8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1．旋转体的定义 旋转体是由一个________绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体，这条直线叫做该旋转体的________．如：圆柱是由一个________绕它的一条边旋转一周所形成的旋转体；圆锥是由一个直角三角形绕它的________旋转一周所形成的旋转体． 2．圆柱、圆锥、圆台、球 圆柱 圆锥 圆台 球 图 形 定 义 以_______的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 以_______的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 用_______于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做_______，球面所围成的旋转体 表示 圆柱可以用表示它的轴的字母来表示，如图中的圆柱记作_______ 圆锥也用表示它的轴的字母来表示，如图中的圆锥记作_______ 圆台用表示它的轴的字母来表示，如图中的圆台记作_______ 球常用表示球心的字母来表示，如图中的球记作_______ 结 构 特 征 ①母线互相平行且相等，并垂直于底面 ②轴截面是全等的矩形 ③侧面展开图是矩形 ①母线相交于一点 ②轴截面是全等的等腰三角形 ③侧面展开图是扇形 ①母线延长线交于一点 ②轴截面是全等的等腰梯形 ③侧面展开图是扇环 截面是圆面 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 2．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 3．一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为（    ） A．10 B．12 C．20 D．15 4．下列命题： ①一张正三角形的纸片可以围成一个无底的圆锥体； ②一张扇形的纸片可以围成一个无底的圆锥体； ③圆锥的所有过顶点的截面都是等腰三角形． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 5．下列命题中不正确的是（    ） A．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 B．以直角梯形的一腰为旋转轴，将直角梯形旋转一周形成的几何体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面相似 D．圆台的母线延长后交于一点 6．某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 7．给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则该球的半径为(    ) A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 二、多选题 9．一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ） A． B． C． D． 10．下列关于圆柱的说法中正确的是（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱 11．(多选)下列说法错误的是（    ） A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线 C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点 D．圆锥的母线可能平行 三、填空题 12．如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中__________组成的. 13．用半径为4 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高是_____cm. 14．若圆柱的底面半径为2，轴截面的对角线长为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为_____________. 四、解答题 15．如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    16．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为和，求这两个截面间的距离． 17．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为．求原圆锥的母线长． 18．用一张两边长分别为4 cm和8 cm的矩形硬纸卷成圆柱侧面，求圆柱轴截面的面积.（接头忽略不计） 19．如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，表面上有P､Q两点，若P､Q两点在轴截面上，且，，一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点,求蚂蚁爬行的最短路程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1.旋转体的定义 旋转体是由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体，这条直线叫做该旋转体的轴．如：圆柱是由一个矩形绕它的一条边旋转一周所形成的旋转体；圆锥是由一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所形成的旋转体． 2．圆柱、圆锥、圆台、球 圆柱 圆锥 圆台 球 图 形 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体 表示 圆柱可以用表示它的轴的字母来表示，如图中的圆柱记作圆柱O’O 圆锥也用表示它的轴的字母来表示，如图中的圆锥记作圆锥SO 圆台用表示它的轴的字母来表示，如图中的圆台记作圆台O’O 球常用表示球心的字母来表示，如图中的球记作球O 结 构 特 征 ①母线互相平行且相等，并垂直于底面 ②轴截面是全等的矩形 ③侧面展开图是矩形 ①母线相交于一点 ②轴截面是全等的等腰三角形 ③侧面展开图是扇形 ①母线延长线交于一点 ②轴截面是全等的等腰梯形 ③侧面展开图是扇环 截面是圆面 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D. 【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D 2．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆柱轴截面的有关计算 【分析】利用圆柱的轴截面的面积求法求解. 【详解】当圆柱的高时，， 所以圆柱的轴截面的面积为； 当圆柱的高，， 所以圆柱的轴截面的面积为， 故选：B 3．一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为（    ） A．10 B．12 C．20 D．15 【答案】B 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥中截面的有关计算、三角形面积公式及其应用 【分析】根据圆锥的轴截面等腰三角形性质求解即可. 【详解】圆锥的轴截面是等腰三角形，腰长为5，底为6，则高为4， 所以轴截面面积 . 4．下列命题： ①一张正三角形的纸片可以围成一个无底的圆锥体； ②一张扇形的纸片可以围成一个无底的圆锥体； ③圆锥的所有过顶点的截面都是等腰三角形． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据圆锥的结构特征注意进行判断即可. 【详解】①一张正三角形的纸片可以围成一个无底的圆锥体；错误； ②一张扇形的纸片可以围成一个无底的圆锥体；正确； ③圆锥的所有过顶点的截面都是等腰三角形．正确，三角形的两腰是其母线. 5．下列命题中不正确的是（    ） A．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 B．以直角梯形的一腰为旋转轴，将直角梯形旋转一周形成的几何体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面相似 D．圆台的母线延长后交于一点 【答案】B 【解析】根据圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征得到答案. 【详解】由圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征知A，C，D均正确. 以直角梯形的直角腰为旋转轴，将直角梯形旋转一周形成的几何体才是是圆台,错误. 故选：B 6．某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆台的展开图、圆台的结构特征辨析 【分析】根据圆台的侧面展开图求得，再结合圆台的结构特征分析求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以该圆台的高为. 故选：C. 7．给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】球的结构特征辨析 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则该球的半径为(    ) A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【答案】A 【知识点】直线与球、平面与球的位置关系、球的截面的性质及计算 【分析】作出球的正视图，根据已知条件构造直角三角形，列关于球半径R的方程求解即可． 【详解】如图为球的一个正视图，AB长度等于正方体棱长，AB中点为M，则MB＝4， 球面恰好接触水面时测得水深为， cm， 设球的半径为R，则CM＝R－2，CB＝R， ∴在Rt△BCM中，，解得. 故选：A. 二、多选题 9．一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线三种情况得到答案. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得C； 当截面过正方体的体对角线时可得D； 当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得A； 但无论如何都不能截得B． 故选：ACD 10．下列关于圆柱的说法中正确的是（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱 【答案】ABD 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】根据圆柱的结构特征逐个分析判断即可 【详解】对于A，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，所以A正确， 对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确， 对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，所以C错误， 对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱，所以D正确， 故选：ABD 11．(多选)下列说法错误的是（    ） A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线 C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点 D．圆锥的母线可能平行 【答案】ABD 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【详解】当平面沿轴截圆台时，截面为等腰梯形，故A错误；由圆台的结构特征知B错误；由于圆台可由一个平行于底面的平面截圆锥所得，故C正确，D错误．故选ABD. 三、填空题 12．如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中__________组成的. 【答案】一个半球、一个圆柱、一个圆台 【知识点】组合体的构成 【分析】根据简单组合体的构成判断. 【详解】根据简单组合体的构成可知，该几何体由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成. 故答案为：一个半球、一个圆柱、一个圆台 13．用半径为4 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高是_____cm. 【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥中截面的有关计算 【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面圆周长，即可得到底面圆半径，然后利用勾股定理即可得到本题答案. 【详解】因为半径为4的半圆弧长为，所以圆锥的底面周长为，则底面半径为， 其轴截面为等腰三角形如下图： 所以圆锥的高. 故答案为： 14．若圆柱的底面半径为2，轴截面的对角线长为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为_____________. 【答案】 【知识点】圆柱轴截面的有关计算、圆柱的结构特征辨析 【分析】根据勾股定理及圆柱与圆柱侧面展开图的关系即可求解. 【详解】因为圆柱的底面半径为2， 所以圆柱的底面直径为4， 又因为轴截面的对角线长为5， 所以圆柱的高为， 所以圆柱的侧面展开图的长为，宽为3， 所以这个圆柱侧面展开图的对角线长为. 故答案为：. 四、解答题 15．如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【答案】答案见解析 【知识点】由平面图形旋转得旋转体、组合体的构成 【分析】根据给定条件，利用旋转体的结构特征分别按分析即可. 【详解】当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由底面半径为的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3.    16．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为和，求这两个截面间的距离． 【答案】1或7. 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】设球的轴截面为圆为球的直径且分别与两截面交于两点，则分别为两个截面的圆心，进而得半径，分两个平行截面在球心的同侧和异侧两种情况讨论即可求解. 【详解】由题意，如图，设球的轴截面为圆为球的直径且分别与两截面交于两点，则分别为两个截面的圆心，由平行截面的周长分别为和， 所以两半径分别为3和4．    若两个平行截面在球心的同侧，则； 若两个平行截面在球心的异侧，则． 综上，这两个截面间的距离为1或7. 17．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为．求原圆锥的母线长． 【答案】 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、柱、锥、台体的轴截面、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据圆台与圆锥的几何特征利用三角形相似即可求解. 【详解】由题意可得，几何体如图所示：    如图，作圆锥及其轴截面，圆锥轴为，设圆台上下底面半径分别为， 已知圆台的上、下底面半径的比为，且， 设原圆锥的母线长为， 根据与相似，可得， 解得， 所以原圆锥的母线长为. 18．用一张两边长分别为4 cm和8 cm的矩形硬纸卷成圆柱侧面，求圆柱轴截面的面积.（接头忽略不计） 【答案】（1）；（2）. 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题、圆柱轴截面的有关计算 【解析】根据圆柱与侧面展开图的关系，对圆柱的母线分类讨论，即可求解. 【详解】分两种情况： （1）以矩形8 cm长的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面， 如图①，轴截面为矩形， 根据题意可知底面圆的周长为， 则，于是. 根据矩形的面积公式，得 （2）以矩形4 cm长的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面， 如图②，轴截面为矩形， 根据题意可知底面圆的周长为， 则， 于是. 根据矩形的面积公式，得. 综上所述，轴截面的面积为. ①         ② 19．如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，表面上有P､Q两点，若P､Q两点在轴截面上，且，，一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点,求蚂蚁爬行的最短路程. 【答案】 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】将圆柱侧面沿母线展开，再在三角形中利用勾股定理计算可得. 【详解】解：将圆柱侧面沿母线展开,得到如图所示的矩形.设圆柱的底面半径为，则. . 过点Q作于点，在中，，. , 即蚂蚁爬过的最短路径长是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $