精品解析：福建省厦门第一中学2025-2026学年 第二学期3月学业调研评估 九年级数学学科练习

福建省厦门第一中学2025-2026学年度第二学期3月学业调研评估 初三年数学学科练习 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列多边形中，知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰三角形 5. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一．在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹(图1)，抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是正五边形的外接圆，点P是上的的一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船历时约3．5小时成功对接空间站天和核心舱前向端口，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录．我国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设从甲、乙、丙三名航天员中选两人进入问天实验舱开展科学实验，则甲、乙两人被同时选中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（ ） A. B. C. D. 9. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. ___________． 12. 点在双曲线上，若点B也在此双曲线上，则点B的坐标可以是_____（写出一个即可）． 13. 学校举行朗读比赛，七年级5个班参加比赛，通过抽签决定出场顺序，则七年级 （1）班恰好抽到第一个出场的概率为_________． 14. 因式分解：______． 15. 某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为，继续飞行到达处，测得旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为______ ．（结果保留根号） 16. 如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，延长，交于点N，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有________． 三、解答题（共8小题，86分） 17. 计算：； 18. 先化简， 再求值：，其中． 19. 如图，点B在线段AC上，AD∥BE，∠ABD＝∠E，AD＝BC，求证：BD＝EC． 20. 如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式． （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 21. 2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元，用720元购进“哪吒”手办的个数与用540元购进“敖丙”手办的个数相同． （1）单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）该超市发现每个“哪吒”手办的售价为52元时，可卖出180个，每增加1元，销量将减少10个．超市要求利润率不低于且不高于．问超市应如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 22. 为选拔一名跳高运动员去参加省赛，表现优异的小超和小梦共进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下： 小超：，，，，，，，； 小梦：，，，，，，，； 【数据整理】 平均数 中位数 众数 小超 x 小梦 y （1） m， m； （2）为了便于分析数据，教练用折线统计图表示了两位运动员的数据，由折线统计图可知 的成绩更为稳定； 【数据决策】 （3）经大数据分析预测，跳高获得冠军的可能性很大，为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请说明理由． 23. 阅读材料，回答问题． 主题 直角三角形中最大内接正方形的截取探究 提出问题 要在一个直角三角形中截取最大内接正方形，只有两种情况：一种是正方形的两边落在两条直角边上；另一种是正方形一边落在斜边上，有两个顶点分别落在两条直角边上．那么，哪种截取方法所得到的内接正方形的面积最大? 特例感知 在，，，． 问题1 小安同学所截取正方形的两边落在两条直角边上，请在图1中求作符合要求的正方形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出所截取正方形的边长； 问题2 小溪同学所截取正方形一边落在斜边上，有两个顶点分别落在两条直角边上，如图2所示，请求出所截取正方形的边长． 猜想验证 由上述特例，可以猜想并验证两种截取内接正方形的边长大小关系． 问题3 对于任意，，，，． 设按小安方法所截取的正方形边长为x，按小溪方法所截取的正方形边长为y，试比较x，y的大小，并说明理由． （1）解决问题1； （2）解决问题2； （3）解决问题3． 24. 如图，四边形内接于圆，，对角线平分． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作交的延长线于点，若，求的面积． 25. 如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式． （2）若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标． （3）在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2025-2026学年度第二学期3月学业调研评估 初三年数学学科练习 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键． 根据无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意； C、不是无理数，故本选项不符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：A 2. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将各数化为最简，再根据正数大于零，负数小于零，两个负数绝对值大的反而小进行比较即可． 【详解】解：，，，，且， ， 最小的数是， 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的意义、绝对值的意义、有理数的乘方、有理数的比较大小，熟练掌握有理数的比较大小的方法：正数大于零，负数小于零，两个负数绝对值大的反而小是解题的关键． 4. 下列多边形中，知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了矩形、菱形、正方形、等腰三角形的性质，根据四个图形的特征即可解答． 【详解】解：∵正方形的四个角都是直角，四个边相等， 故知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是正方形， 故选：C． 5. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一．在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹(图1)，抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 延长交于点F，利用平行线的性质和三角形外角性质计算即可． 【详解】如图，延长交于点F， ， ，，， ∴，， 故选：C． 6. 如图，是正五边形的外接圆，点P是上的的一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆内接多边形性质，以及同弧所对圆周角等于圆心角的一半，根据圆内接多边形性质求得，再根据圆周角定理得到，即可解题． 【详解】解：是正五边形的外接圆， ， ， ， 故选：B． 7. 2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船成功发射，飞船历时约3．5小时成功对接空间站天和核心舱前向端口，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录．我国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设从甲、乙、丙三名航天员中选两人进入问天实验舱开展科学实验，则甲、乙两人被同时选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法得到所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从甲、乙、丙三名航天员中选2人，所有等可能的结果为：甲乙，甲丙，乙丙，共3种， 其中甲、乙两人同时被选中的结果只有1种， ∴所求概率为． 8. 若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求函数值 ．（1） 当已知函数解析式时， 求函数值就是求代数式的值；（2） 函数值是唯一的， 而对应的自变量可以是多个 ．自变量每变化一个单位， 将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：自变量每变化一个单位，即将代入函数得：； 所以，函数值随之变化两个单位， 故选：B． 9. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 10. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，确定当时，，即有，再证明，即可作答． 【详解】解：根据函数图象有：当时，， 此时：， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解一个数的绝对值，根据绝对值的含义可得答案． 【详解】解：， 故答案为： 12. 点在双曲线上，若点B也在此双曲线上，则点B的坐标可以是_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据点在双曲线上求出k的值，再根据的特点找出符合条件的一组x、y的对应值即可．． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， 解得， ∵反比例函数中为定值， ∴即可， ∴点B的坐标可以是． 13. 学校举行朗读比赛，七年级5个班参加比赛，通过抽签决定出场顺序，则七年级 （1）班恰好抽到第一个出场的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，直接用概率公式求解即可． 【详解】解：∵七年级5个班参加比赛，每个班都有等可能抽到第一个出场， ∴七年级 （1）班恰好抽到第一个出场的概率为． 故答案为： 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，先提公因式，再运用平方差公式因式分解，即可得到答案． 【详解】解： = =； 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 15. 某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为，继续飞行到达处，测得旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为______ ．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】设旗杆底部为点，顶部为点，过点作，交直线于点．设，在中，，进而求得，在中，，求得，根据可得出答案． 【详解】解：设旗杆底部为点，顶部为点，延长交直线于点，依题意则， 则，，，， 设， 在中， 解得 则， 在中，， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 16. 如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，延长，交于点N，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得；易求得，则可得；易求得，即可得，根据等高三角形的面积比等于对应底的比；利用全等三角形的性质可判断④，进而可求得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，将沿折叠，点D恰好落在上M点处， ∴，．， ∴， ∵平分， ∴． ∴；故①正确． ∵，，平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴．即，故②正确． 在和中， ， ∴． ∴；故④正确． ∴． ∵，，点E是的中点， ∴． ∴． ∴；故③正确． 综上所述：正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 三、解答题（共8小题，86分） 17. 计算：； 【答案】3 【解析】 【分析】先将二次根式、零指数幂和特殊角的三角函数值化简，再按照实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简， 再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 如图，点B在线段AC上，AD∥BE，∠ABD＝∠E，AD＝BC，求证：BD＝EC． 【答案】 ∵AD∥BE ∴∠A =∠EBC 在△ABD和△BEC中 ∵∠ABD =∠E，∠A =∠EBC，AD=BC， ∴△ABD≌△BEC（AAS） ∴BD=EC 【解析】 【分析】直接证△ABD≌△BEC（AAS）即可证明BD=EC. 【详解】略 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定. 20. 如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式． （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】（1）关于的函数解析式为 （2）弹簧秤的示数的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，是弹簧秤与中点的距离是，如图所示， ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． 21. 2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元，用720元购进“哪吒”手办的个数与用540元购进“敖丙”手办的个数相同． （1）单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）该超市发现每个“哪吒”手办的售价为52元时，可卖出180个，每增加1元，销量将减少10个．超市要求利润率不低于且不高于．问超市应如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）单个“敖丙”手办的进价是30元，单个“哪吒”手办的进价是40元 （2）“哪吒”手办定价56元时，才能获得最大利润，最大利润为2240元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的应用，根据等量关系列出方程，函数解析式，是解题的关键． （1）设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据用720元购进“哪吒”手办的个数与用540元购进“敖丙”手办的个数相同，得出答案即可； （2）设单个“哪吒”手办的定价是元，总利润为w元，列出函数解析式，根据二次函数的最值进行求解即可． 【小问1详解】 解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是30元，单个“哪吒”手办的进价是40元； 【小问2详解】 解：设单个“哪吒”手办的定价是元，总利润为w元，根据题意得， ， 又利润率不低于且不高于， ， ， ， 在对称轴右侧随的增大而减小， 时，元， “哪吒”手办定价56元时，才能获得最大利润，最大利润为2240元． 22. 为选拔一名跳高运动员去参加省赛，表现优异的小超和小梦共进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下： 小超：，，，，，，，； 小梦：，，，，，，，； 【数据整理】 平均数 中位数 众数 小超 x 小梦 y （1） m， m； （2）为了便于分析数据，教练用折线统计图表示了两位运动员的数据，由折线统计图可知 的成绩更为稳定； 【数据决策】 （3）经大数据分析预测，跳高获得冠军的可能性很大，为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请说明理由． 【答案】（1）、； （2）小超 （3）可能选择小梦参加跳高比赛， 由题意知，小超8次中仅有1次达到，小梦8次中有2次超过， 所以小梦的潜力更大，应选择小梦参加跳高比赛． 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数和方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）由小超8次中仅有1次达到，小梦8次中有2次超过可得答案． 【详解】解：（1）小超成绩的众数， 小梦成绩重新排列为：1.60，1.62，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，1.75， 所以其成绩的中位数， 故答案为：、； （2）分别计算两人的跳高成绩的方差分别： ， ， ∴， ∴小超的成绩更为稳定； 故答案为：小超； （3） 略 23. 阅读材料，回答问题． 主题 直角三角形中最大内接正方形的截取探究 提出问题 要在一个直角三角形中截取最大内接正方形，只有两种情况：一种是正方形的两边落在两条直角边上；另一种是正方形一边落在斜边上，有两个顶点分别落在两条直角边上．那么，哪种截取方法所得到的内接正方形的面积最大? 特例感知 在，，，． 问题1 小安同学所截取正方形的两边落在两条直角边上，请在图1中求作符合要求的正方形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出所截取正方形的边长； 问题2 小溪同学所截取正方形一边落在斜边上，有两个顶点分别落在两条直角边上，如图2所示，请求出所截取正方形的边长． 猜想验证 由上述特例，可以猜想并验证两种截取内接正方形的边长大小关系． 问题3 对于任意，，，，． 设按小安方法所截取的正方形边长为x，按小溪方法所截取的正方形边长为y，试比较x，y的大小，并说明理由． （1）解决问题1； （2）解决问题2； （3）解决问题3． 【答案】（1） 如图，正方形就是所求作的正方形； 所截取正方形的边长为 （2）所截取正方形的边长为 （3） ，理由：如图1，按小安方法截取， ∵， ∴， ∴，即 解得： 如图2，按小溪方法截取， 由，解得： ∵， ∴， ∴，即 解得： ∵且，，即， ∴ 即． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明，得出，则，可得答案； （2）过点C作边上的高线，分别交，于点H，I，则，，证明，得出，则可得出答案； （3）由相似三角形的性质求出x和y，由差值法可得出答案． 【小问1详解】 解：设正方形边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 所截取正方形的边长为， 【小问2详解】 如图，过点C作边上的高线，分别交，于点H，I， 则，， ∵，， ∴， 由 得 解得：． ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， 解得： 即所截取正方形的边长为． 【小问3详解】 略 24. 如图，四边形内接于圆，，对角线平分． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作交的延长线于点，若，求的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O． ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠ADC=120°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠CDB=60°， ∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°， ∴∠ABC=∠BCA=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断； （2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=. 【详解】（1）略 （2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N． ∴∠AMD=90° ∵∠ADC=120°， ∴∠ADM=60°， ∴∠DAM=30°， ∴DM=AD=1，AM=， ∵CD=3， ∴CM=CD+DE=1+3=4， ∴S△ACD=CD-AM=×3×=， 在Rt△AMC中，∠AMD=90°， ∴AC=， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=， ∴BN=， ∴S△ABC=××=， ∴四边形ABCD的面积=+=， ∵BE∥CD， ∴∠E+∠ADC=180°， ∵∠ADC=120°， ∴∠E=60°， ∴∠E=BDC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EAB=∠BCD， 在△EAB和△DCB中， ， ∴△EAB≌△DCB（AAS）， ∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=. 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 25. 如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式． （2）若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标． （3）在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）周长最大为，此时点坐标为 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）延长交轴于点，作轴于点，根据抛物线的解析式可得到，，进而求出直线的解析式为，设，则，得到，证明，得到，由，，可推出，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当点在上方时，过点作交抛物线于点，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出直线的解析式为，联立，即可求解；②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点，可得到是直角三角形，且，，由，，知是等腰直角三角形，得到，进而得到也是等腰直角三角形，推出，求出直线的解析式为， 联立，即可求解． 【小问1详解】 解：将、代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 在中，令，则， 解得：或， ， 又， 顶点， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， ， ， 如图，延长交轴于点，作轴于点，即， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， 又， ， 当时，有最大值， 周长最大为，此时点坐标为； 【小问3详解】 存在，理由如下： ①当点在上方时，如图，过点作交抛物线于点， 则， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； ②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点， 在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， 由，，知是等腰直角三角形， ， 又， ， 也是等腰直角三角形， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $