵坐标分别加2，这表示五边形在垂直方向上向上平移了2个单位长度，在这个过程中五边形的大小和形状都不会发生改变，故该选项符合题意； ．横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，这会使五边形在垂直方向上拉伸，大小会改变，故该选项不符合题意； ．横坐标加2，纵坐标乘以2，横坐标加2是水平方向平移，纵坐标乘以2是垂直方向拉伸，五边形的大小会改变，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【答案】B 【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：A．∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．平移距离应该是的长度，由，可知，故B错误，符合题意； C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故C正确，不符合题意； D．∵的面积是4，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为________． 【答案】1 【分析】连接、根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解： 如图：连接AA1， ∵将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1， ∴＝4， ∵M是AB的中点， ∴AM＝AB＝3， ∴4-3≤MA1≤4+3， 即1≤MA1≤7， ∴MA1的最小值为1, 故答案为：1． 【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 题型12.坐标系中的平移 1．已知过，两点的直线平行于y轴，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线的性质，掌握“平行于 y 轴的直线上的点横坐标相同”是关键． 根据平行于 y 轴的直线上点的横坐标相等，即可求解． 【详解】∵ 过，两点的直线平行于 y 轴， ∴ A、B两点的横坐标相等，即． 故选B． 2．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 3．线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，关键是熟练应用坐标特征解题； 由于线段平行于轴，点和点的纵坐标相同，根据点在点的右侧求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为，线段平行于轴， ∴点的纵坐标与点相同为； 设点的横坐标为， ∴， ∵点在点右侧，， ∴， 解得， 故点的坐标为， 故答案为：． 巩固提升 一、解答题 1．已知点，解答下列问题： (1)若点到轴和轴的距离相等，求的值． (2)若点向上平移6个单位后，所得的点与点关于轴对称，求的值． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据点到轴和轴的距离相等列绝对值方程求解即可； （2）求出平移后的点的坐标，根据“关于轴对称”列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点到轴和轴的距离相等， ∴， 即， ∴， 解得：或； （2）解：点向上平移6个单位后得到即， ∵所得的点与点关于轴对称， ∴， 即， 解得：． 2．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．求这块草地的绿地面积． 【答案】 【分析】根据小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，可得路的宽度是，根据平移，可得到完整的矩形，再根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：小路的左边线向右平移就是它的右边线， 将小路左半部分的草地向右平移，与小路的右半部分对接， 可以得到一个长为，宽为的长方形， 其面积为． 答：这块草地的绿地面积为． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，属于基础题，平移得到矩形，再利用矩形的面积公式得出是解题关键． 3．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 4．画图并填空：如图，的顶点都在方格纸的格点上，每个格子的边长为1个单位长度，将向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到． (1)画出表示点C到的距离的线段； (2)在图中画出平移后的； (3)若连接，，则这两条线段的关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）依据三角形高线的概念即可得到边上的高，即可求解； （2）根据平移方式找到A、B、C对应点、、的位置，然后顺次连接点、、即可； （3）根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由平移的性质可得，， 故答案为：，． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移4个单位后得到，请画出，并写出的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，的坐标 (2) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标； （2）解：由图可得，的面积． 6．如图，每个小方格的边长为1，点A、B、C都是格点． (1)长为_________；面积为_________； (2)建立平面直角坐标系，若点，点， ①点C坐标为_________； ②将向左平移一个单位，再向上平移一个单位，则点B对应点坐标为_________； 【答案】(1)；3 (2)①；② 【分析】本题考查格点三角形面积的计算，坐标系上的点和坐标系上点的平移规律， （1）根据网格，直接计算即可； （2）①先由已知点的坐标，确定x轴，y轴和原点的位置，即可确定点C的坐标； ②根据图形的平移特征，借助坐标系上点的平移规律确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：由网格的性质，可知； ； （2）解：①由点和点，可以得出坐标系如下： 且网格中，小方格的边长即为坐标系对应的单位长度， 由图可知，； ②根据图形上点的平移与图形的平移一致， 点B向左平移一个单位，向上平移一个单位，得到点， 故点的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1图形的平移 同步讲义 （北师大版） 题型导航 题型1生活中的平移现象 题型2图形的平移 题型3利用平移的性质求解 题型4利用平移解决实际问题 题型5平移（作图） 题型6求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型7由平移方式确定点的坐标 题型8已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型9已知图形的平移，求点的坐标 题型10已知平移后的坐标求原坐标 题型11平移综合题（几何变换） 题型12坐标系中的平移 题型13巩固提升 知识梳理 知识点一、平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 例如：把△ABC沿直线EF的方向平移，得到△A’B’C’ 对应点：点A与点A’，点B与点B’，点C与点C’ 对应线段：AB与A’B’，AC与A’C’，BC与B’C’ 对应角：∠A与∠A’，∠B与∠B’，∠C与∠C’ 重点提示：1.图形的平移是一种位置变换，它只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小． 2.平移可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定方向的平移，只要是直线方向即可． 知识点二、平移的两个要素 1.平移方向（如：水平向左、向右，竖直向上、向下等） 2.平移距离（对应点之间线段的长度） 知识点三、平移的性质(如下图) 1.平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小。 2.平移前后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.平移前后，对应角相等。 4.连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。 知识点四、平移作图步骤 知识点五、坐标系中的平移规律（点的平移） 设点坐标为 (x,y)： 1.向右平移 a 个单位 →(x+a, y) 2.向左平移 a 个单位 →(x−a, y) 3.向上平移 b 个单位 →(x, y+b) 4.向下平移 b 个单位 →(x, y−b) 知识点六、平移的常见应用 1.利用平移性质求周长、面积， 2.设计平移图案，解决实际路径问题等。 题型解读 题型1.生活中的平移现象 1．下列图案中，不能用其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 3．如图是小欣利用滑轮把物块M抬高的场景，则物块M上升的过程可以看作数学上的__________运动．    题型2.图形的平移 1．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（    ） A． B． C． D． 2．如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 3．如图，是由沿射线方向平移得到的，若的周长为，则四边形的周长为______．    题型3.利用平移的性质求解 1．如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 3．如图，将沿水平方向向右平移到的位置，已知点A、D之间的距离为1，，则的长为___________． 题型4.利用平移解决实际问题 1．如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 2．如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 3．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 题型5.平移（作图） 1．如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 2．如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    题型6.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 2．已知点，把A点向右平移3个单位，向下平移2个单位后的坐标为________． 3．若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为_________． 题型7.由平移方式确定点的坐标 1．已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 2．已知点满足，将点P向右平移2个单位长度后得到点Q，则点Q的坐标是 __________． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 题型8.已知点平移前后的坐标，判断平移方式 1．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 2．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点，的坐标分别为，，将线段平移至线段，点，的坐标分别为，，则的值为______． 题型9.已知图形的平移，求点的坐标 1．如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知点，．将线段平移后得到线段，点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形的面积为9，则点C的坐标为________． 题型10.已知平移后的坐标求原坐标 1．点A沿x轴的正方向平移3个单位长度得到点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 3．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为__________． 题型11.平移综合题（几何变换） 1．在直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（    ） A．横、纵坐标分别乘以2 B．横坐标不变，纵坐标分别加2 C．横坐标不变，纵坐标变成原来的2 倍 D．横坐标加2，纵坐标乘以2 2．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 3．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为________． 题型12.坐标系中的平移 1．已知过，两点的直线平行于y轴，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 2．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 巩固提升 一、解答题 1．已知点，解答下列问题： (1)若点到轴和轴的距离相等，求的值． (2)若点向上平移6个单位后，所得的点与点关于轴对称，求的值． 2．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．求这块草地的绿地面积． 3．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 4．画图并填空：如图，的顶点都在方格纸的格点上，每个格子的边长为1个单位长度，将向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到． (1)画出表示点C到的距离的线段； (2)在图中画出平移后的； (3)若连接，，则这两条线段的关系是______． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移4个单位后得到，请画出，并写出的坐标； (2)求的面积． 6．如图，每个小方格的边长为1，点A、B、C都是格点． (1)长为_________；面积为_________； (2)建立平面直角坐标系，若点，点， ①点C坐标为_________； ②将向左平移一个单位，再向上平移一个单位，则点B对应点坐标为_________； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $