课时作业(13) 导数的概念（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(十三) [基础达标练] 1．已知函数f(x)＝x2＋3的图象上一点(3，12)及附近一点(3＋Δx，12＋Δy)，则＝(　　 ) A．6　　　　　　　　 B．9＋Δx C．6＋Δx D．6Δx＋(Δx)2 解析：选C　因为Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝(3＋Δx)2＋3－(32＋3)＝6Δx＋(Δx)2，所以＝＝6＋Δx． 2．函数y＝x3在x＝1处的导数为(　　 ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析：选C　＝ ＝ ＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2， 3．已知函数y＝f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 解析：选D　∵＝＝＝， ∴－＝－，m2＝4， 解得m＝±2． 4．函数y＝3x2－2在x＝1处的导数为________． 解析： 答案：6 5．若f′(x0)＝2，则 ＝__________． 解析： 答案：－1 6．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝_____． 解析： 所以f′(1)＝2a＋2＝4，所以a＝1． 答案：1 7．求函数y＝在x＝2处的导数． 解：∵Δy＝－＝－1 ＝－， ∴＝－． 8．如果一个质点从固定点A开始运动，时间t的位移(单位：m)函数为y＝f(t)＝t3＋3，求当t＝4 s时的瞬时速度． 解：因为质点在t＝4 s到(4＋Δt)s的位移改变量 Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3) ＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt， 所以该时间段内的平均速度 ＝＝(Δt)2＋12Δt＋48． 所以质点在t＝4 s时的瞬时速度为48 m/s． [能力提升练] 9．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么 ＝(　　 ) A． B．1 C．2 D． 解析：选A　因为f′(1)＝1， 10．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．若车轮开始转动后的第一圈需要1 s，则车轮转动开始后第2 s时的瞬时速度为(　　 ) A．π B．2π C．4π D．8π 解析：选D　设角度θ关于时间t的函数关系式为θ(t)＝kt2(k≠0)，由已知得2π＝k·12，即k＝2π，故θ(t)＝2πt2． 第2 s时的瞬时速度即为θ′(2)． 由于＝＝2πΔt＋8π， 即第2 s时的瞬时速度为8π． 11．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f′(0)＝________． 解析：因为f(x)图象过原点， 所以f(0)＝0， 答案：－1 12．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1，1＋Δt]内的平均加速度是____________，在t＝1时的瞬时加速度是________． 解析：在[1，1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4． 答案：Δt＋4　4 13．已知曲线f(x)＝－在x＝4处的切线方程为5x＋16y＋b＝0，求实数a与b的值． 解：∵直线5x＋16y＋b＝0的斜率k＝－， ∴f′(4)＝－． ＝－， ∴－＝－，解得a＝1． ∴f(x)＝－，f(4)＝－＝－， 即切点坐标为． ∵点在切线5x＋16y＋b＝0上． ∴5×4＋16×＋b＝0, 即b＝8， 从而a＝1，b＝8． [素养拓展练] 14．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s) s＝f(t)＝ 求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 解：(1)因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在t∈[3，5]内的平均速度为 ＝＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为物体在t＝0附近位移的平均变化率为 ＝ ＝＝3Δt－18， 所以物体在t＝0处位移的瞬时变化率为 ， 即物体的初速度v0＝－18 m/s． (3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率． 因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为 ＝ ＝＝3Δt－12， 所以物体在t＝1处位移的瞬时变化率为 即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$