10.2　消元——解二元一次方程组 同步练习 2025-2026学年人教版数学七年级下册

10.2　消元——解二元一次方程组 10．2.1　代入消元法 1.掌握代入消元法，能解二元一次方程组． 2．了解解二元一次方程组时的消元思想，“化未知为已知”的化归思想． 知识点一　用含一个未知数的式子表示另一个未知数 •练习1　把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式： (1)2x－y＝7; (2)x＋y＝4. 【解】(1)移项，得－y＝7－2x.系数化为1，得y＝2x－7. (2)移项，得y＝4－x.系数化为1，得y＝8－x. 知识点二　用代入消元法解二元一次方程组 1．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法． 2．代入消元法的具体步骤． (1)变形：把一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来． (2)代入：将变形得到的式子代入另一个方程，得到消元后的一元一次方程． (3)求解：解消元后的一元一次方程． (4)回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值． (5)写解：把两个未知数的解用“{”联立起来，通常写成的形式． •练习2　(教材P92例2变式)用代入法解方程组 【解】 把①代入②，得3x＋2(4x－10)＝2， 解得x＝2. 把x＝2代入①，得y＝4×2－10＝－2， 所以这个方程组的解为 知识点三　用代入消元法解二元一次方程组，解决实际问题 •练习3　某星期日，蔬菜经营户老王用145元从蔬菜批发市场批发了一些黄瓜和茄子到菜市场售卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价见下表．当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元．这天老王批发的黄瓜和茄子分别有多少千克？ 品名 黄瓜 茄子 批发价/(元·kg-1) 3 4 零售价/(元·kg-1) 4 7 　　【解】设这天老王批发的黄瓜有x kg，茄子有y kg. 由题意，得 解得 答：这天老王批发的黄瓜有15 kg，茄子有25 kg. 基础巩固 1．对于方程－＝1，改写成用含x的式子表示y的形式是(　A　). A．y＝－2 B．y＝ C．x＝3－ D．x＝3＋ 2．用代入法解方程组时，最简单的方法是(　C　). A．先将①变形为x＝y，再代入② B．先将①变形为y＝x，再代入② C．先将①变形为5y＝2x，再代入② D．先将②变形为x＝，再代入① 3．甜甜用代入法解二元一次方程组的步骤如下，其中开始出现错误的是(　C　). 第一步：将方程①变形，得y＝2x－3，③； 第二步：将方程③代入方程①，得2x－(2x－3)＝3； 第三步：整理，得3＝3； 第四步：因为x可取一切有理数，所以原方程组有无数个解． A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 4．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 5．已知方程组和有相同的解，求a，b的值． 【答案】a＝14，b＝2. 能力达标 6．已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y恒有的关系式是________． 【答案】x＋y＝9 7．先阅读材料： 解方程组 解：由①，得x＋1＝6y，③ 把③代入②中，得2×6y－y＝11，解得y＝1. 把y＝1代入③，得x＋1＝6，即x＝5. 故方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 【解】 由①，得3x＋2y＝5x＋2，③ 把③代入②，得2(5x＋2)＝11x＋7，解得x＝－3. 把x＝－3代入③，得－3×3＋2y＝－3×5＋2，解得y＝－2， 所以方程组的解为 8．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元．中、小型汽车各有多少辆？ 【解】设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆． 由题意，得 解得 答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆． 挑战创新 9．对于实数x，y定义新运算：x☆y＝ax＋by－4(其中a，b为常数)，已知1☆2＝3，3☆1＝7，则ab的值为(　D　). A．3 B．4 C．8 D．9 学科网（北京）股份有限公司 $ 10．2.2　加减消元法 1.掌握加减消元法，能解二元一次方程组． 2．了解解二元一次方程组时的消元思想，“化未知为已知”的化归思想． 3．能解同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数的二元一次方程组． 4．会灵活使用合适的方法解二元一次方程组． 知识点一　用加减消元法解二元一次方程组 1．当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法． 2．加减消元法的具体步骤． (1)变形：把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成互为相反数或相等． (2)加减：当方程组中同一个未知数的系数互为相反数时，则把两个方程相加；当方程组中同一个未知数的系数相等时，则把两个方程相减．消元得到一元一次方程． (3)求解：解一元一次方程得到其中一个未知数的值． (4)回代：将求出的未知数的值代入方程组中一个适当的方程中求出另一个未知数的值． (5)写解：把两个未知数的解用“{”联立起来，通常写成的形式． •练习1　(教材P96例5、例6变式)用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 知识点二　利用“整体思想”求字母或式子的值 •练习2　若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，求m的值． 【解】①＋②，得3(x＋y)＝3－3m，即x＋y＝1－m.因为x＋y＝0，所以1－m＝0.所以m＝1. 知识点三　用加减消元法解二元一次方程组解决实际问题 •练习3　(教材P97例7变式)在某路段建设工程中，有A，B两种车辆参与土方运输．已知5辆A种车和2辆B种车一次可运土64 m3；3辆A种车和4辆B种车一次可运土72 m3.A，B两种车每辆一次可分别运土多少立方米？ 【解】设每辆A种车一次可运土x m3，每辆B种车一次可运土y m3. 根据题意，得解得 答：每辆A种车一次可运土8 m3，每辆B种车一次可运土12 m3. 基础巩固 1．解方程组下列步骤可以消去未知数x的是(　C　). A．①×2＋②×2 B．①×3－②×2 C．①－②×2 D．①＋②×2 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为________． 【答案】1 3．已知那么x－y的值是________． 【答案】－1 4．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则a＋7b的值为________． 【答案】15 5．用加减法解方程组： (1) (2) 【解】(1) ①×2－②，得5y＝5，解得y＝1. 将y＝1代入①，得x＋3×1＝4，解得x＝1. 所以方程组的解为 (2)整理，得 ①－②，得4y＝28，解得y＝7. 把y＝7代入①，得3x－7＝8，解得x＝5. 所以方程组的解是 能力达标 6．已知|x＋2y＋3|＋＝0，则(x＋y)2 026＝________． 【答案】1 7．(跨学科融合)下面3个天平左盘中“”“”分别表示两种不同质量的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量是________． 【答案】10 挑战创新 8．若方程组的解是求方程组的解． 【解】将方程组的两个方程都乘5，得 因为方程组的解是所以解得 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2　消元——解二元一次方程组 10．2.1　代入消元法 1.掌握代入消元法，能解二元一次方程组． 2．了解解二元一次方程组时的消元思想，“化未知为已知”的化归思想． 知识点一　用含一个未知数的式子表示另一个未知数 •练习1　把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式： (1)2x－y＝7; (2)x＋y＝4. 【解】(1)移项，得－y＝7－2x.系数化为1，得y＝2x－7. (2)移项，得y＝4－x.系数化为1，得y＝8－x. 知识点二　用代入消元法解二元一次方程组 1．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现 ，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法． 2．代入消元法的具体步骤． (1)变形：把一个方程的一个未知数用 表示出来． (2)代入：将变形得到的式子代入 ，得到消元后的一元一次方程． (3)求解：解消元后的一元一次方程． (4)回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值． (5)写解：把两个未知数的解用“{”联立起来，通常写成的形式． •练习2　(教材P92例2变式)用代入法解方程组 【解】 把①代入②，得3x＋2(4x－10)＝2， 解得x＝2. 把x＝2代入①，得y＝4×2－10＝－2， 所以这个方程组的解为 知识点三　用代入消元法解二元一次方程组，解决实际问题 •练习3　某星期日，蔬菜经营户老王用145元从蔬菜批发市场批发了一些黄瓜和茄子到菜市场售卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价见下表．当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元．这天老王批发的黄瓜和茄子分别有多少千克？ 品名 黄瓜 茄子 批发价/(元·kg-1) 3 4 零售价/(元·kg-1) 4 7 　　【解】设这天老王批发的黄瓜有x kg，茄子有y kg. 由题意，得 解得 答：这天老王批发的黄瓜有15 kg，茄子有25 kg. 基础巩固 1．对于方程－＝1，改写成用含x的式子表示y的形式是( ). A．y＝－2 B．y＝ C．x＝3－ D．x＝3＋ 2．用代入法解方程组时，最简单的方法是( ). A．先将①变形为x＝y，再代入② B．先将①变形为y＝x，再代入② C．先将①变形为5y＝2x，再代入② D．先将②变形为x＝，再代入① 3．甜甜用代入法解二元一次方程组的步骤如下，其中开始出现错误的是( ). 第一步：将方程①变形，得y＝2x－3，③； 第二步：将方程③代入方程①，得2x－(2x－3)＝3； 第三步：整理，得3＝3； 第四步：因为x可取一切有理数，所以原方程组有无数个解． A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 4．用代入法解下列方程组： (1) (2) 5．已知方程组和有相同的解，求a，b的值． 6．已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y恒有的关系式是________． 7．先阅读材料： 解方程组 解：由①，得x＋1＝6y，③ 把③代入②中，得2×6y－y＝11，解得y＝1. 把y＝1代入③，得x＋1＝6，即x＝5. 故方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 【解】 由①，得3x＋2y＝5x＋2，③ 把③代入②，得2(5x＋2)＝11x＋7，解得x＝－3. 把x＝－3代入③，得－3×3＋2y＝－3×5＋2，解得y＝－2， 所以方程组的解为 8．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元．中、小型汽车各有多少辆？ 【解】设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆． 由题意，得 解得 答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆． 挑战创新 9．对于实数x，y定义新运算：x☆y＝ax＋by－4(其中a，b为常数)，已知1☆2＝3，3☆1＝7，则ab的值为( ). A．3 B．4 C．8 D．9 学科网（北京）股份有限公司 $ 10．2.2　加减消元法 1.掌握加减消元法，能解二元一次方程组． 2．了解解二元一次方程组时的消元思想，“化未知为已知”的化归思想． 3．能解同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数的二元一次方程组． 4．会灵活使用合适的方法解二元一次方程组． 知识点一　用加减消元法解二元一次方程组 1．当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数 或 时，把这两个方程的两边分别 或 ，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法． 2．加减消元法的具体步骤． (1)变形：把方程组中系数的最小公倍数较小的未知数的系数化成互为相反数或相等． (2)加减：当方程组中同一个未知数的系数互为相反数时，则把两个方程 ；当方程组中同一个未知数的系数相等时，则把两个方程 ．消元得到一元一次方程． (3)求解：解一元一次方程得到其中一个未知数的值． (4)回代：将求出的未知数的值代入方程组中一个适当的方程中求出另一个未知数的值． (5)写解：把两个未知数的解用“{”联立起来，通常写成的形式． •练习1　(教材P96例5、例6变式)用加减法解下列方程组： (1) (2) 1．解方程组下列步骤可以消去未知数x的是( ). A．①×2＋②×2 B．①×3－②×2 C．①－②×2 D．①＋②×2 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为________． 3．已知那么x－y的值是________． 4．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则a＋7b的值为________． 5．用加减法解方程组： (1) (2) 6．已知|x＋2y＋3|＋＝0，则(x＋y)2 026＝________． 7．(跨学科融合)下面3个天平左盘中“”“”分别表示两种不同质量的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量是________． 8．若方程组的解是求方程组的解． 学科网（北京）股份有限公司 $