精品解析：甘肃武威市武威第十七中学、武威第四中学2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数和分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且． 3. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当一元二次方程根的判别式时，方程有两个相等的实数根，计算判别式并解方程即可确定的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得． 4. 如图，等腰的顶角，将绕点A逆时针旋转，的对应边恰好经过点C，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：∵等腰的顶角， ∴； 由旋转得，， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为． 5. 如图，是的直径，，是上两点，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 6. 我国计划在2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”分别为， 可画树状图为： 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的结果数有2种， ∴恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率是． 7. 已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】先判断在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大，然后根据t的范围，结合选项逐一判断A、B两点横坐标的范围，结合反比例函数的性质即可作出判断． 【详解】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大， A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确，不符合题意； B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B正确，符合题意； C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确，不符合题意； D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不正确，不符合题意． 8. 如图，中，点、分别为、上一点，、交于，且，．则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先过点作交于点，利用和内错角、对顶角相等证明，得到；再由推出，结合得出，进而得到；最后设，则，计算出，从而求出． 【详解】解：过点作，交于点， ∵， ， ∴(两直线平行，内错角相等)， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴， ∵， ∴（平行线判定相似）， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 设，则， ， ∴． 9. 已知抛物线与轴负半轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴的交点为，当时，的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线各点坐标，根据C点位置判断a的符号，再构造直角三角形，利用正切定义列方程求解a即可． 【详解】解：∵抛物线， 令，得， 又在轴负半轴， ∴，得， 抛物线与轴交点为，， ∴对称轴为，对称轴与轴交点， 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点，． 过作交的延长线于， ∴， 在中，，， 其中， ∵， ∴， 解得． 10. 如图， 二次函数的图象与 x 轴负半轴相交于A、B 两点， 与 y轴相交于点 C，对称轴为直线，且，则下列结论： ；；；关于 x 的方程有一个根为；其中正确的结论个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由抛物线的开口可知：， 由抛物线与y轴的交点可知：， 由抛物线的对称轴可知：， ∴， ∴，故①正确； 当时，， 故②正确； ∵， ∴，故③错误； ∵，，， ∴， 代入得到 ， ∴， ∵， ∴， ∵，点的坐标为，点位于轴正半轴，点位于轴负半轴， ∴点的坐标为． 因为二次函数的图象过点，可得 ． 化简，得 ． ∵． ∴将代入，得 ． 可得． 所以，点的坐标为． 设点的坐标为． 根据题意可得 ． 则． 所以，点的坐标为． 所以，关于的方程的两个解为，． 故④正确； 综上可知， 正确的是①②④． 二、填空题（共24分，每空3分） 11. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 12. 若方程的两根分别为和，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若方程的两根为，，由根与系数的关系可得，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：在方程中，，， ∴， 13. 如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由旋转的性质得到，，推出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，作于点，延长交于点，在中，由勾股定理计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴当取最小值时，也取得最小值， ∴当时，取得最小值， 如图，作于点，延长交于点， ∵，，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 14. 如图，是的切线，点是上一点，连接，，连接并延长交于点，的延长线交于点，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用切线和平行线可证，结合推得，再由得，根据三角形外角的性质推出，最后由等角对等边求出． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 15. 如图，，是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，，若，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义． 根据等高三角形面积比等于底边之比可得，继而可得，由此得出． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ， ． 16. 如图，点是内部一点，且，延长交于点．已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，证明，设，则，求出，设，则，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，即， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 17. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交射线，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 18. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键． 首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则表面积可求． 【详解】解：观察三视图发现该几何体为圆锥， 其底面直径为，母线长为， 所以其侧面积为：，底面积为：， 所以全面积为：． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出，并直接写出点的坐标为___________； （2）画出关于原点对称的，并直接写出点的坐标为___________． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）将分别向右平移1个单位，再向上平移4个单位，再顺次连接即可得到； （2）找出关于原点的对称点，顺次连接即可，关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，由此可得点的坐标． 【小问1详解】 解：点的坐标为； 【小问2详解】 解：点的坐标为． 20. 计算或解方程： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）； （2）5 【解析】 【分析】（1）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可； （2）先化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再计算乘除运算，绝对值运算，最后计算加减运算即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 解： ． 21. 某飞机模型今年月份的销售量是件，月份的销售量是件． （1）若月份到月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）另据市场调查发现，该飞机模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2） 元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． (1)设月平均增长率为，根据连续两个月增长后销量为件，列方程求解； (2)设应降价元，根据要求销售该模型每天获利元，列方程求出，为了尽量减少库存，要选降价最多的方案． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设应降价元，则每天的销量为件，每个模型的利润为元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 为了尽量减少库存，应降价元， 答：售价应降低元． 22. 在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．如图所示，设边与交于点，边分别交于点． （1）求证：； （2）当为等腰三角形时，请直接写出的长； 【答案】（1） 证明：将绕点按逆时针方向旋转，得到， 则， ， ， 在和中， ， ； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的综合运用，分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． （1）利用旋转的性质得到边和角的等量关系，结合全等三角形的判定定理（ASA）证明三角形全等，进而推出线段相等； （2）先借助勾股定理求出等腰三角形的高，再根据等腰三角形的不同顶角情况进行分类讨论，结合旋转性质和等腰三角形的边角关系，分别计算出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ，则，则； 设， 当时，则点、、重合，构不成三角形， 故该种情况不存在； 当时，如图： 则， 而， ， 则， 由（1）知，，则， 则， 则； 当时，如图， 则， 则， ， 则， 则， 综上，或． 23. 如图， 是的切线，为切点，是的直径，是上的一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，先证出，得出，进而即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一和直径所对的圆周角为直角，利用证出得出，再由勾股定理即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 又，， ，， ， ， 是的直径，是上的一点， ， 又， ． ∴ ∴在中，． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合应用题，主要考查：函数图象上点的坐标特征，求反比例函数的解析式和平行于轴的线段长度的计算方法． （1）利用一次函数求点的坐标，然后利用点求反比例函数的； （2）利用反比例函数求点的坐标，再利用一次函数求点的坐标，最后计算的长． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入，得：，即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得． ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得，即． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等， 将代入，得：，解得，即． ∴． 25. 如图，为的直径，点在上，与过点的切线垂直，垂足为，过点的切线与的延长线交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）若点为的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 直线为的切线， ， 与切线垂直， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线性质得，结合，推出，得到．由得，故，即平分．结合、及公共边，用证明，得结论； （2）由得半径，是中点，故，，由全等得．由，得，建立比例．设，代入、，解方程，得，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， 即． 26. 为监测湘江水位变化及沿岸地形，测绘人员在长沙橘子洲头操控一架无人机进行高空测量．如图，无人机在湘江上方距水面的处，测得南岸点与北岸点的俯角分别为和，已知三点共线（点为在水平面上的垂直投影），且．求观测点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】先利用俯角的定义，将无人机观测的俯角转化为地面直角三角形的内角，再结合已知的垂直高度，分别在和中，通过等腰直角三角形性质和三角函数求出的长度，最后用得到两点间的距离． 【详解】解：已知，， 无人机在处观测的俯角分别为和， 在中：，， ∴ 在中：，， ∴，即， 解得：， ∴． 答：观测点之间的距离为． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，其对称轴是直线．点A在这个抛物线上，其横坐标为m，点B，C的坐标分别为，，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点构造矩形． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）当点A，B重合时，求m的值； （3）当抛物线的最低点在矩形的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标和抛物线最低点的纵坐标之差为，求h的值． 【答案】（1） （2）或 （3）1或36 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用二次函数的解析式表示出点的坐标，再利用两点重合时的性质列出关于的方程，解方程即可得出结论； （3）利用配方法求得抛物线的最低点的坐标，再利用函数的性质和点的坐标的特征，求得该矩形与抛物线交点的纵坐标后，分抛物线的最低点可能在，边上两种情况讨论，即可得出结论． 【小问1详解】 抛物线（b，c是常数）经过点，其对称轴是直线， ，解得， 该抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 点在这个抛物线上，其横坐标为m， ． 点，重合，点， ， 解得或． 【小问3详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为． 抛物线的开口方向向上， 抛物线的最低点为． 点在这个抛物线上， 抛物线的最低点可能在，边上． ①抛物线的最低点在边上时，抛物线的最低点与点重合，如答图所示， ， ， ，， 点，均在y轴上， 该矩形与抛物线交点即为抛物线与轴的交点． 令，则， 抛物线与y轴交于点， 该矩形与抛物线交点的纵坐标为， ； ②抛物线的最低点在边上时，如答图所示， ， ， ，，，， ． 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 3. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，等腰的顶角，将绕点A逆时针旋转，的对应边恰好经过点C，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，，是上两点，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 我国计划在2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 8. 如图，中，点、分别为、上一点，、交于，且，．则值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线与轴负半轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴的交点为，当时，的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 如图， 二次函数的图象与 x 轴负半轴相交于A、B 两点， 与 y轴相交于点 C，对称轴为直线，且，则下列结论： ；；；关于 x 的方程有一个根为；其中正确的结论个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（共24分，每空3分） 11. 因式分解：=_____． 12. 若方程的两根分别为和，则________． 13. 如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________． 14. 如图，是的切线，点是上一点，连接，，连接并延长交于点，的延长线交于点，若，，则________． 15. 如图，，是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，，若，，则的值为_______． 16. 如图，点是内部一点，且，延长交于点．已知，则______． 17. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交射线，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则__________． 18. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为______． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出，并直接写出点的坐标为___________； （2）画出关于原点对称的，并直接写出点的坐标为___________． 20. 计算或解方程： （1）解方程：； （2）计算：． 21. 某飞机模型今年月份的销售量是件，月份的销售量是件． （1）若月份到月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）另据市场调查发现，该飞机模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 22. 在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．如图所示，设边与交于点，边分别交于点． （1）求证：； （2）当为等腰三角形时，请直接写出的长； 23. 如图， 是的切线，为切点，是的直径，是上的一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 25. 如图，为的直径，点在上，与过点的切线垂直，垂足为，过点的切线与的延长线交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）若点为的中点，，求的长． 26. 为监测湘江水位变化及沿岸地形，测绘人员在长沙橘子洲头操控一架无人机进行高空测量．如图，无人机在湘江上方距水面的处，测得南岸点与北岸点的俯角分别为和，已知三点共线（点为在水平面上的垂直投影），且．求观测点之间的距离．（结果保留根号） 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，其对称轴是直线．点A在这个抛物线上，其横坐标为m，点B，C的坐标分别为，，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点构造矩形． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）当点A，B重合时，求m的值； （3）当抛物线的最低点在矩形的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标和抛物线最低点的纵坐标之差为，求h的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $