精品解析：2026年河南省驻马店市遂平县一模数学试题

2026年中招模拟测试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题卡相应位置． 1. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求绝对值，比较有理数的大小关系，比较四个足球上方的数的绝对值的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴最接近标准的是：选项C的足球； 故选：C． 2. 国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 故选C． 4. 2025年国庆中秋假期，宁德文旅热度再创历史新高．全市累计接待游客约为540万人次，实现旅游收入约为41亿元．全市各项旅游收入整理后绘制成如图所示的扇形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. “酒店住宿”收入约为0.656亿元 B. “A级景区”的旅游人数约为64.8万人 C. “其它消费”收入是“跟团游相关”收入的3倍 D. “自驾游相关”收入对应的圆心角是12° 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图，根据从扇形统计图获得的信息进行解答即可． 【详解】解：A. “酒店住宿”收入约为亿元，故选项错误，不符合题意； B. 无法求出“A级景区”的旅游人数，故选项错误，不符合题意； C. ∵，∴“其它消费”收入是“跟团游相关”收入的3倍，故选项正确，符合题意； D. “自驾游相关”收入对应圆心角是，故选项错误，不符合题意； 故选：C 5. 长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱．春耕时节，某播种队承接了长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 根据题意，原计划每天种植面积为，实际工作效率提高，即每天种植面积为，总任务量固定为，实际完成时间比原计划少2天．通过比较原计划时间与实际时间的差值，建立方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为， 由题意得，， 故选：D． 6. 你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. v和h均随t的增大而增大 D. t每增加，h的增加量相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，结合函数的图象理解题目意思是解答本题的关键．根据函数图象，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：A．由题图②可知，当时，，选项A不符合题意； B． 由题图③可知，当时，，选项B不符合题意∶ C． 由题图②、图③可知，v和h均随t的增大而增大，选项C不符合题意∶ D． 由题图②、图③可知，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象不是直线，t每增加，h的增加量不同．选项D符合题意． 故选：D． 7. 如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作于点C，由勾股定理求出，求出，进而求出，再利用扇形和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作于点C， 则， ∵圆心O到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴胶皮的面积 ． 故选：C． 8. 老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ，解得：， ∴， ∵, ∴ 当时，P有最大值为， ∴最佳的洒水量， 故选：． 9. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， ∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 10. 如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，平移，作辅助线如解析图，可得，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，进而问题可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 平移，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于的对称点H，过点H作，交线段于点，线段交于点，连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，由平移可知：， ∴，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当取最小值时，的度数为； 故选D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组．分别解两个不等式，再确定不等式组的解集． 【详解】解： 解第一个不等式：，移项得，即 解第二个不等式：，移项得，即 不等式组的解集为： 故答案为：． 12. 随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（）的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，解题关键是读懂函数图象． 根据函数图象求解． 【详解】解：由题意可知，快递车行驶米所需时间为（）， 所以快递车行驶的总时间为（）， 所以快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（）， 故答案为：4． 13. 彤彤和嘉嘉正在玩一个游戏：两人轮流掷骰子，骰子朝上的数字是几，就按箭头方向将同一颗棋子前进几格并获得格子中的物品，现在棋子在标有数字“0”的格子中，彤彤先掷一次，然后嘉嘉掷，则嘉嘉掷一次就获得小汽车的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式应用，列表法求概率，解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与能获得“汽车”的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 当彤彤和嘉嘉投掷的点数和为时，嘉嘉掷一次就能获得小汽车， 共有36种等可能的结果，能获得奖品的有6种情况， 嘉嘉掷一次就获得小汽车概率． 故答案为：． 14. 如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为：， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 15. 如图，点是内一动点，且．连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】解：连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. 计算、解方程： （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质分别进行计算，再进行加减运算，即可解题； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 17. 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： （1）统计表中，_____，_____；统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为_____； （2）试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； （3）该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学都喜欢乒乓球的概率． 【答案】（1）；； （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图与扇形统计图． （1）首先用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；再用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值，根据足球的占比乘以得到足球所对应扇形的圆心角的度数； （2）用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可； （3）设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，通过列表即可求出被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率． 【小问1详解】 解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%， ∴样本容量为； ∴（人）， （人）； 足球所对应扇形的圆心角的度数为 故答案为：，； 小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，列表如下： 红1 红2 红3 绿1 绿2 红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，绿1） （红1，绿2） 红2 （红2，红1） （红2，红3） （红2，绿1） （红2，绿2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，绿1） （红3，绿2） 绿1 （绿1，红1） （绿1，红2） （绿1，红3） （绿1，绿2） 绿2 （绿2，红1） （绿2，红2） （绿2，红3） （绿2，绿1） ∵共20种等可能的结果，其中被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的有6种等可能情况， ∴被抽到的2名同学都喜欢乒乓球的概率为． 18. 如图，直线与坐标轴交于点，与双曲线交于两点，并且． （1）求反比例函数的解析式： （2）若y轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标； （3）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、利用坐标求线段长度以及数形结合思想的应用。 （1）先求得点、的坐标，再根据，得到点是线段的中点，从而求出点的坐标为，再将点的坐标代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （2）联立，求出点的坐标，设，利用面积公式建立方程求解即可； （3）利用数形结合的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：在直线中，当时，， 点的坐标为， 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， 点是线段的中点， 设点的坐标为， 则， 解得：， 点的坐标为， 将点的坐标代入反比例函数解析式得：， 解得：， 反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， ， 如图，设， 由面积公式可得：， 即， 解得：或， 或； 【小问3详解】 解：由图可知，不等式的解集为：或． 19. 如图，一位探究爱好者利用无人机测量建筑物的高度．无人机飞行至点处，测得正前方水平方向与建筑物的顶端的仰角为，继续沿垂直方向飞行至点处，测得该建筑物顶端的仰角为．已知无人机在点处距离地面的垂直高度为50米，且无人机与建筑物的水平距离为40米（无人机近似看作一个点），请根据提供的信息解决下列问题（结果保留整数）． （1）求建筑物的高度； （2）若无人机从点处水平飞行至点处，此时测得建筑物的顶端的仰角为，求的长． （参考数据：，） 【答案】（1）建筑物的高度约为米 （2）约为13米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意得，在中，，结合，即可解答； （2）延长交于点，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，从而得到米，然后在中，由求得，结合即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，，米，， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物的高度约为119米． 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴米． 由题意知，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 即约为13米． 20. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 【答案】（1） （2） 7元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，根据第一周的销量为50件和第三周的销量为72件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 21. 海洋馆的海豚表演是深受孩子们喜欢的项目，如图1是海豚钻圈表演，在进行钻圈时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图2，在某次表演中，以海豚起跳点为原点，以点与海豚落水点所在的直线为轴，垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）之间满足函数关系式，海豚落入水面的点的坐标为，经测量，海豚这次表演的最高点距离水面． （1）求这次表演时，海豚运动路线的解析式； （2）如图2，饲养员小明将直径为的圈如图放置，轴，点的坐标为，海豚穿过圈时与的交点为，求的值； （3）为增加观赏性，小明准备了一个与圈相同的圈，并把以同样高度放置在圈的右侧，若海豚运动路线不变，设点的横坐标为，当海豚顺利通过时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式； （2）设点的坐标为，点在抛物线上，则，即可求出的值； （3）分两种情况进行讨论，①当在对称轴左侧时，若点经过抛物线，即纵坐标为3，解得，则，②当在对称轴右侧时，若点经过抛物线，则，解得，当点经过抛物线，即纵坐标为1，则，解得，即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线过点，， 得， ， ； 【小问2详解】 解：点的坐标为，则点的坐标为， 设点的坐标为，点在抛物线上， 则， ， ； 【小问3详解】 解：抛物线对称轴为直线， 分两种情况： ①当在对称轴左侧时， 若点经过抛物线，即纵坐标为3，则， 解得，（舍去）， 则， ②当在对称轴右侧时，若 点经过抛物线，即纵坐标为3，则 解得（舍去），， 当点经过抛物线，即纵坐标为1，则， 解得（舍去），， 则， 综上所述，的取值范围为或． 22. 【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8 【解析】 【分析】（1）利用证明，得出即可； （2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （3）取中点，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作，，垂足分别为，， ， 又平分，， ，， 在四边形中，， 又， ， 又， ，且，， ， ； （3）取中点，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 点、分别是、边上的中点， ， 又 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； ②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①外心P一定落在直线DB上；②为定值2. 【解析】 【分析】（1）连接OE、OF，根据菱形得出AC⊥BD，BD平分∠ADC，AO=DC=BC，则∠COD=∠COB=∠AOD=90°，∠ADO=30°，根据E、F分别为中点得出OE=OF=OA，即外心； （2）①分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，则∠PIE=∠PJD=90°，∠ADC=60°，∠IPJ=120°，根据点P是等边△AEF的外心得到∠EPA=120°，PE=PA，从而说明△PIE≌△PJA，即PI=PJ，从而得出结论； ②当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点，连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心，设DM=x，DN=y则CN=y－1，根据BC∥DA得到△GBP≌△MDP，则BG=DM=x，CG=1－x，根据BC∥DA得到△GBP∽△NDM则，即从而得出结论. 【详解】（1）证明：如图1，分别连接OE、OF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°，∠ADO=∠ADC=×60°=30° 又∵E、F分别为DC、CB中点， ∴OE=CD，OF=BC，AO=AD ∴OE=OF=OA ∴点O即为△AEF的外心． （2）①猜想：外心P一定落在直线DB上．证明如下： 如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J， ∴∠PIE=∠PJD=90°， ∵∠ADC=60°， ∴∠IPJ=360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI=120°， ∵点P是等边△AEF的外心， ∴∠EPA=120°，PE=PA， ∴∠IPJ=∠EPA． ∴∠IPE=∠JPA， ∴△PIE≌△PJA（AAS）， ∴PI=PJ， ∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上 ②为定值2 当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点． 连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心 如图3．设MN交BC于点G， 设DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），则CN=y－1， ∵BC∥DA， ∴△GBP≌△MDP， ∴BG=DM=x， ∴CG=1－x， ∵BC∥DA， ∴△GBP∽△NDM ∴，即， ∴x＋y=2xy， ∴，即=2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中招模拟测试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题卡相应位置． 1. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年国庆中秋假期，宁德文旅热度再创历史新高．全市累计接待游客约为540万人次，实现旅游收入约为41亿元．全市各项旅游收入整理后绘制成如图所示的扇形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. “酒店住宿”收入约为0.656亿元 B. “A级景区”的旅游人数约为64.8万人 C. “其它消费”收入是“跟团游相关”收入3倍 D. “自驾游相关”收入对应的圆心角是12° 5. 长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱．春耕时节，某播种队承接了长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. v和h均随t的增大而增大 D. t每增加，h的增加量相同 7. 如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A B. C. D. 10. 如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为_____． 12. 随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（）的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为________． 13. 彤彤和嘉嘉正在玩一个游戏：两人轮流掷骰子，骰子朝上的数字是几，就按箭头方向将同一颗棋子前进几格并获得格子中的物品，现在棋子在标有数字“0”的格子中，彤彤先掷一次，然后嘉嘉掷，则嘉嘉掷一次就获得小汽车的概率是_________． 14. 如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是____________． 15. 如图，点是内一动点，且．连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为___________． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. 计算、解方程： （1）计算：． （2）解方程：． 17. 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： （1）统计表中，_____，_____；统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为_____； （2）试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； （3）该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学都喜欢乒乓球的概率． 18. 如图，直线与坐标轴交于点，与双曲线交于两点，并且． （1）求反比例函数的解析式： （2）若y轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标； （3）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 19. 如图，一位探究爱好者利用无人机测量建筑物的高度．无人机飞行至点处，测得正前方水平方向与建筑物的顶端的仰角为，继续沿垂直方向飞行至点处，测得该建筑物顶端的仰角为．已知无人机在点处距离地面的垂直高度为50米，且无人机与建筑物的水平距离为40米（无人机近似看作一个点），请根据提供的信息解决下列问题（结果保留整数）． （1）求建筑物的高度； （2）若无人机从点处水平飞行至点处，此时测得建筑物的顶端的仰角为，求的长． （参考数据：，） 20. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 21. 海洋馆海豚表演是深受孩子们喜欢的项目，如图1是海豚钻圈表演，在进行钻圈时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图2，在某次表演中，以海豚起跳点为原点，以点与海豚落水点所在的直线为轴，垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）之间满足函数关系式，海豚落入水面的点的坐标为，经测量，海豚这次表演的最高点距离水面． （1）求这次表演时，海豚运动路线的解析式； （2）如图2，饲养员小明将直径为的圈如图放置，轴，点的坐标为，海豚穿过圈时与的交点为，求的值； （3）为增加观赏性，小明准备了一个与圈相同的圈，并把以同样高度放置在圈的右侧，若海豚运动路线不变，设点的横坐标为，当海豚顺利通过时，直接写出的取值范围． 22. 【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 23. 已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； ②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $