专题2.3～2.4一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组 同步讲义（题型导航+知识梳理+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

专题2.3～2.4一元一次不等式与一次函数、一元一次 不等式组同步讲义（北师大版） 题型导航 题型1由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型2根据两条直线的交点求不等式的解集 题型3一元一次不等式组的定义 题型4求不等式组的解集 题型5解特殊不等式组 题型6求一元一次不等式组的整数解 题型7由一元一次不等式组的解集求参数 题型8由不等式组解集的情况求参数 题型 9不等式组和方程组结合的问题 题型10列一元一次不等式组 题型11不等式组的分配问题 题型12不等式组的方案选择问题 题型13一元一次不等式组的其他应用 题型14巩固提升 知识梳理 知识点一、一次函数与一元一次不等式 1.一次函数：y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）. 2.一元一次不等式：kx＋b＞0或kx＋b＜0.（k，b为常数，且k≠0） 3.两者之间的联系： （1）从函数值看：函数y＝kx＋b中，函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b＜0的解集． （2）从图像看：函数y＝kx＋b的图像中，位于x轴上方的部分时，对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b＞0的解集； 位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b＜0的解集． 知识点二、利用图像法解一元一次不等式的一般步骤： 1.将不等式转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a≠0）的形式； 2.画出函数y＝ax＋b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； 3.根据函数图像在x轴上/下方，直接写出不等式的解集． 知识点三、一元一次不等式组 1.定义：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 注意：一元一次不等式组必须同时满足两个条件 （1）组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式； （2）整个不等式组中只含一个未知数． 2.表示方式：不等式组通常用“{”表示. 重点提示：（1）一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个； （2）未知数的个数必须唯一． 知识点四、一元一次不等式组的解集 1.定义：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集． 2.一元一次不等式组解集的四种情况：   知识点五、解一元一次不等式组 1.定义：求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组． 2.一般解题步骤： （1）分别求解不等式组中的每一个一元一次不等式； （2）利用数轴法或口诀法，找出各个解集的公共部分； （3）规范写出不等式组的解集． 知识点六、一元一次不等式组的应用 基本步骤： （1）审：仔细审题，梳理已知量、未知量，并明确题目中的不等关系； （2）设：合理设出未知数； （3）列：依据题目中的不等关系，列出对应的一元一次不等式组； （4）解：解不等式组，得到解集； （5）验：检验解集是否符合题意及实际意义； （6）答：完整写出问题的答案． 题型解读 题型1由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1.如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象进行求不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 故选：A． 2．一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集为． 3．直线与两坐标轴的交点如图所示，当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线的图象可直接得到直线在轴下方时对应的取值范围来求解． 【详解】解：从图象可知直线与轴交点的横坐标为2，当时，即直线图象在轴下方的部分，对应的自变量取值范围是． 题型2根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了根据两直线的交点求不等式的解集．求出一次函数与的图象交于点，根据两直线的位置关系即可求出答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， ∴一次函数与的图象交于点， 由图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：C 2．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象交点右侧直线图象在直线图象的上面，即可得出的解集． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴由图象可得，不等式的解集为． 即关于的不等式的解集为． 3．已知，，若满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据列出一元一次不等式，再依据解一元一次不等式的法则求解即可． 【详解】解：依题意， 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 题型3一元一次不等式组的定义 1．下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式组的应用，根据实际意义列出不等式组即可． 【详解】解：由图形可得能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为， 故选：D． 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 题型4求不等式组的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两个解集的公共部分，找到对应的表示方法，即可求解， 【详解】不等式组的解集为， 在数轴上表示为 2．定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有__________个． 【答案】3 【分析】根据新定义化简不等式组.求出解集后，找出解集中的负整数，即可得到负整数解的个数． 【详解】解： 将不等式组，即化简得 解得 解得 不等式组的解集为 不等式组的负整数解为，共个． 3．规定表示不超过x的最大整数，如：，，．若，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组和新定义，解题的关键是明确表示不超过的最大整数． 根据表示不超过的最大整数，若得，解不等式组即可． 【详解】解：，表示不超过的最大整数， ， 解得：， 故答案为：． 题型5解特殊不等式组 1．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 2．已知关于x的方程的根是负数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解一元一次不等式组，先求出一元一次方程的解，再根据其解为负数得出或，分别解不等式组，求出解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 当时，，此方程无解； 当，即时，方程的解是， ∵关于x的方程的根是负数， ∴或， 解得， 故答案为：． 3．已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 题型6求一元一次不等式组的整数解 1．关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数，计算整数解的和即可． 【详解】解∶解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为， ∴该解集范围内的整数解只有， ∴整数解的和为． 2．已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别解出两个一元一次不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集；再根据“不等式组有三个整数解”这一条件，找出对应的三个整数解，最后通过分析边界情况确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有三个整数解，即，，， ∴： 若，则不等式组的整数解会包含，此时共有四个整数解，不符合题意；若，则不等式组的整数解少于三个，也不符合题意． 故选：B． 3．已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组的整数解有5个， 所以不等式组的解集为． 这个整数解为，，，，． ∴的取值范围是． 题型7由一元一次不等式组的解集求参数 1.一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式的解，再根据不等式组的解判断的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组为， 由①可得，，解得， 由②可得，， ∵不等式组的解集为， ∴． 2.不等式组的解集为，则m的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的不等式，再利用不等式组的解集为确定m的取值范围，即可求解． 【详解】解：， 解不等式，得； 解不等式，得； ∵不等式组的解集为， ∴， 则m的取值范围在数轴上表示为 ， 选项B符合题意． 3．关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 题型8由不等式组解集的情况求参数 1．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解即解集存在公共部分，列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，； ∵不等式组有解，两个解集存在公共部分， ∴， 解得． 2．若关于x的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组无解求出a的取值范围，再根据一次函数的性质判断函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， ∵不等式组无解， ∴， 解得， ∴， 即一次函数中，，， 根据一次函数的性质，当，时，函数图象经过第一、第三、第四象限， ∴一次函数的图象一定不经过第二象限， 3．已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】先根据正比例函数的定义得到a的取值限制，再解一元一次不等式组，根据不等式组整数解的个数确定a的取值范围，最后找出范围内满足条件的整数a并计算其和即可． 【详解】解：为正比例函数 根据正比例函数的定义，可得，即 解不等式组 解不等式，得 解不等式，得 因此不等式组的解集为 不等式组有且仅有三个整数解， 三个整数解为 可得 三边同乘3得，移项并合并同类项得 结合，可得 该范围内的整数为 所有满足条件的整数的值之和为 题型 9不等式组和方程组结合的问题 1．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 2．已知，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义求出两个绝对值和的最小值，结合已知乘积确定和的取值范围，再根据正偶次幂的性质，可知原式最小对应最小，进而计算得到结果。 【详解】解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上点到点与点的距离之和，其最小值为，当且仅当时取到最小值， 同理，表示数轴上点到点与点的距离之和，其最小值为，当且仅当时取到最小值， 已知， 若任意一个绝对值和大于其最小值，则乘积大于， 因此可得，， 因为是正偶数，所以的大小由决定，越小，原式的值越小， 由，不等式两边同乘得，结合，同向不等式相加得： ，即 可知恒为负数，其绝对值的最小值为， 当，时取到， ∴． 3．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 题型10列一元一次不等式组 1．若一个等腰三角形的周长是8，则它的腰长可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设等腰三角形腰长为x，根据周长表示出底边长，再利用三角形三边关系求出腰长的取值范围，即可判断选项． 【详解】设等腰三角形的腰长为，则底边长为． 根据三角形三边关系，得， 解第一个不等式，得． 解第二个不等式，得． 因此腰长的取值范围是． 观察选项，只有C选项在该范围内． 2．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 3．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 题型11不等式组的分配问题 1．课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 2．某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 3．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 题型12不等式组的方案选择问题 1．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 2．学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人，根据480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍建立方程可求出甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人，据此可判断①；设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆，根据所有客车的载客量要大于等于240以及两种客车都要租用建立不等式组求出m的取值范围，进而确定m可以取的值，即可确定方案，进而求出每个方案的费用，据此可判断②③④． 【详解】解：设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为人，故①正确； 设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为4或5， 当时，，此时租车费用为元， 当时，，此时租车费用为元， ∴共有2种租车方案，且两种租车方案的费用不相同，租车最低费用是2160元，故②③正确，④不正确， 故选：B． 3．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 题型13一元一次不等式组的其他应用 1．已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角坐标系内各象限的点坐标的特征、不等式组的应用等知识点，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征，列不等式组判断是否存在满足条件的m，即可确定点P不可能在的象限． 【详解】解：当点P在第一象限，则，解得：，即点P可能在第一象限； 当点P在第二象限，则，该不等式组无解，故点P不可能在第二象限； 当点P在第三象限，则，解得：，故点P可能在第三象限； 当点P在第四象限，则，解得：，故点P可能在第四象限． 故选B． 2．长方形一边长，另一边长为，又长方形周长不大于20，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用．根据长方形边长大于0，周长不大于20，列出不等式组，解一元一次不等式组即可得出结论． 【详解】解：由已知可得：， 解得：． 3．若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有一条船不空也不满，则共有________条船． 【答案】5或6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用． 设船数为条，学生数为人．根据第一条条件，每条船坐 4 人则 2 人无船坐，可得 ．根据第二条条件，每条船坐6人则空一条船，还有一条船不空也不满，可得 ，其中 ．联立方程解得 ，代入不等式 求解，可得或． 【详解】解：设船数为条，学生数为人． 由“每条船坐4人，则2人无船坐”可得：， 由“当每条船坐6人时，空一条船，还有一条船不空也不满”，设不空也不满的船上有名学生，可得：，其中， 联立方程：， 即， 由，得：， 解得：， 由于为整数，因此 或 ． 故答案为：5或6． 巩固提升 一、解答题 1．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）分别求出这两个不等式的解集，再求它们的公共解集，即可得到不等式组的解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 把解集在数轴上表示出来，如下： ； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来，如下： 2．若关于的不等式组只有4个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，再确定字母的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴此不等式组的解集为， ∵此不等式组只有4个整数解， ∴它的4个整数解为20、19、18、17， ∴， 解得a的取值范围是：． 3．如图，一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)求出当一次函数的函数值大于正比例函数的函数值时，的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点代入，可求得n值；把点代入，求的值即可； （2）根据函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点， ， ， ， 解得． （2）解：一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且一次函数的函数值大于正比例函数的函数值， ． 4．关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出方程组的解，进而求出，再根据已知列出关于的不等式组解答即可求解； （）由已知得，即得，再结合（）的结果解答即可求解． 【详解】（1）解：解二元一次方程组，得， ∴， ， ， 解得； （2）解：， ， ， 由（）知，， ， 的取值范围是． 5．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用数形结合思想解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 6．规定：不等式是不等式的“关联不等式”，那么不等式与其“关联不等式”组成的不等式组的解集叫做它的“关联不等式组”解集． (1)写出不等式的“关联不等式”_________； (2)求不等式的“关联不等式组”解集； (3)若不等式的“关联不等式组”解集是，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题依托新定义考查了解一元一次不等式，不等式组，以及不等式的解集等知识点，难度较大，解题的关键是理解新定义和分类讨论思想的应用． （1）根据题意即可求得“关联不等式”； （2）根据题意先得到“关联不等式”，即可得到“关联不等式组”， 解不等式组即可； （3）先求得“关联不等式组”，再分和，解得不等式组的解，再结合题意列出满足不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵不等式是不等式的“关联不等式”， ∴不等式的“关联不等式”为， 故答案为：； （2）解：根据题意得，不等式的“关联不等式”为 则不等式的“关联不等式组”为， 解得； （3）解：∵不等式的“关联不等式”， ∴不等式的“关联不等式组”为， 若，，解得， 若，，解得且， ∵不等式的“关联不等式组”解集是， ∴且， 解得． 7．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： (1)求出篮球和足球的单价． (2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． (3)制定花费最少的购买方案． 【答案】(1)篮球和足球的单价分别为元和元 (2) (3)花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个 【分析】（1）设一个篮球价格元，一个足球价格元，根据素材一列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据素材一的结论、素材二，利用总价单价数量，分别表示出篮球、足球、气排球的花费，求和即可列出与的函数关系式； （3）根据素材三可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设一个篮球价格为元，一个足球价格为元， 依题意得， 解得， 答：篮球和足球的单价分别为元和元． （2）解：购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍，购买篮球个， 气排球个数是个，足球个数是个， 依题意得： ． （3）解：由素材三得， 解得， ，， 随的增大而减小， 当时，最小，此时，， 花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个． 8．M县开展“健身促发展，运动强体魄”的体育健身活动，M县的体育器材公司计划购进A，B两种型号的跳绳．根据市场调查：购进2根A型跳绳和3根B型跳绳共需要115元；购进5根A型跳绳和2根B型跳绳共需要150元． (1)求A，B两种型号的跳绳单价分别是多少元？ (2)该体育器材公司购进A型跳绳600根，B型跳绳400根，并将这些跳绳全部运往甲、乙两校，甲校共需要跳绳480根，乙校共需要跳绳520根．已知每根A型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为1元和元；每根B型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为元和元．求该体育器材公司在此项目投入的总费用（购跳绳的总费用总运费）最少是多少元？ 【答案】(1)A，B两种型号的跳绳单价分别是20元，25元 (2)23012元 【分析】（1）设A，B两种型号的跳绳单价分别是x元，y元，列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设运输A型跳绳到甲校为n根，该体育器材公司在此项目投入的总费用为w元，根据列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种型号的跳绳单价分别是x元，y元，依题意得： ， 解方程组得：， 答：A，B两种型号的跳绳单价分别是20元，25元； （2）解：设运输A型跳绳到甲校为n根，该体育器材公司在此项目投入的总费用为w元， 则运输A型跳绳到乙校为根， 运输B型跳绳到甲校为根， 运输B型跳绳到乙校为根， 依题意得： ， ， ∵， ∴， ∵， ∴w值随n值的增大而增大， 时，w有最小值为：， 答：该体育器材公司在此项目投入的最少总费用是23012元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3～2.4一元一次不等式与一次函数、一元一次 不等式组同步讲义（北师大版） 题型导航 题型1由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型2根据两条直线的交点求不等式的解集 题型3一元一次不等式组的定义 题型4求不等式组的解集 题型5解特殊不等式组 题型6求一元一次不等式组的整数解 题型7由一元一次不等式组的解集求参数 题型8由不等式组解集的情况求参数 题型 9不等式组和方程组结合的问题 题型10列一元一次不等式组 题型11不等式组的分配问题 题型12不等式组的方案选择问题 题型13一元一次不等式组的其他应用 题型14巩固提升 知识梳理 知识点一、一次函数与一元一次不等式 1.一次函数：y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）. 2.一元一次不等式：kx＋b＞0或kx＋b＜0.（k，b为常数，且k≠0） 3.两者之间的联系： （1）从函数值看：函数y＝kx＋b中，函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b＜0的解集． （2）从图像看：函数y＝kx＋b的图像中，位于x轴上方的部分时，对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b＞0的解集； 位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b＜0的解集． 知识点二、利用图像法解一元一次不等式的一般步骤： 1.将不等式转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a≠0）的形式； 2.画出函数y＝ax＋b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； 3.根据函数图像在x轴上/下方，直接写出不等式的解集． 知识点三、一元一次不等式组 1.定义：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 注意：一元一次不等式组必须同时满足两个条件 （1）组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式； （2）整个不等式组中只含一个未知数． 2.表示方式：不等式组通常用“{”表示. 重点提示：（1）一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个； （2）未知数的个数必须唯一． 知识点四、一元一次不等式组的解集 1.定义：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集． 2.一元一次不等式组解集的四种情况：   知识点五、解一元一次不等式组 1.定义：求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组． 2.一般解题步骤： （1）分别求解不等式组中的每一个一元一次不等式； （2）利用数轴法或口诀法，找出各个解集的公共部分； （3）规范写出不等式组的解集． 知识点六、一元一次不等式组的应用 基本步骤： （1）审：仔细审题，梳理已知量、未知量，并明确题目中的不等关系； （2）设：合理设出未知数； （3）列：依据题目中的不等关系，列出对应的一元一次不等式组； （4）解：解不等式组，得到解集； （5）验：检验解集是否符合题意及实际意义； （6）答：完整写出问题的答案． 题型解读 题型1由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1.如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是____________． 3．直线与两坐标轴的交点如图所示，当时，的取值范围是______． 题型2根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，若满足，则的取值范围是__________． 题型3一元一次不等式组的定义 1．下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 题型4求不等式组的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有__________个． 3．规定表示不超过x的最大整数，如：，，．若，则x的取值范围是________． 题型5解特殊不等式组 1．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的根是负数，则实数a的取值范围是________． 3．已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为_________． 题型6求一元一次不等式组的整数解 1．关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A． B． C． D． 3．已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是______． 题型7由一元一次不等式组的解集求参数 1.一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.不等式组的解集为，则m的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 3．关于的不等式组的解集为，则___________． 题型8由不等式组解集的情况求参数 1．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 题型 9不等式组和方程组结合的问题 1．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的最小值为______． 3．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 题型10列一元一次不等式组 1．若一个等腰三角形的周长是8，则它的腰长可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 3．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 题型11不等式组的分配问题 1．课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 2．某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 3．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 题型12不等式组的方案选择问题 1．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 3．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 题型13一元一次不等式组的其他应用 1．已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．长方形一边长，另一边长为，又长方形周长不大于20，则的取值范围为______． 3．若干名学生乘船，若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有一条船不空也不满，则共有________条船． 巩固提升 一、解答题 1．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 2．若关于的不等式组只有4个整数解，求的取值范围． 3．如图，一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)求出当一次函数的函数值大于正比例函数的函数值时，的取值范围． 4．关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 5．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 6．规定：不等式是不等式的“关联不等式”，那么不等式与其“关联不等式”组成的不等式组的解集叫做它的“关联不等式组”解集． (1)写出不等式的“关联不等式”_________； (2)求不等式的“关联不等式组”解集； (3)若不等式的“关联不等式组”解集是，则的取值范围是______． 7．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： (1)求出篮球和足球的单价． (2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． (3)制定花费最少的购买方案． 8．M县开展“健身促发展，运动强体魄”的体育健身活动，M县的体育器材公司计划购进A，B两种型号的跳绳．根据市场调查：购进2根A型跳绳和3根B型跳绳共需要115元；购进5根A型跳绳和2根B型跳绳共需要150元． (1)求A，B两种型号的跳绳单价分别是多少元？ (2)该体育器材公司购进A型跳绳600根，B型跳绳400根，并将这些跳绳全部运往甲、乙两校，甲校共需要跳绳480根，乙校共需要跳绳520根．已知每根A型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为1元和元；每根B型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为元和元．求该体育器材公司在此项目投入的总费用（购跳绳的总费用总运费）最少是多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $